專題17圖形的相似（真題1個考點模擬13個考點）一．相似三角形的判定與性質（共2小題）1．（2019?安徽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，點D在邊BC上，點E在線段AD上，EF⊥AC于點F，EG⊥EF交AB于點G．若EF＝EG，則CD的長為（）A．3.6 B．4 C．4.8 D．52．（2019?安徽）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P為△ABC內部一點，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求證：△PAB∽△PBC；（2）求證：PA＝2PC；（3）若點P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證h12＝h2?h3．一．比例的性質（共3小題）1．（2023?無為市一模）若3a＝4b（ab≠0），則下列比例式成立的是（）A． B． C． D．2．（2023?合肥一模）若，那么的值等于（）A． B． C．﹣ D．﹣3．（2023?安徽模擬）已知，求k2﹣3k﹣4的值．二．比例線段（共3小題）4．（2023?廬陽區校級一模）已知線段a＝9，b＝4，則線段a和b的比例中項為．5．（2023?定遠縣校級一模）已知三條線段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中項，則c＝cm．6．（2023?亳州模擬）如圖，點P把線段AB分成兩部分，且BP為AP與AB的比例中項．如果AB＝2，那么AP＝．三．黃金分割（共5小題）7．（2023?廬陽區一模）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度約是（結果精確到0.01m．參考數據：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m8．（2023?濉溪縣模擬）如圖，在△ABC中，D為BC上一點，若AB＝AC＝CD＝2，∠ADB＝108°，則AD的值為（）A． B． C． D．9．（2023?雨山區一模）數學中，把這個比例稱為黃金分割比例．鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是AB的黃金分割點（AP＞BP），若線段AB的長為8cm，則BP的長為cm．10．（2023?廬陽區校級二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于點D，則cosA＝（）A． B． C． D．11．（2023?合肥一模）設點C是長度為8cm的線段AB的黃金分割點（AC＞BC），則AC的長為cm．四．平行線分線段成比例（共6小題）12．（2023?鏡湖區校級一模）如圖，如圖，在△ABC中，D、E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，，AE＝9，則EC的長度為（）A．4 B．6 C．12 D．1513．（2023?蚌山區模擬）AD是△ABC的中線，E是AD上一點，AE＝AD，BE的延長線交AC于F，則的值為（）A． B． C． D．14．（2023?舒城縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，點D是AC的中點，AE與BD交于點O，則的值為（）A．2 B． C． D．15．（2023?蜀山區二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，角平分線BE與中線CD交于點F，若AC＝16，BC＝12，則的值為（）A． B． C． D．16．（2023?固鎮縣一模）如圖，互相垂直的兩條公路AM、AN旁有一矩形花園ABCD，其中AB＝30米，AD＝20米．現欲將其擴建成一個三角形花園APQ，要求P在射線AM上，Q在射線AN上，且PQ經過點C．（1）DQ＝10米時，求△APQ的面積．（2）當DQ的長為多少米時，△APQ的面積為1600平方米．17．（2023?廬陽區一模）正方形紙片ABCD中，E，F分別是AB、CB上的點，且AE＝CF，CE交AF于M．若E為AB中點，則＝；若∠CMF＝60°，則＝．五．相似多邊形的性質（共3小題）18．（2023?潛山市模擬）如圖，在平行四邊形FBCE中，點J，G分別在邊BC，EF上，JG∥BF，四邊形ABCD～四邊形HGFA，相似比k＝3，則下列一定能求出△BIJ面積的條件（）A．四邊形HDEG和四邊形AHGF的面積之差 B．四邊形ABCD和四邊形HDEG的面積之差 C．四邊形ABCD和四邊形ADEF的面積之差 D．四邊形JCDH和四邊形HDEG的面積之差19．（2023?舒城縣二模）將一張平行四邊形ABCD（AD＜AB＜2AD）紙片，以它的一邊為邊長剪去一個菱形，將余下的平行四邊形中，再以它的一邊為邊長剪去一個菱形，若剪去兩個菱形后所剩下的平行四邊形與原來平行四邊形ABCD相似，則平行四邊形ABCD的相鄰兩邊AD與AB的比值是（）A． B． C．或 D．或或20．（2023?廬陽區校級一模）制作一塊3m×2m長方形廣告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情況下，若將此廣告牌的四邊都擴大為原來的3倍，那么擴大后長方形廣告牌的成本是（）A．360元 B．1080元 C．720元 D．2160元六．相似三角形的性質（共4小題）21．（2023?南陵縣校級一模）如圖，△ABC紙板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是AC上一點，沿過點P的直線剪下一個與△ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同剪法，那么AP長的取值范圍（）A．3＜AP＜4 B．3≤AP＜4 C．2＜AP＜3 D．2≤AP＜322．（2023?定遠縣二模）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，且△ABC的周長為15，則△DEF的周長為（）A．3 B．5 C．15 D．4523．（2023?鳳臺縣校級二模）一個三邊長分別為a，b，b的等腰三角形與另一個腰長為b的等腰三角形拼接，得到一個腰長為a的等腰三角形，其中a＞b，則的值等于（）A． B． C． D．24．（2023?池州三模）如圖，△ABC紙板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是邊AC上一點，沿過點P的一條直線剪下一個與△ABC相似的小三角形紙板．?（1）判斷：△ABC為（填“銳”“直”或“鈍”）角三角形；（2）如果有4種不同的剪法，那么AP長的取值范圍是．七．相似三角形的判定（共6小題）25．（2023?瑤海區三模）如圖所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．（1）填空：∠ABC＝，BC＝；（2）判斷△ABC與△DEF是否相似？并證明你的結論．26．（2023?蕭縣一模）如圖，點D在△ABC的邊AC上，添加一個條件，使得△ADB∽△ABC，下列不正確的是（）A．AB2＝AD?AC B．∠ADB＝∠ABC C．∠ABD＝∠C D．＝27．（2023?霍邱縣一模）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P為BC的中點，點Q在射線AD上，過點Q作QE⊥AP于點E，連接PQ，請探究下列問題：?（1）AP＝；（2）當△QEP∽△ABP時，PQ＝．28．（2023?舒城縣模擬）已知過點B（3，﹣1）的拋物線y＝x2﹣x+c與坐標軸交于點A、C如圖所示，連結AC，BC，AB，第一象限內有一動點M在拋物線上運動，過點M作AM⊥MP交y軸于點P，當點P在點A上方，且△AMP與△ABC相似時，點M的坐標為．29．（2023?雨山區校級一模）如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分別是邊AB，AC的中點，F為DE邊上一動點，FG⊥BC于G，GH∥BA交AC于H．（1）FG＝；（2）當△FGH和△ABC相似時，FH＝．30．（2023?蕭縣三模）如圖，在矩形ABCD和矩形CEFG中，，且CD＝CG，連接DE交BC于點M，連接BG交CE于點N，交DE于點O，則下列結論不正確的是（）A．BG⊥DE B．當CN＝EN時，CN2＝ON?NG C．當∠BDE＝∠BCE時，△BMD∽△BNC D．當∠BCE＝60°時，八．相似三角形的判定與性質（共17小題）31．（2023?霍邱縣一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，若，AB＝4，則的值為（）A． B． C． D．32．（2023?包河區二模）如圖，在?ABCD中，延長CD至點E，使DE＝DC，連接BE交AC于點F，則的值是（）A． B． C． D．33．（2023?宣城模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，且＝，過點D的切線EF交AC的延長線于點E，交AB的延長線于點F，連結AD，OE交于點G．（1）求證：AE⊥EF；（2）若，⊙O的半徑為2，求BF的長．34．（2023?無為市三模）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AD為⊙O的直徑，點B為的中點，對角線AC，BD交于點E，⊙O的切線AF交DB的延長線于點F，切點為A．（1）求證：AE＝AF；（2）若AF＝6，DF＝10，求DE的長．35．（2023?全椒縣二模）如圖，已知等腰△ABC和等腰△ADE有公共的頂點A，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，點E恰好落在邊BC上（與B、C不重合），連接BD．（1）求證：BD＝CE；（2）若AB與DE相交于點F，求證：CE?BE＝CA?BF；（3）若∠BAC＝90°，AC＝4，且，請畫出符合條件的圖形，并求DE的長．36．（2023?廬陽區校級三模）已知正方形EFGH的邊EF在△ABC的邊BC上，點G、H分別在AB和AC上，BC＝6，S正方形EFGH＝4，則AB+AC的最小值為（）A． B． C． D．1037．（2023?黃山二模）如圖，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC與BD相交于點O，作OM⊥BC于點M，點E是BD的中點，EF⊥BC于點G，交AC于點F，若AB＝4，CD＝6，則OM﹣EF值為（）A． B． C． D．38．（2023?安徽模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2BC，點E是邊AB的中點，連接DE交AC于點F，過點F作FG⊥DE交AB于點G，則下列結論正確的是（）A．AG＝GF B． C． D．39．（2023?瑤海區三模）如圖，正方形ABCD和正方形BPQR有重疊部分，R點在AD上，CD與QR相交于S點，若正方形ABCD和正方形BPQR的邊長分別為4和5，則陰影部分面積為（）A． B． C． D．40．（2023?天長市校級二模）在正方形ABCD中，點E、F分別是邊AB、AD上的點，連接EF，EF⊥FG且EF＝FG．?（1）如圖1，當點G在CD上時，求證：DG＝BE；（2）如圖2，當點B與點E重合時，EG，FG分別交CD于點M，N，求證：MG2＝MN?MD．41．（2023?濉溪縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在邊BC上，點E在邊AC上．以點D為圓心，DC為半徑作⊙D與AB相切于點F，已知∠CED＝∠ABC．（1）求證：BD＝ED；（2）連接AD，若AC＝6，AB＝10，求線段AE的長．42．（2023?天長市校級三模）在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O．（1）如圖1，AC平分∠BAD，若AB＝AC＝BD，AD＝AO，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點E在AB邊上，EM垂直平分AD，垂足為M；EN垂直平分BC，垂足為N，若∠BAD＝∠ABC，求證：AC＝BD；（3）如圖3，E，F分別為AC，BD的中點，EF兩端延長分別交BC，AD于H，G．若，△CEH，△ABE的面積分別為S1，S2，直接寫出的值．?43．（2023?池州三模）如圖，在?ABCD中，AC是一條對角線，且AB＝AC＝5，BC＝6，E，F是AD邊上兩點，點F在點E的右側，AE＝DF，連接CE并延長，CE的延長線與BA的延長線交于點G．（1）如圖1，M是BC邊上一點，連接AM，MF，MF與CE交于點N，．①若M為BC中點，求證：EN＝NC；②求AG的長；（2）如圖2，連接GF，H是GF上一點，連接EH．若∠HED＝∠CED，且HF＝2GH，求EF的長．44．（2023?瑤海區校級一模）將矩形ABCD沿DE折疊，使點A落在點F處，折痕為DE，其中AB＝2，AD＝3．（1）如圖（1），若點F恰好在邊BC上，連接AF，求證：△ABF∽△DAE；（2）如圖（2），若E是AB的中點，EF的延長線交BC于點G，求BG的長．45．（2023?無為市一模）如圖，以AB為直徑的⊙O與AC相切于點A，點D、E在⊙O上，連接AE、ED、DA，連接BD并延長交AC于點C，AE與BC交于點F．（1）求證：∠DAC＝∠DEA；（2）若點E是BD的中點，⊙O的半徑為3，BF＝2，求AC的長．46．（2023?廬陽區校級一模）已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分線，連接DA、DB，且DA⊥DB于點D．（1）求證：DA＝DB；（2）如圖2，點E、F分別是邊CD、AC上的點，且BE⊥EF于點E，求的值．47．（2023?合肥模擬）在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，對角線AC、BD相交于點E，過點C作CF垂直于BD，垂足為F，且CF＝DF．（1）求證：△ACD∽△BCF；（2）如圖2，連接AF，點P、M、N分別為線段AB、AF、DF的中點，連接PM、MN、PN．①求證：∠PMN＝135°；②若AD＝2，求△PMN的面積．九．相似三角形的應用（共2小題）48．（2023?蕪湖模擬）《墨經》最早述及的小孔成像，是世界上最早的關于光學問題的論述．如圖是小孔成像原理的示意圖，根據圖中所標注的尺寸，這支蠟燭在暗盒中所成的像CD的長是（）A．cm B．1cm C．cm D．cm49．（2023?廬陽區一模）如圖，圖1是裝滿了液體的高腳杯（數據如圖），用去部分液體后，放在水平的桌面上如圖2所示，此時液面距離杯口的距離h＝（）A．cm B．2cm C．cm D．3cm一十．作圖-相似變換（共2小題）50．（2023?大觀區校級二模）如圖，在每個小正方形的邊長為1個單位的網格中，△ABC的頂點及線段MN的端點均在格點（網格線的交點）上．（1）作出△ABC關于直線MN對稱的△A1B1C1；（2）畫出一個格點△EFC，使△EFC∽△ABC（相似比不為1）．51．（2023?安徽模擬）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC的頂點均為格點（網格線的交點）．（1）請畫出△ABC繞點O逆時針方向旋轉90°后得到的圖形△A1B1C1.（點A，B，C的對應點分別為點A1，B1，C1）；（2）請畫一個格點△A2B2C2，使△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比為2．一十一．位似變換（共2小題）52．（2023?廬陽區一模）△ABO三個頂點的坐標分別為A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原點O為位似中心，把這個三角形縮小為原來的，可以得到△A'B'O，則點A′的坐標是（）A．（1，2） B．（1，2）或（﹣1，﹣2） C．（2，1）或（﹣2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）53．（2023?杜集區校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，△A'B'C'與△ABC位似，位似中心為原點O，已知點A（﹣1，﹣1），C（﹣4，﹣1），A'C'＝6，則點C'的坐標為（）A．（2，2） B．（4，2） C．（6，2） D．（8，2）一十二．作圖-位似變換（共2小題）54．（2023?利辛縣模擬）已知：△ABC三個頂點的坐標分別為A（2，2），B（4，1），C（1，5）．（1）以點O為位似中心，在第一象限將△ABC放大為原來的2倍，得到△A1B1C1，請在網格中畫出△A1B1C1；（2）若點P（x，y）是△ABC內任意一點，點P在△A1B1C1內的對應點為P1，則點P1的坐標為；（3）請用無刻度直尺將線段AB三等分．55．（2023?花山區二模）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC的頂點均為格點（網格線的交點）．（1）將△ABC向上平移6個單位，再向右平移4個單位后得到△A1B1C1，請在網格中畫出△A1B1C1；（2）以點O為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍，得到△A2B2C2，請在網格中畫出△A2B2C2．一十三．相似形綜合題（共5小題）56．（2023?鏡湖區校級二