運動列車作用下地基動力響應的數值分析

移動荷載作用下載壓解及穩態響應數值模擬近年來，高速列車的結構和底板振動引起了研究人員的關注。因為運行時會在軌道和基礎設施之間產生影響，尤其是當速度接近軌道基礎設施系統的臨界速度時，影響負荷的能量無法及時地留在軌道和基礎設施中，不能擴散到車輪和軌道之間的接觸部分。因此，列車的振動位移非常大，影響了列車的運營安全。一種常見的地基假設是(黏)彈性半空間體,而運動列車荷載一般采用移動荷載來模擬.Eason求得了移動載荷作用下彈性半空間體穩態響應的一維有限積分解,但僅得到了亞音速移動荷載作用下穩態響應的數值結果.Fryba研究了移動集中恒載作用下彈性半空間體的穩態響應,但僅求得了穩態響應的解析解.Hung和Yang研究了黏彈性半空間體在多種移動荷載模式作用下的穩態響應問題.據作者所知,目前國內在這一領域的研究工作相對較少,相關工作主要集中在移動荷載作用下梁、板等承載結構的動力響應研究.此外,多數已有工作僅給出了結構或地基動力響應的積分解析解,而響應的數值結果則相對缺乏,這點孫璐在全國優秀百篇博士論文《運動車輛隨機荷載及其激勵下地面動力響應的理論研究》中也曾指出.鑒此,作者在數值計算了移動集中恒載作用下Kelvin地基上無限長梁和無限大板的穩態響應之后,擬對移動荷載作用下黏彈性半空間體的穩態響應進行研究.首先采用Green函數法求解黏彈性半空間體在各種移動荷載模式作用下的動力響應的解析解.然后以移動集中恒載作用下黏彈性半空間體的豎向和縱向位移為例,采用IFFT算法和自適應數值積分算法計算位移的數值結果.最后分析速度對位移的分布和最大值的影響,進而探討移動荷載作用下黏彈性半空間體動力響應的特性和規律.1由位移表示的控制方程本文主要分析黏彈性半空間體受到z=0表面上沿x軸正向勻速運動的豎向荷載時的動力響應問題,模型如圖1所示.采用位移解法,均質各向同性黏彈性半空間體以位移表示的控制方程為式中,λ和G為黏彈性半空間體的Lamé’s常數;u=(u(x,y,z,t),v(x,y,z,t),w(x,y,z,t))為黏彈性半空間體的位移向量;▽為Hamilton算子;▽為Laplace算子;ρ為黏彈性半空間體的密度;X=(Xx(x,y,z,t),Xy(x,y,z,t),Xz(x,y,z,t))為黏彈性半空間體的體力向量.問題的應力邊界條件為式中,Fz為黏彈性半空間體所受的z方向的荷載.2生產力描述從荷載的空間分布角度劃分,主要分析的荷載有點源、線源和面源荷載.從荷載的時間變化角度劃分,主要有恒載和簡諧荷載.2.1移動設備的源負荷在z=0表面上沿x軸正向以速度c勻速運動的豎向點源荷載的一般表達式為式中,δ(·)為單位脈沖函數;f(t)為荷載大小的時間變化函數.(1)移動集中支持若一大小為P的集中恒載在t=0時刻作用于坐標原點處,則該荷載可表示為(2)移動設備的簡化性能若其大小變化的圓頻率為ω0,則可表示為2.2移動設備的負荷在z=0表面上沿x軸正向以速度c勻速運動的豎向線源荷載的一般表達式為式中:g(x-ct)為線源荷載的縱向分布函數.(1)移動線的平均配置若一合力大小為P,分布長度為2l1的線均布恒載t=0時刻作用于坐標原點,則該荷載可表示為式中:H(·)為單位階梯函數.(2)移動線單元的簡單組合負載若其集度變化的圓頻率為ω0,則可表示為2.3移動設備的負荷在z=0表面上沿x軸正向以速度c勻速運動的豎向面源荷載的一般表達式為式中:g(x-ct,y)為面源荷載的空間分布函數.(1)動態校正中心的分布若一合力大小為P,分布區域為{-l1≤x≤l1,-l2≤y≤l2}的矩形均布恒載在t=0時刻作用于坐標原點處,則該荷載可表示為(2)移動矩形均布盒的簡化性能若其集度變化的圓頻率為ω0,則可表示為3duhael積分采用Green函數法求解黏彈性半空間體動力響應的解析解,Green函數是一個點源在一定的邊界條件和初始條件下所產生的場,記為G(x,t;x0,τ),即τ時刻位于x0處觸發的一個脈沖對t時刻(t≥r)x處的影響.利用Green函數和Duhamel積分,即可求出任意分布的源所產生的場.對于黏彈性半空間體的穩態響應問題,其Duhamel積分為式中:S為荷載的分布區域.黏彈性半空間體的位移Green函數在前人的研究工作中已有推導,本文僅列出結果如下上述3式中,;;cp和cs分別為黏彈性半空間體的縱波和橫波波速.3.2u3000x軸方向相速度的引進以下分析上述Green函數中被積函數的奇異性.當k1≠0時,作如下代換式中:γ稱為波數比;cph稱為x軸方向的相速度.則Bp,Bs和Δ分別改寫為上式作代換v=1+γ,并令其等于零,可得由上式解得可見,當相速度大于Rayleigh波速時,位移Green函數的被積函數存在兩個奇點.通過引入材料阻尼,可使得奇點偏移γ的實軸.一般通過采用復Lamé’s常數引進材料阻尼,即式中:ξ為滯回阻尼比.3.3負荷事故分析(1)黏彈性半空間體位移將式(4)分別和式(13),(14)和式(15)代入式(12)可得該荷載作用下黏彈性半空間體的位移為式中經分析可知:縱向和豎向位移關于y=0平面對稱,而橫向位移關于y=0平面反對稱.由位移即可得到應力、速度和加速度等,本文僅以豎向正應力、豎向速度和豎向加速度為例說明,結果如下式中,Bp,s的表達式見式(25).(2)荷載作用下的黏彈性半空間體位移將式(7)分別和式(13),(14)和式(15)代入式(12)可得該荷載作用下黏彈性半空間體的位移為式中,Bp,s的表達式見式(25).(3)荷載作用下的黏彈性半空間體位移將式(10)分別和式(13),(14)和式(15)代入式(12)可得移該荷載作用下黏彈性半空間體的位移為式中,Bp,s的表達式見式(25).(4)荷載作用下的黏彈性半空間體位移將式(5)分別和式(13),(14)和式(15)代入式(12)可得該荷載作用下黏彈性半空間體的位移為此時,Bp,s改寫為而Δ也需作相應修改.(5)荷載作用下的黏彈性半空間體位移將式(8)分別和式(13),(14)和式(15)代入式(12)可得該荷載作用下黏彈性半空間體的位移為式中,Bp,s的表達式見式(38).(6)移動矩形均布盒的簡化性能將式(11)及式(13)代入式(12)可得該荷載作用下黏彈性半空間體的位移為式中,Bp,s的表達式見式(38).4基于自適應數值積分的動力響應數值結果經過上述分析已經得到了黏彈性半空間體動力響應的二維積分解析解,但均是廣義無窮積分,無法直接用于解決實際工程問題,為此必須將上述解析解數值化.由于解析解均是廣義無窮積分,且被積函數包含復指數函數,即往往存在振蕩性.因此,確定被積函數的積分限、解決被積函數的振蕩性是進行數值計算時必須解決的問題.作者通過將被積函數圖形化確定了無窮積分的積分限,通過自適應數值積分算法解決了被積函數的振蕩性,最終得到了黏彈性半空間體動力響應的數值結果.限于篇幅,本文僅分析了移動集中恒載作用下黏彈性半空間體的動力響應,若需要分析其它移動荷載模式,已不存在困難,感興趣者可參閱文獻.數值計算所需參數的取值見表1.黏彈性半空間體的Rayleigh波、橫波和縱波波速見表2.后續討論中,速度均采用與橫波波速的比值來敘述.4.1速度對豎向位移的影響圖2描述了t=0時刻(荷載正位于坐標原點處)黏彈性半空間體z=1m平面內的豎向位移,分析了亞音速、跨音速和超音速的情況.可見,低速與高速移動集中恒載作用下的豎向位移存在顯著差異.當速度小于Rayleigh波速時,豎向位移關于x=0平面基本上是對稱的,而圖2(a)所呈現的不完全對稱性可歸因于阻尼的緣故.事實上,無阻尼時,豎向位移關于x=0平面是完全對稱的,限于篇幅,本文未給出無阻尼時豎向位移的結果.當速度大于Rayleigh波速時,豎向位移關于x=0平面不再對稱,且呈現出一個明顯的特點:對于荷載作用點前方與其縱向距離相等的各點而言,豎向位移最大值并不出現在荷載運動路徑上,而是出現在其兩側.且隨著與荷載作用點縱向距離的增大,豎向位移最大值點越來越偏離荷載運動路徑.為更清晰地了解速度對豎向位移空間分布的影響,本文還分析了其縱向和橫向分布(通過該平面內豎向位移的最大值點),結果如圖3和圖4所示.速度對豎向位移最大值的影響并不是單調遞增或單調遞減的:在所分析的5個速度中,θ=0.92和θ=1.2時,豎向位移的最大值分別達到極大值.速度對荷載縱向影響范圍的影響并不是單調遞增或遞減的:當速度小于Rayleigh波速時,縱向影響范圍隨速度的增大而擴大,且荷載作用點前后的影響范圍基本相當;當速度大于Rayleigh波速時,速度對縱向影響范圍的影響較輕微.此外,還呈現出一個明顯特點,即荷載對其作用點后方的影響范圍隨速度的增大而減小.速度對荷載橫向影響范圍的影響并不是單調遞增或遞減的:當速度小于Rayleigh波速,橫向影響范圍隨速度的增大而擴大;當速度大于Rayleigh波速時,速度對橫向影響范圍的影響較輕微.速度對豎向位移波動性質的影響是單調遞增的,但速度對豎向位移的縱向和橫向波動性質的影響力是不同的:速度對豎向位移橫向波動性質的影響力大于其對縱向波動性質的影響力.對于黏彈性半空間體的穩態響應問題,某點豎向位移的時程曲線與某時刻豎向位移的縱向分布是相似的,它們是同一個問題的兩個不同表現方式.限于篇幅,本文僅分析了豎向位移的空間分布.4.2速度對縱向位移的影響圖5描述了t=0時刻黏彈性半空間體z=1平面內的縱向位移,分析了亞音速、跨音速和超音速的情況.相對而言,在相同大小、相同速度的移動集中恒載作用下,黏彈性半空間體的縱向位移遠小于豎向位移.作者還計算了移動集中恒載作用下黏彈性半空間體的橫向位移,相對于豎向位移和縱向位移而言,它遠遠小于前兩者,限于篇幅,本文未給出橫向位移的結果.由圖5可見,黏彈性半空間體在低速與高速移動集中恒載作用下的縱向位移存在顯著差異.當速度小于Rayleigh波速時,縱向位移關于x=0平面基本上是反對稱的,圖5(a)所呈現的不完全反對稱性可歸因于阻尼的緣故.事實上,無阻尼時,縱向位移關于x=0平面是完全反對稱的,限于篇幅,本文未給出無阻尼時縱向位移的相應結果.當速度大于Rayleigh波速時,縱向位移關于x=0平面不再具有反對稱性,且與豎向位移相似,也呈現出一個類似的特點:對于荷載作用點前方與其縱向距離相等的各點而言,縱向位移的最大值并不出現在荷載的運動路徑上,而是出現在荷載運動路徑的兩側.且隨著與荷載作用點縱向距離的增大,縱向位移最大值點與荷載作用點之間的橫向距離越大,即越偏離荷載的運動路徑.為能更清晰地了解速度對縱向位移空間分布的影響,本文以縱向位移的縱向和橫向分布(通過該平面內縱向位移的最大值點)為分析對象,比較了不同速度下縱向位移空間分布的差異.由于縱向位移的橫向分布與豎向位移的橫向分布相似,限于篇幅,本文僅給出了縱向位移的縱向分布,如圖6所示.速度對縱向位移最大值的影響并不是單調遞增或遞減的:在所分析的5個速度中,θ=0.92和θ=1.5時,縱向位移的最大值分別達到極大值.速度對荷載縱向影響范圍的影響并不是單調遞增或單調遞減的:當速度小于Rayleigh波速時,縱向影響范圍隨速度的增大而擴大,且荷載作用點前后的影響范圍基本相當;當速度大于Rayleigh波速時,速度對橫向影響范圍的影響較輕微.此外,還呈現一個明顯特點,即荷載對其作用點后方的影響范圍隨速度的增大而減小.與豎向位移相似,速度對荷載橫向影響范圍的影響也不單調遞增或遞減:當速度小于Rayleigh波速時,橫向影響范圍隨速度的增大而擴大;當速度大于Rayleigh波速時,速度對橫向影響范圍的影響較輕微.速度對縱向位移波動性質的影響是單調遞增的,即縱向位移的波動性質隨速度的增大而越來越明顯.但速度對縱向位移的縱向和橫向波動性質的影響力是不同的:速度對縱向位移橫向波動性質的影響力大于其對縱向波動性質的影響力.對于黏彈性半空間體的穩態響應問題,某點縱向位移的時程曲線與某時刻縱向位移的縱向分布是相似的,它們是同一問題的兩個不同表現方式.限于篇幅,本文僅分析了縱向位移的空間分布.4.3ylerth波速圖7分別描述了速度對豎向和縱向位移最大值的影響.可見,速度對兩者最大值的影響有相似之處:隨著速度從零逐漸增大,位移的最大值也隨之逐漸增大;當速度接近Rayleigh波速時,位移的最大值隨速度的增大而急劇增大,且在Rayleigh波速附近達到一個極大值;當跨越該極大值后,隨速度的增大,位移的最大值又迅速減小,并達到一個極小值;當跨越該極小值后,隨速度的增大,位移的最大值又不斷增大,并達到一個極大值;當跨越該極大值后,隨著速度的增大,縱向位移的最大值又不斷減小,直至θ=2.0.速度對兩者最大值的影響有不同之處:豎向位移的第2個極大值小于Rayleigh波速對應的極大值;縱向位移的第2個極大值大于第1個極大值.5速度對位移的影響規律本文分析了移動荷載作用下黏彈性半空間體的穩態響