第一章：有理數一、正負數正數：除零以外，都大于0的數叫做正數；負數：小于0的數叫做負數，即在正數面前加上負號“－〞的數叫做負數。0既不是正數也不是負數。是整數用正負數表示相反意義的量〔習慣上把“前進、高于、收入〞等規定為“+〞，而把“后退、低于、支出〞等規定為“－〞。注意：搞清相反意義的量：南北；東西；上下；左右；上升下降；上下；增長減少等例：1.電梯上升了三層記作+3，那么電梯下降了四層記作2.某市元旦的最高氣溫為2℃，最低氣溫為－8℃，那么這天的最高氣溫比最低氣溫高℃二、有理數1、概念：整數和分數統稱為有理數。1〕整數:正整數、0、負整數統稱整數2〕分數;正分數和負分數統稱分數。2、0的特殊性：0既不是正數也不是負數，是整數，不是分數。3、0是最小的自然數，1是最小的正整數，-1是最大的負整數。例題：1.－，π，0，0.6，四個數中，有理數的個數為A.1個B.2個C.3個D.4個2.以下說法正確的選項是〔〕A.一個有理數不是正數就是負數B.一個有理數不是整數就是分數C.有理數就是指整數、分數和0D.有理數是指正數與整數三、數軸定義：數軸規定了原點、正反向和單位長度的直線。〔三要素〕原點：在直線上任取一個點表示數0，這個點叫做原點考點：利用數軸比擬大小所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來，但數軸上的點，不都是表示有理數。例題：1、例1：如圖，10-1abBA〔第1題圖〕數軸上A10-1abBA〔第1題圖〕A． B． C． D．例2：畫出數軸并表示以下有理數1.5,3，-0.5，-2.2,9/2,0，-1.5四、相反數概念：只有符號不同的兩個數互為相反數。0的相反數仍是0.唯一相反數等于本身的數幾何定義：在數軸上原點的兩側，到原點的距離相等的兩點所表示數為相反數。任何一個數都有它的相反數相反數是成對出現的，只能兩個數互為相反數，對一個數而言談不上互為相反數。相反數性質：a與b互為相反數，那么a+b=0.例題：1.-a的相反數是，〔注意：-a不一定是負數〕2.2的相反數的倒數是___化簡：-〔-〔+50〕〕，-〔+8.8〕，+〔-3.2〕〔化簡規律：一個數字前面假設有偶數個(-)號，那么結果為正，假設有奇數個(-)號，那么結果為負?！澄?、絕對值①在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值。②正數的絕對值是他的本身、負數的絕對值是他的相反數、0的絕對值是0。考點：定義：1定義如：x﹤0，化簡︱x-1︱2、絕對值非負性質如：︱x+4︱+〔y-3〕2=0，那么x+y2的值_______3、利用絕對值比擬兩個負數的大小。去絕對值符號。兩個負數比擬大小，絕對值大的反而小。4、分類討論題練習：1、－3的絕對值是_______2、假設︱x+2︱+︱y-3︱=0，那么2x-y的值_______.3._______的絕對值是9.4.a、b均為非零有理數，求++的所有可能值.5.在數軸上表示數a的點到原點的距離為3，那么a+︱-a︱=_______6.︱a︱=3，︱b︱=2，那么︱a+b︱=_______注意：做題時我們可以把字母取為具體的數字，驗證結果有理數的大小比擬1)利用數軸直觀比擬有理數的大?。簲递S上，右邊的數總比左邊的數大2〕利用有理數比擬大小的法那么：正數＞0，負數＜0，正數大于負數；兩個負數絕對值大的反而小。例：利用數軸比擬以下各數的大小，并用＜號連接3.5，-2，0，-1/2，1.5七、有理數的加法1、有理數加法法那么〔注：1、先確定結果的符號；2、再確定結果的絕對值.〕〔1〕、同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。Eg：1、+5+5=_____.2、-5-5=______.〔2〕、絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。Eg：1、-5+6=______.2、-7+5=______.〔3〕、互為相反數的兩個數相加得0?！?〕、一個數同0相加，仍得這個數。八、有理數的減法1.有理數減法法那么〔1〕減去一個數，等于加上這個數的相反數，即表示為a-b=a+〔-b〕Eg：1.計算〔1〕0-〔+4〕-〔-23〕-〔+6〕-6-8〔2〕〔+〕-〔+〕-〔+〕-〔+〕2、幾個有理數相減，其差仍為有理數。Eg：填空〔1〕〔-3〕－______=+1〔2〕〔-3〕－______=0〔3〕〔-3〕－______=-1注意：利用減數等于被減數減去差有理數的加減混合運算進行有理數的加減混合運算的步驟：A.把有理數的減法運算統一成加法運算B.根據需要寫成省略加號和括號的代數和的形式C.靈活運用加法法那么，加法交換律、加法結合律進行簡便運算Eg：1.以下各式可以寫出a-b+c的是〔〕A.a-(+b)-(+c)B.a-(+b)-(-c)C.a+(-b)+(-c)D.a+(-b)-(+c)考點：運用運算律求值，開放探究題。求以下各式的值：〔1〕1+2+3+4+·······+199+200(2)如果有理數a、b滿足︱ab-2︱+︱b-1︱=0，試求：+++……+的值.提示：利用拆項法，=-〔3〕閱讀以下材料：1×2=(1×2×3－0×1×2)，2×3=(2×3×4－1×2×3)，3×4=(3×4×5－2×3×4)，由以上三個等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4=×3×4×5=20．讀完以上材料，請你計算以下各題：1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11〔寫出過程〕；1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n＋1)=_________；1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9=_________．4.定義新運算Eg：設a、b都是有理數，規定符號“△〞的定義是：a△b=|a|+〔-b〕，求〔-2〕△2的值。十一、有理數的乘法有理數的乘法法那么兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。Eg：1〕5×5=____2)(-5)×(-4)=____任何數同0相乘，都得0n個不是0的數相乘，負因數的個數都是偶數時，積是正數，負因數的個數為奇數時，積是負數。n個數相乘，假設其中有因數0，那么積等于0因數中有負數的，必須用括號將負數括起來。Eg：計算×〔-〕；〔2〕×；有理數乘法的運算律〔1〕乘法交換律：一般地，有理數乘法中，兩個數相乘，交換因數的位置，積相等，即ab=ba〔2〕乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等，即Abc=(ab)c=a(bc)(3)乘法分配律：一般地，一個數同兩個數的和相等，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加，即a〔b+c〕=ab+acEg：1.計算[(-4)×(+8)×(-2.5)-0.8]×(-125)；十二、有理數的除法1.有理數的除法法那么：〔1〕除以一個不等于0的數，等于乘以這個數的倒數；〔2〕兩個數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除，0除以任何一個不等于0的數都得0.Eg：1.計算〔-72〕÷〔-18〕；〔2〕1÷(-)；〔3〕(-)÷；(4)0÷(-7)2.有理數的混合運算：有理數乘除混合運算，一般先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果〔由負因數的個數確定積的符號，同時將小數化為分數，帶分數化為假分數，再進行計算〕Eg：計算〔1〕29÷3×；〔2〕0÷〔-〕×；十三、有理數的乘方1.乘方的意義：求n個相同因數的積的運算，叫做乘方。記作an〔1〕an所表達的意義是n個a相乘〔2〕乘方的結果叫做冪〔3〕在an中，a叫做底數，n叫做指數〔4〕an讀作a的n次方，也可以讀作a的n次冪〔5〕一個數可以看做本身的一次方，如a就是a1，指數1通常省略不寫〔6〕底數為-1、0和1的冪的特性：A、(-1)n=1n為偶數；(-1)n=-1n為奇數B、0n=0n為正整數C、1n=1Eg：把以下各題寫成乘方的形式〔1〕7×7×7×7×7=____〔2〕〔-〕×〔-〕×〔-〕=____2.乘方的性質與法那么：1〕正數的任何次冪都是正數；2〕0的任何正整數次冪都是0；3〕負數的奇次冪都是負數，負數的偶次冪都是正數。Eg：填空〔填“>〞“<〞或“=〞〕〔1〕假設a>0,那么a2___0，a3___0；〔2〕假設a<0,那么a2___0，a3___0；3．有理數乘方的運算方法方法1：根據乘方的意義，先把乘方化成乘法，再利用乘法的運算方法進行計算方法2：先確定冪的符號，再求冪的絕對值Eg：計算1〕〔-3〕4；2〕〔-4〕34.有理數的混合運算的運算順序〔1〕先乘方，再乘除，最后加減；〔2〕同級運算，從左到右進行計算；〔3〕假設有括號，那么先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號的順序依次進行計算考點：〔1〕定義：對于〔-2〕4與-24，以下說法正確的選項是〔〕A.它們的意義相同B.它們的結果相同C.它們的意義不同，結果相同D.它們的意義不同，結果也不同。(2)(-1)2n=____(-1)2n+1=____(n為正整數)〔3〕下面一組按規律排列的數：1、3、9、27、81·····中，第2023個數應是〔〕A.32023B.32023-1C.32007D.32007-15、科學記數法1、把大于10的數表示成a×10n的形式。其中1≤a﹤10，n為所給數的整數位減一。Eg：1、30000000用科學記數法表示為________.2、-12000000用科學記數法表示為________.3、1.21×108的原數是________.6、近似數和有效數字〔1〕近似數——接近一個準確數的數是近似數。〔2〕有效數字——個數從左邊第一個非0數字起到末位數字止，所以數字都是這個數的有效數字。〔3〕對于科學計數法表示的數，a×10n，它的有效數字就是a中的有效數字。〔4〕四舍五入遵從精確到哪一位就從這一位的下一位開始，而不是從數字的末尾往前四舍五入。比方：3.5449精確到0.01就是3.54而不是3.55.穩固練習：選擇題以下說法正確的個數是()①一個有理數不是整數就是分數②一個有理數不是正數就是負數③一個整數不是正的，就是負的④一個分數不是正的，就是負的A1B2C3D4a,b是有理數，它們在數軸上的對應點的位置如以下圖所示：a0b把a,－a,b,－b按照從小到大的順序排列()A－b＜－a＜a＜bB－a＜－b＜a＜bC－b＜a＜－a＜bD－b＜b＜－a＜a以下說法正確的選項是()①0是絕對值最小的有理數②相反數大于本身的數是負數③數軸上原點兩側的數互為相反數④兩個數比擬，絕對值大的反而小A①②B①③C①②③D①②③④4.以下運算正確的選項是()AB－7－2×5=－9×5=－45C3÷D－(-3)2=-95.假設a+b＜0,ab＜0,那么()Aa＞0,b＞0Ba＜0,b＜0Ca,b兩數一正一負，且正數的絕對值大于負數的絕對值Da,b兩數一正一負，且負數的絕對值大于正數的絕對值6．某糧店出售的三種品牌的面粉袋上分別標有質量為〔25±0.1〕kg,〔25±0.2〕kg,〔25±0.3〕kg的字樣，從中任意拿出兩袋，它們的質量最多相差〔〕A0.8kgB0.6kgC0.5kgD0.4kg7．假設ab≠0,那么的取值不可能是〔〕A0B1C2D-28．絕對值大于2且小于5的所有的整數的和是〔〕A7B—7C0D5二、填空題9．—3的相反數是，倒數是，絕對值是.10．比—3大的負整數是，比3小的非負整數是.11．在數軸上，3和－5所對應的點之間的距離是________，到3和—5所對應的兩點的距離相等的點所對應的有理數是_________，它的倒數是____________.12．比大而比小的所有整數的和為.13．假設0＜a＜1,那么a,a2,的大小關系是.14．多倫多與北京的時間差為–12小時〔正數表示同一時刻比北京時間早的時數〕，如果北京時間是1