專題05用二次函數解決問題壓軸題七種模型全攻略考點一用二次函數解決增長率問題考點二用二次函數解決銷售問題考點三用二次函數解決拱橋問題考點四用二次函數解決噴水問題考點五用二次函數解決投球問題考點六用二次函數解決圖形問題考點七用二次函數解決圖形運動問題典型例題典型例題考點一用二次函數解決增長率問題例題：（2022·全國·九年級課時練習）某工廠實行技術改造，產量年均增長率為x，已知2020年產量為1萬件，那么2022年的產量y（萬件）與x間的關系式為___________．【變式訓練】1．（2022·江西萍鄉(xiāng)·七年級期末）某廠有一種產品現在的年產量是2萬件，計劃今后兩年增加產量，如果每年都比上一年的產量增加x倍，那么兩年后這種產品的產量y（萬件）將隨計劃所定的x的值而確定，那么y與x之間的關系式應表示為________．2．（2022·全國·九年級專題練習）為積極響應國家“舊房改造”工程，該市推出《加快推進舊房改造工作的實施方案》推進新型城鎮(zhèn)化建設，改善民生，優(yōu)化城市建設．（1）根據方案該市的舊房改造戶數從2020年底的3萬戶增長到2022年底的4.32萬戶，求該市這兩年舊房改造戶數的平均年增長率；（2）該市計劃對某小區(qū)進行舊房改造，如果計劃改造300戶，計劃投入改造費用平均20000元/戶，且計劃改造的戶數每增加1戶，投入改造費平均減少50元/戶，求舊房改造申報的最高投入費用是多少元？考點二用二次函數解決銷售問題例題：（2021·寧夏·吳忠市利通區(qū)扁擔溝中心學校九年級期中）一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴大銷售、增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經過一段時間銷售，發(fā)現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降價3元，則平均每天銷售數量為件：(2)當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤最大？【變式訓練】1．（2021·廣東·陸豐市甲東鎮(zhèn)鐘山中學九年級期中）某商場要經營一種新上市的文具，進價為20元/件，試營銷階段發(fā)現：當銷售單價是25元/件時，每天的銷售量為250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大；最大利潤為多少元？2．（2022·山東德州·九年級期末）某商廈燈具部投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈，銷售過程中發(fā)現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似的看作一次函數：y＝﹣10x+500，在銷售過程中銷售單價不低于成本價，而每件的利潤不高于成本價的60%．(1)設每月獲得利潤為w（元），求每月獲得利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍．(2)如果想要每月獲得的利潤為2000元，那么每月的單價定為多少元？(3)當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？考點三用二次函數解決拱橋問題例題：（2022·四川廣安·中考真題）如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2米時，水面寬6米，水面下降________米，水面寬8米．【變式訓練】1．（2022·山東德州·九年級期末）如圖是拋物線型拱橋，當拱頂高距離水面2m時，水面寬4m，如果水面上升1.5m，則水面寬度為________．2．（2022·甘肅定西·模擬預測）有一個拋物線的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為，跨度為，如圖所示，把它的圖形放在直角坐標系中．(1)求這條拋物線所對應的函數關系式；(2)如圖，在對稱軸右邊處，橋洞離水面的高是多少？考點四用二次函數解決噴水問題例題：（2022·河南·中考真題）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．(1)求拋物線的表達式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．【變式訓練】1．（2022·四川南充·中考真題）如圖，水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調試發(fā)現，噴頭高時，水柱落點距O點；噴頭高時，水柱落點距O點．那么噴頭高_______________m時，水柱落點距O點．2．（2022·浙江臺州·中考真題）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口離地豎直高度為（單位：）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度為的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車到的距離為（單位：）．(1)若，；①求上邊緣拋物線的函數解析式，并求噴出水的最大射程；②求下邊緣拋物線與軸的正半軸交點的坐標；③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求的取值范圍；(2)若．要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，請直接寫出的最小值．考點五用二次函數解決投球問題例題：（2022·上海市張江集團中學八年級期末）如圖，以地面為x軸，一名男生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）之間的關系是．則他將鉛球推出的距離是___米．【變式訓練】1．（2022·重慶實驗外國語學校八年級期末）小明在期末體育測試中擲出的實心球的運動路線呈拋物線形．若實心球運動的拋物線的解析式為，其中y是實心球飛行的高度，x是實心球飛行的水平距離．已知該同學出手點A的坐標為，則實心球飛行的水平距離OB的長度為（

）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m2．（2022·貴州安順·九年級階段練習）如圖是小明站在點O處長拋籃球的路線示意圖，球在點A處離手，且．第一次在點D處落地，然后彈起在點E處落地，籃球在距O點的點B處正上方達到最高點，最高點C距地面的高度，點E到籃球框正下方的距離，籃球框的垂直高度為．據試驗，兩次劃出的拋物線形狀相同，但第二次的最大高度為第一次的，以小明站立處點O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．(1)求拋物線的函數解析式；(2)求籃球第二次的落地點E到點O的距離．（結果保留整數）(3)若小明想一次投中籃球框，他應該向前走多少米？（結果精確到）（參考數據：）考點六用二次函數解決圖形問題例題：（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級期中）如圖，利用一面墻（墻長26米），用總長度49米的柵欄（圖中實線部分）圍成一個矩形圍欄ABCD，且中間共留兩個1米的小門，設柵欄BC長為米．(1)AB＝米（用含的代數式表示）；(2)若矩形圍欄ABCD面積為210平方米，求柵欄BC的長；(3)能圍成比210平方米更大的矩形圍欄ABCD嗎？如果能，請求出最大面積；如果不能，請說明理由．【變式訓練】1．（2021·寧夏·吳忠市利通區(qū)扁擔溝中心學校九年級期中）如圖，利用一面墻（墻長10米）用20米的籬笆國成一個矩形場地．設垂直于墻的一邊為x米．矩形場地的面積為s平方米．(1)求s與x的函數關系式，并求出x的取值范圍；(2)若矩形場地的面枳最大，應該如何設計長與寬．2．（2022·山東煙臺·九年級期中）某城門的截面由一段拋物線和一個正方形（OMNE為正方形）的三條邊圍成，已知城門寬度為4米，最高處距地面6米．如圖1所示，現以O點為原點，OM所在的直線為x軸，OE所在的直線為y軸建立直角坐標系．(1)求上半部分拋物線的函數表達式，并寫出其自變量的取值范圍；(2)有一輛寬3米，高4.5米的消防車需要通過該城門，請問該消防車能否正常進入？(3)為營造節(jié)日氣氛，需要臨時搭建一個矩形“裝飾門”ABCD，該“裝飾門”關于拋物線對稱軸對稱，如圖2所示，其中AB，AD，CD為三根承重鋼支架，A、D在拋物線上，B，C在地面上，已知鋼支架每米70元，問搭建這樣一個矩形“裝飾門”，僅鋼支架一項，最多需要花費多少元？考點七用二次函數解決圖形運動問題例題：（2022·全國·九年級課時練習）如圖1，在中，，已知點P在直角邊AB上，以的速度從點A向點B運動，點Q在直角邊BC上，以的速度從點B向點C運動．若點P，Q同時出發(fā)，當點P到達點B時，點Q恰好到達點C處．圖2是的面積與點P的運動時間之間的函數關系圖像（點M為圖像的最高點），根據相關信息，計算線段AC的長為（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學二模）如圖，在矩形ABCD中，BC＞CD，BC、CD分別是一元二次方程x2－7x＋12＝0的兩個根，連接BD，并過點C作CN⊥BD，垂足為N，點P從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BD方向勻速運動到D為止；點M沿線段DA以每秒1個單位的速度由點D向點A勻速運動，到點A為止，點P與點M同時出發(fā)，設運動時間為t秒（t＞0）．(1)求線段CN的長；(2)在整個運動過程中，當t為何值時△PMN的面積取得最大值，最大值是多少？2．（2021·北京·九年級期中）如圖，中，，，．動點，分別從，兩點同時出發(fā)，點沿邊向以每秒3個單位長度的速度運動，點沿邊向以每秒4個單位長度的速度運動，當，到達終點，時，運動停止．設運動時間為．(1)①當運動停止時，的值為．②設，之間的距離為，則與滿足（選填“正比例函數關系”，“一次函數關系”，“二次函數關系”．(2)設的面積為，①求的表達式（用含有的代數式表示）；②求當為何值時，取得最大值，這個最大值是多少？課后訓練課后訓練一、選擇題1．（2022·河北·威縣第三中學九年級階段練習）小明在體育訓練中擲出的實心球的運動路線呈如圖所示的拋物線形，若實心球運動的拋物線的解析式為，其中是實心球飛行的高度，是實心球飛行的水平距離，則小明此次擲球的成績（即的長度）是（

）A． B． C． D．2．（2021·浙江紹興·九年級期中）一座拱橋的示意圖如圖所示，當水面寬為12m時，橋洞頂部離水面4m．已知橋洞的拱形是拋物線，以水平方向為x軸（向右為正向），若A為原點建立坐標系時，該拋物線的表達式為則B為原點建立坐標系時，該拋物線的表達式為（）A． B． C． D．3．（2022·甘肅·甘州中學九年級階段練習）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，點P從點B出發(fā)，以cm/s的速度沿BC方向運動到點C停止，同時點Q從點B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA—AC方向運動到點C停止．若△BPQ的面積為y（），運動時間為x（s），則下列最能反映y與x之間函數關系的圖象是(

)A． B． C． D．二、填空題4．（2022·全國·九年級課時練習）某廠今年一月份新產品的研發(fā)資金為1000元，以后每月新產品的研發(fā)資金與上月相比增長率都是x，則該廠今年三月份新產品的研發(fā)資金y（元）關于x的函數關系式為______．5．（2022·山東·日照港中學九年級階段練習）某服裝店銷售一批服裝，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，盡快減少庫存，商店決定采取適當的降價措施，經市場調查發(fā)現，如果一件衣服每降價1元，商店平均每天可多售出2件，則每件衣服降價___________元時，服裝店每天盈利最多．6．（2022·北京·人大附中九年級階段練習）如圖，在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃，設花圃的寬AB為x米，面積為S平方米．則S與x的函數關系式為_____________；花圃面積最大是____________平方米．三、解答題7．（2022·全國·九年級專題練習）某種產品現在的年產量是，計劃今后兩年增加產量．如果每年都比上一年的產量增加x倍，那么兩年后這種產品的產量y將隨計劃所定的x的值而確定，y與x之間的關系應怎樣表示？8．（2022·福建·廈門市湖濱中學九年級階段練習）在運動會比賽時，九年級的一名男同學推鉛球，已知鉛球經過的路線是某二次函數圖象的一部分（如圖所示），如果這名男同學的出手處A點的坐標為，鉛球路線的最高處B點的坐標為．(1)求出這個二次函數的解析式；(2)請求出這名男同學比賽時的成績？9．（2022·福建·廈門外國語學校九年級階段練習）某企業(yè)安排75名工人生產甲、乙兩種產品，每名工人每天可生產2件甲產品或1件乙產品，且每名工人每天只能生產一種產品，甲產品每件可獲利20元．根據市場需求，乙產品每天產量不少于5件，當乙產品每天生產5件時，每件可獲利150元，每增加1件，當天平均每件利潤減少2元，設每天安排x（x為不小于5的整數）名工人生產乙產品．(1)用含x的代數式表示：每天生產甲產品的工人有名；每件乙產品可獲利潤元；(2)該企業(yè)在不增加工人數量的情況下，增加生產丙產品，要求每天甲，丙兩種產品的產量相等，已知每名工人每天可生產1件丙產品，丙產品每件可獲利25元，該企業(yè)每天生產三種產品，且可獲得的總利潤的和最大時，請求出x的值．10．（2022·浙江·義烏市繡湖中學教育集團九年級階段練習）某植物園有一塊足夠大的空地，其中有一堵長為6米的墻，現準備用20米的籬笆圍兩間矩形花圃，中間用籬笆隔開．小俊設計了如圖所示的兩種方案：方案甲中AD的長不超過墻長；方案乙中AD的長大于墻長．(1)若按方案甲施工，且圍成面積為25平方米的花圃，則AD的長是多少米？(2)按哪種方案施工，可以圍成的矩形花圃的面積最大？最大面積是多少？11．（2022·福建·福州第四中學桔園洲中學九年級階段練習）某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件，如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元），設每件商品的售價上漲x元（x為正整數），每個月的銷售利潤為y元.(1)求x的取值范圍；(2)當x=10時，求該商品的銷售量；(3)求當售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？并求出最大的月利潤.12．（2022·湖北·武漢市二橋中學九年級階段練習）如圖，某城區(qū)公園有直徑為的圓形水池，水池邊安有排水槽，在正中心O處修噴水裝置，噴出的水流呈拋物線狀，當水管高度在處時，距離水平距離處噴出的水流達到最大高度為．(1)求拋物線解析式，并求水流落地點B到點O的距離（即線段的長）；(2)距離水平距離多遠的E點處，放置高為的景觀射燈EF使水流剛好到點F？(3)若不改變（1）中拋物線的形狀和對稱軸，若使水流落地點恰好落在圓形水池邊排水槽內（不考慮邊寬），則此時水管的高度為多少？13．（2022·福建省尤溪第一中學文公分校九年級階段練習）如圖，用長為22米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為14米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時，在BC上用其他材料做了寬為1米的兩扇小門.設花圃垂直于墻的邊AB長為x米，花圃面積為S平方米．(1)用含x的代數式表示S．(2)如果花圃的面積剛好為，此時邊AB的長是多少米？(3)按題目的設計要求，能圍成比更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由．14．（2022·江西·南昌市江鈴學校九年級階段練習）如圖1所示，某公園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴出的水柱為拋物線，且各方向噴出的水柱恰好落在水池內，過噴水管口所在鉛垂線每一個截面均可得到兩條關于對稱的拋物線，如圖2，以噴水池中心為原點，噴水管口所在鉛垂線為縱軸，建立平面直角坐標系．(1)若噴出的水柱在距水池中心3米處達到最高，且高度為5米，求水柱所在拋物線的函數表達式；(2)