課題二階線性微分方程課時1課時（45min）總41課時教學目標知識技能目標：（1）理解二階線性微分方程的概念和類型。（2）掌握二階線性微分方程的求解及應用。素質目標：（1）培養與他人合作交流的學習習慣．（2）培養數學建模思維，把數學理論和方法運用到解決實際問題中去．教學重難點教學重點：二階線性微分方程的概念和類型教學難點：二階微分方程的求解教學方法講練結合法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計→→→傳授新知（23min）→強化訓練（10min）→課堂小結（3min）→布置作業教學過程主要教學內容及步驟設計意圖課前任務【教師】布置課前任務，和學生負責人取得聯系，讓其提醒同學通過文旌課堂APP或其他學習軟件，完成課前任務請大家與習有關二階微分方程的解的知識。【學生】完成課前任務通過課前任務，使學生了解所學知識的重要性，增加學生的學習興趣，提高學習效率考勤（2min）【教師】使用文旌課堂APP進行簽到，清點上課人數，記錄好考勤【學生】班干部報請假人員及原因培養學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況問題導入（5min）【教師】提出以下問題：回憶一階微分方程的定義與解法，類比二階微分方程的定義與解法．【學生】思考、舉手回答通過問題導入的方法，引導學生主動思考，激發學生的學習興趣傳授新知（23min）【教師】通過學生的回答引入要講的知識6.3.2二階線性微分方程知識點二階線性微分方程的定義?【教師】介紹二階線性微分方程的定義形如（6-29）的二階微分方程，稱為二階線性微分方程，其中，及都是的已知函數，稱為自由項．當為常數時，微分方程（6-29）變為（6-30）稱為二階常系數線性微分方程．當時，微分方程（6-30）變為稱為二階常系數齊次線性微分方程；當時，微分方程（6-30）稱為二階常系數非齊次線性微分方程．?【學生】聆聽、理解、記錄，知識點二階常系數齊次線性微分方程的解法?【教師】介紹二階常系數齊次線性微分方程的解法定理1若是二階常系數齊次線性微分方程（6-31）的兩個線性無關的特解，即常數，則該方程的通解為（為常數）．?【學生】聆聽、理解、記錄?【教師】講解過程提煉步驟求二階常系數齊次線性微分方程（6-31）通解的步驟如下．（1）寫出微分方程（6-31）的特征方程．

（2）求出特征根．

（3）根據特征根的不同情況，按表6-1寫出通解．表6-1特征方程的根微分方程的通解兩個不相等的實根兩個相等的實根一對共軛復根（...具體推導過程見教材）?【學生】聆聽、理解、演算?【教師】講解例題例4求微分方程的通解．例5求微分方程滿足初值條件的一個特解．例6求微分方程的通解．?【學生】聆聽、理解、演算知識點二階常系數非齊次線性微分方程的解法?【教師】介紹二階常系數非齊次線性微分方程的解法定理2若是二階常系數非齊次線性微分方程（6-30）的一個特解，是與微分方程（6-30）對應的二階常系數齊次線性微分方程（6-31）的通解，則就是微分方程（6-30）的通解．由定理2可知，若求微分方程（6-30）的通解，只需求出其一個特解，再求出微分方程（6-31）的通解即可．微分方程（6-31）通解的求法在前面介紹過，下面討論微分方程（6-30）特解的求法．微分方程（6-30）特解的形式與自由項有關，在一般情況下，很難求出．這里主要介紹當取，兩種常見形式時，求特解的方法，這種方法的特點是不用積分就可以求出．1）型?【教師】講解型的解如果微分方程的右端，其中是常數，是一個已知的的次多項式，則．（6-33）因為微分方程（6-33）的右端是多項式與指數函數的乘積，而多項式與指數函數乘積的導數仍然是多項式與指數函數的乘積，因此我們推測微分方程（6-33）的特解也是多項式與指數函數的乘積．可以證明，微分方程（6-33）有形如的特解，其中是與同次的多項式，k按以下三種情況取值：?【學生】聆聽、理解、記錄?【教師】講解例題例7求微分方程的一個特解．例8求微分方程的通解．?【學生】聆聽、理解、演算2）型?【教師】講解型的解如果微分方程的右端，其中為實數，且，，分別為，次多項式，則．（6-34）可以證明，微分方程（6-34）具有形如的特解，其中和是次多項式，，按以下兩種情況取值：?【學生】聆聽、理解、記錄?【教師】講解例題例9求微分方程的一個特解．【學生】聆聽、思考、演算、對比演算步驟和結果通過教師講解和例題分析等方式，使學生了解二階線性微分方程的定義和類型，并掌握二階線性微分方程的求解及應用強化練習（10min）【教師】通過APP發送強化練習作業題，并點名部分學生進行板演求二階微分方程的解（1）． （2）．對比自己的計算結果，提升解題技巧通過強化練習，使學生鞏固所學知識，并以學生為主體，針對學生接受能力的差異性，讓優秀學生帶動其他學生掌握知識課堂小結（3min）【教師】簡要總結本節課的要點本節課學習了二階線性微分方程的概念、類型和解法。希望大家在課下多加練習，鞏固課上所學知識，熟練掌握二階線性微分方程的解法及應用。【學生】總結回顧知識點總結知識點，鞏固學生二階微分方程相關知識的印象作業布置（2min）【教師】布置課后作業完成教材中小節作業6.3中與本課相關的習題本課作業布置二維碼老師掃描此碼，即可進行線上作業布置【學生】完成課后作業通