山東省淄博市2024屆高二數學第一學期期末質量檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，且直線始終平分圓的周長，則的最小值是（）A.2 B.C.6 D.162．已知向量分別是直線的方向向量，若，則（）A. B.C. D.3．已知數列滿足，，則（）A. B.C. D.4．有一組樣本數據、、、，由這組數據得到新樣本數據、、、，其中，為非零常數，則（）A.兩組樣本數據的樣本平均數相同 B.兩組樣本數據的樣本標準差相同C.兩組樣本數據的樣本中位數相同 D.兩組樣本數據的樣本眾數相同5．圍棋起源于中國，據先秦典籍世本記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年歷史．圍棋不僅能抒發意境、陶冶情操、修身養性、生慧增智，而且還與天象易理、兵法策略、治國安邦等相關聯，蘊含著中華文化的豐富內涵．在某次國際圍棋比賽中，規定甲與乙對陣，丙與丁對陣，兩場比賽的勝者爭奪冠軍，根據以往戰績，他們之間相互獲勝的概率如下：甲乙丙丁甲獲勝概率乙獲勝概率丙獲勝概率丁獲勝概率則甲最終獲得冠軍的概率是（）A.0.165 B.0.24C.0.275 D.0.366．函數圖象的一個對稱中心為（）A. B.C. D.7．已知函數，則（）A. B.0C. D.18．已知雙曲線的左、右焦點分別為，半焦距為c，過點作一條漸近線的垂線，垂足為P，若的面積為，則該雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.9．雙曲線的光學性質如下：如圖1，從雙曲線右焦點發出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過左焦點．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點，若從右焦點發出的光線經雙曲線上的點A和點B反射后（，A，B在同一直線上），滿足，則該雙曲線的離心率的平方為（）A. B.C. D.10．下列函數中，以為最小正周期，且在上單調遞減的為（）A. B.C. D.11．加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．則橢圓的蒙日圓的半徑為（）A.3 B.4C.5 D.612．南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數列與一般等差數列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數之差或者高次差相等.對這類高階等差數列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術”.現有一個高階等差數列，其前7項分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數列的第8項為（）A.99 B.131C.139 D.141二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，四邊形為直角梯形，且，為正方形，且平面平面，，，，則______，直線與平面所成角的正弦值為______14．若直線:x-2y+1=0與直線:2x+my-1=0相互垂直，則實數m的值為________.15．已知函數的圖像在點處的切線方程是，則＝______16．已知等差數列中，，則=_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，，，△ABC的面積為（1）求a；（2）若D為BC邊上一點，且∠BAD=，求∠ADC的正弦值18．（12分）△ABC的三個頂點分別為（1）求△ABC的外接圓M的方程；（2）設直線與圓M交于兩點，求|PQ|的值19．（12分）書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習慣，每年4月23日為世界讀書日.某研究機構為了解當地年輕人的閱讀情況，通過隨機抽樣調查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：（1）求的值；（2）為了進一步了解年輕人的閱讀方式，研究機構采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于，和的年輕人中抽取5人，再從中任選2人進行調查，求其中至少有1人每天閱讀時間位于的概率.20．（12分）在數列中，，且.（1）證明；數列是等比數列.（2）若，求數列的前n項和.21．（12分）已知橢圓：的長軸長為6，離心率為，長軸的左，右頂點分別為A，B（1）求橢圓的方程；（2）已知過點的直線交橢圓于M、N兩個不同的點，直線AM，AN分別交軸于點S、T，記，（為坐標原點），當直線的傾斜角為銳角時，求的取值范圍22．（10分）已知直線過點，且其傾斜角是直線的傾斜角的（1）求直線的方程；（2）若直線與直線平行，且點到直線的距離是，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由已知直線過圓心得，再用均值不等式即可.【詳解】由已知直線過圓心得：，，當且僅當時取等.故選:B.2、C【解析】由題意，得，由此可求出答案【詳解】解：∵，且分別是直線的方向向量，∴，∴，∴，故選：C【點睛】本題主要考查向量共線的坐標表示，屬于基礎題3、A【解析】根據遞推關系依次求出即可.【詳解】，，，，，.故選：A.4、B【解析】利用平均數公式可判斷A選項；利用標準差公式可判斷B選項；利用中位數的定義可判斷C選項；利用眾數的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，設數據、、、的平均數為，數據、、、的平均數為，則，A錯；對于B選項，設數據、、、的標準差為，數據、、、的標準差為，，B對；對于C選項，設數據、、、中位數為，數據、、、的中位數為，不妨設，則，若為奇數，則，；若為偶數，則，.綜上，，C錯；對于D選項，設數據、、、的眾數為，則數據、、、的眾數為，D錯.故選：B.5、B【解析】先求出甲第一輪勝出的概率，再求出甲第二輪勝出的概率，即可得出結果.【詳解】甲最終獲得冠軍的概率，故選：B.6、D【解析】要求函數圖象的一個對稱中心的坐標,關鍵是求函數時的的值;令,根據余弦函數圖象性質可得,此時可求出,然后對進行取值,進而結合選項即可得到答案.【詳解】解:令,則解得,即,圖象的對稱中心為,令,即可得到圖象的一個對稱中心為故選:D【點睛】本題考查三角函數的對稱中心,正弦函數的對稱中心為,余弦函數的對稱中心為.7、B【解析】先求導，再代入求值.詳解】，所以.故選：B8、D【解析】根據給定條件求出，再計算面積列式計算作答.【詳解】依題意，點，由雙曲線對稱性不妨取漸近線，即，則，令坐標原點為O，中，，又點O是線段的中點，因此，，則有，即，，，所以雙曲線的離心率為故選：D9、D【解析】設，根據題意可得，由雙曲線定義得、，進而求出（用表示），然后在中，應用勾股定理得出關系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設，則.因為，所以，則，則，又因為，所以，則,在中，，即，所以.故選：D10、B【解析】A.利用正切函數的性質判斷；B.作出的圖象判斷；C.作出的圖象判斷；D.作出的圖象判斷.【詳解】A.是以為最小正周期，在上單調遞增，故錯誤；B.如圖所示：，由圖象知：函數是以為最小正周期，在上單調遞減，故正確；C.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調遞增，故錯誤；D.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調遞增，故錯誤；故選：B11、A【解析】由蒙日圓的定義，確定出圓上的一點即可求出圓的半徑.【詳解】由蒙日圓的定義，可知橢圓的兩條切線的交點在圓上，所以，故選：A12、D【解析】根據題中所給高階等差數列定義，找出其一般規律即可求解.【詳解】設該高階等差數列的第8項為，根據所給定義，用數列的后一項減去前一項得到一個數列，得到的數列也用后一項減去前一項得到一個數列，即得到了一個等差數列，如圖：由圖可得，則.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①..②..【解析】以點為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系,根據空間向量的線性運算求得向量的坐標，由此求得，由線面角的空間向量求解方法求得答案.【詳解】解：以點為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如下圖所示）由題意可知，，，因為，，所以，故設平面的法向量為，則，令，得因為，所以直線與平面所成角的正弦值為故答案為：；.14、1【解析】由兩條直線垂直可知，進而解得答案即可.【詳解】因為兩條直線垂直，所以.故答案為：1.15、3【解析】根據導數幾何意義，可得的值，根據點M在切線上，可求得的值，即可得答案.【詳解】由導數的幾何意義可得，，又在切線上，所以，則=3，故答案為：3【點睛】本題考查導數的幾何意義的應用，考查分析理解的能力，屬基礎題.16、4【解析】由等差數列的通項公式求出公差，進而求出.【詳解】設該等差數列的公差為，則，所以.故答案為：4.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用面積公式及余弦定理可求解；（2）由正弦定理得到，再運用同角函數的關系得到，最后運用正弦的兩角和公式求解即可.【小問1詳解】∵，，，∴由余弦定理：，∴【小問2詳解】在中，由正弦定理得，∴，易知B為銳角，∴，∴18、（1）；（2）.【解析】（1）設出圓的一般方程，根據的坐標滿足圓方程，待定系數，即可求得圓方程；（2）根據（1）中所求圓方程，結合弦長公式，即可求得結果.【小問1詳解】設圓M的方程為，因為都在圓上，則，解得，故圓M的方程為，也即.【小問2詳解】由（1）可知，圓M的圓心坐標為，半徑為，點M到直線的距離故.19、（1）（2）【解析】（1）由頻率之和為1求參數.（2）由分層抽樣的比例可得抽取的5人中，和分別為：1人，2人，2人，再應用列舉法寫出所有基本事件，根據古典概型的概率計算即可.小問1詳解】根據頻率分布直方圖得：，解得；【小問2詳解】由于，和的頻率之比為：，故抽取的5人中，，和別為：1人，2人，2人，記的1人為，的2人為，，的2人為，，故隨機抽取2人共有，，，，，，，，，10種，其中至少有1人每天閱讀時間位于的包含，，，，，，共7種，故概率.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據遞推公式，結合等差數列的定義、等比數列的定義進行證明即可；（2）運用裂項相消法進行求解即可.【小問1詳解】∵，∴，又∵，∴，∴數列是首項為0，公差為1的等差數列，∴，∴，從而，∴數列是首項為2，公比為2的等比數列；【小問2詳解】由（1）知，則，∴，∴.21、（1）（2）【解析】（1）根據橢圓的長軸和離心率，可求得，進而得橢圓方程；（2）先判斷直線斜率為正，然后設出直線方程，和橢圓方程聯立，整理得根與系數的關系，利用直線方程求出點S、T的坐標，再根據確定的表達式，將根與系數的關系式代入化簡，求得結果.【小問1詳解】由題意可得：解得：，所以橢圓的方程：【小問2詳解】當直線