湖南省張家界市2023-2024學年高二數學第一學期期末調研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，若在處取得極值，且恒成立，則實數的最大值為（）A. B.C. D.2．直線x－y＋1＝0被橢圓＋y2＝1所截得的弦長|AB|等于（）A. B.C. D.3．方程表示的曲線是A.兩條直線 B.兩條射線C.兩條線段 D.一條直線和一條射線4．已知函數的導函數的圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.在區間上，函數增函數 B.在區間上，函數是減函數C.為函數的極小值點 D.2為函數的極大值點5．直線的傾斜角的大小為（）A. B.C. D.6．七巧板是中國古代勞動人民發明的一種傳統智力玩具，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A. B.C. D.7．已知點，點關于原點的對稱點為，則（）A. B.C. D.8．已知且，則下列不等式恒成立的是A. B.C. D.9．已知x是上的一個隨機的實數，則使x滿足的概率為（）A. B.C. D.10．已知關于的不等式的解集為，則不等式的解集為（）A.或 B.C.或 D.11．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.0C.?1 D.?312．“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數列滿足，，則______.14．千年一遇對稱日，萬事圓滿在今朝，年月日又是一個難得的“世界完全對稱日”（公歷紀年日期中數字左右完全對稱的日期）.數學上把這樣的對稱自然數叫回文數，兩位數的回文數共有個（），其中末位是奇數的又叫做回文奇數，則在內的回文奇數的個數為___15．某甲、乙兩人練習跳繩，每人練習10組，每組不間斷跳繩計數的莖葉圖如圖，則下面結論中所有正確的序號是___________.①甲比乙的極差大；②乙的中位數是18；③甲的平均數比乙的大；④乙的眾數是21.16．設、分別是橢圓的左、右焦點．若是該橢圓上的一個動點，則的最大值為_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校高二年級全體學生參加了一次數學測試，學校利用簡單隨機抽樣的方法從甲班、乙班各抽取五名同學的數學測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數據的中位數相等且平均數也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.18．（12分）如圖1，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，將△BCD沿對角線BD折起到△BDC′的位置，如圖2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中點，FA⊥平面ABD，且FA=.圖1圖2（1）求平面FBC′與平面FBA夾角的余弦值；（2）在線段AD上是否存在一點M，使得⊥平面?若存在，求的值；若不存在，說明理由.19．（12分）已知分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的一點，且的面積為1.（1）求橢圓的短軸長；（2）過原點的直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的一點，若為等邊三角形，求的取值范圍.20．（12分）已知函數.（1）求函數在處的切線方程；（2）設為的導數，若方程的兩根為，且，當時，不等式對任意的恒成立，求正實數的最小值.21．（12分）命題存在，使得；命題對任意的，都有（1）若命題p為真時，求實數a的取值范圍；若命題q為假時，求實數a的取值范圍；（2）如果命題為真命題，命題為假命題，求實數a的取值范圍22．（10分）已知函數.（1）當時，解不等式；（2）若不等式的解集為，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據已知在處取得極值，可得，將在恒成立，轉化為，只需求，求出最小值即可得答案【詳解】解：，，由在處取得極值，得，解得，所以，，其中，.當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，故函數在處取得極小值，，恒成立，轉化為，令，，則，，令得，當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，所以，即得，故選：D2、A【解析】聯立方程組，求出交點坐標，利用兩點間的距離公式求距離.【詳解】由得交點為(0,1)，，則|AB|＝＝.故選：A.3、D【解析】由，得2x+3y?1=0或.即2x+3y?1=0(x?3)為一條射線，或x=4為一條直線.∴方程表示的曲線是一條直線和一條射線.故選D.點睛：在直角坐標系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關系：（1）曲線上點的坐標都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線在求解方程時要注意變量范圍.4、D【解析】根據導函數與原函數的關系可求解.【詳解】對于A，在區間，，故A不正確；對于B，在區間，，故B不正確；對于C、D，由圖可知在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，且，所以為函數的極大值點，故C不正確，D正確.故選：D5、B【解析】由直線方程,可知直線的斜率，設直線的傾斜角為，則，又，所以，故選6、D【解析】設正方形的邊長為，計算出陰影部分區域的面積和正方形區域的面積，然后利用幾何概型的概率公式計算出所求事件的概率.【詳解】設大正方形的邊長為，則面積為，陰影部分由一個大等腰直角三角形和一個梯形組成大等腰直角三角形的面積為，梯形的上底為，下底為，高為，面積為，故所求概率故選：D.7、C【解析】根據空間兩點間距離公式，結合對稱性進行求解即可.【詳解】因為點關于原點的對稱點為，所以,因此，故選：C8、C【解析】∵且，∴∴選C9、B【解析】先解不等式得到的范圍，再利用幾何概型的概率公式進行求解.【詳解】由得，即，所以使x滿足的概率為故選：B.10、A【解析】由一元二次不等式的解集可得且，確定a、b、c間的數量關系，再求的解集.【詳解】由題意知：且，得，從而可化為，等價于，解得或.故選：A.11、B【解析】先畫出可行域，由，得，作出直線，過點時，取得最大值，求出點的坐標代入目標函數中可得答案【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示，由，得，作出直線，過點時，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故選：B12、A【解析】按照充分必要條件的判斷方法判斷，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判斷得到正確答案，【詳解】當且時，成立，反過來，當時，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，重點考查基本判斷方法，屬于基礎題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據遞推關系依次求得的值.【詳解】依題意數列滿足，，所以.故答案為：14、【解析】根據分類加法計數原理，結合題中定義、組合的定義進行求解即可.【詳解】兩位數的回文奇數有，共個，三位數的回文奇數有，四位數的回文奇數有，所以在內的回文奇數的個數為，故答案為：15、①③④【解析】根據莖葉圖提供的數據求出相應的極差、中位數、均值、眾數再判斷【詳解】由莖葉圖，甲的極差是37－8＝29，乙的極差是23－9＝14，甲極差大，①正確；乙中位數是，②錯；甲平均數是：，乙的平均數為：16.9，③正確；乙的眾數是21，④正確故答案為：①③④16、4【解析】設，寫出、的坐標，利用向量數量積的坐標表示有，根據橢圓的有界性即可求的最大值.【詳解】由題意知：，，若，∴，，∴，而，則，而，∴當時，.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：利用向量數量積的坐標表示及橢圓的有界性求最值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）根據莖葉圖得甲班中位數為，由此能求出，根據由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學中隨機抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.【小問1詳解】根據莖葉圖可知1班中位數為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件M，事件M包括：共1個基本事件，由古典概型的計算概率的公式知∴所以兩人都來自甲班的概率為18、（1）（2）不存在，理由見解析【解析】（1）利用垂直關系，以點為原點，建立空間直角坐標系，分別求平面和平面的法向量和，利用公式，即可求解；（2）若滿足條件，，利用向量的坐標表示，判斷是否存在點滿足.【小問1詳解】∵，E為BD的中點∴CE⊥BD，又∵平面⊥平面ABD，平面平面，⊥平面，∴⊥平面ABD，如圖以E原點，分別以EB、AE、EC′所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則B(1，0，0)，A(0，-，0)，D(-1，0，0)，F(0，-，2)，(0，0，)，∴=(-1，-，2)，=(-1，0，)，=(1，，0)，設平面的法向量為=(x，y，z)，則，取z=1，得平面的一個法向量=(，1，1)，設平面FBA的法向量為=(a，b，c)，則取b=1，得平面FBA的一個法向量為=(-，1，0)，∴設平面ABD與平面的夾角為θ，則∴平面ABD與平面夾角的余弦值為.【小問2詳解】假設在線段AD上存在M(x，y，z)，使得平面，設(0≤λ≤1)，則(x，y+，z)=(-1，，0)，即(x，y+，z)=(-λ，，0)，∴，，z=0，∴，是平面的一個法向量由∥，得，此方程無解.∴線段AD上不存點M，使得平面.19、（1）2（2）【解析】（1）根據題意表示出的面積，即可求得結果；（2）分類討論直線斜率情況，然后根據是等邊三角形，得到，聯立直線和橢圓方程，用點的坐標表示上述關系式，化簡即可得答案.【小問1詳解】因為，所以，又因為，所以，，所以，則橢圓的短軸長為2.【小問2詳解】若為等邊三角形，應有，即.當直線的斜率不存在時，直線的方程為，且，此時若為等邊三角形，則點應為長軸頂點，且，即.當直線的斜率為0時，直線的方程為，且，此時若為等邊二角形，則點應為短軸頂點，此時,不為等邊三角形.當直線的斜率存在且不為0時，設其方程為，則直線的方程為.由得,同理.因為，所以，解得.因為，所以，則，即.綜上，的取值范圍是.20、（1）（2）1【解析】（1）先求導數，根據導數的幾何意義可求得切線方程；（2）將已知方程結合其兩根，進行變式，求得，利用該式再將不等式變形，然后將不等式的恒成立問題變為函數的最值問題求解.【小問1詳解】由題意可得，所以切點為，則切線方程為：.【小問2詳解】由題意有：，則，因為分別是方程的兩個根，即.兩式相減，則，則不等式，可變為，兩邊同時除以得，，令，則在上恒成立.整理可得，在上恒成立，令，則，①當，即時，在上恒成立，則在上單調遞增，又，則在上恒成立；②當，即時，當時，，則在上單調遞減，則，不符合題意.綜上：，所以的最小值為1.21、（1）p為真時或，q為假時；（2）{或}.【解析】（1）p為真應用判別式求參數范圍；q為真，根據恒成立求參數范圍，再判斷q為假對應的參數范圍.（2）由題設易得p、q一真一假，討論p、q的真假，結合（1）的結果求a的