**王茂林一、選擇題1.已知2000-2006年某銀行的年末存款余額，要計算各年平均存款余額，該平均數是:（ b）謝謝閱讀a.幾何序時平均數； b.“首末折半法”序時平均數；謝謝閱讀c.時期數列的平均數； d.時點數列的平均數。2.某地區糧食增長量1990—1995年為12萬噸，1996—2000年也為12萬噸。那么，1990—2000精品文檔放心下載年期間，該地區糧食環比增長速度（d）a.逐年上升b.逐年下降c.保持不變d.不能做結論3.某商業集團2000—2001年各季度銷售資料如下：2000年2001年123412341.零售額（百萬）40423844485040602.季初庫存額（百萬）20212224252623283.流通費用額（百萬）3.83.22.83.23.03.13.14.04.商品流轉次數（次/季）1.9519.51.651.81.882.041.632.03上表資料中，是總量時期數列的有（d）a.1、2、3 b.1、3、4 c.2、4 d.1、3感謝閱讀4.利用上題資料計算零售額移動平均數（簡單，4項移動平均），2001年第二季度移動平均數為（a）謝謝閱讀a.47.5 b.46.5 c.49.5 d.48.4精品文檔放心下載二、判斷題1.連續12個月逐期增長量之和等于年距增長量。2.計算固定資產投資額的年平均發展速度應采用幾何平均法。感謝閱讀3.用移動平均法分析企業季度銷售額時間序列的長期趨勢時，一般應取4項進行移動平均。感謝閱讀**4.計算平均發展速度的水平法只適合時點指標時間序列。感謝閱讀5.某公司連續四個季度銷售收入增長率分別為9%、12%、20%和18%，其環比增長速度為0.14%。精品文檔放心下載正確答案：（1）錯；（2）錯；（3）對；（4）錯；（5）錯。精品文檔放心下載三、計算題：1．某企業2000年8月幾次員工數變動登記如下表：謝謝閱讀8月1日 8月11日 8月16日 8月31日精品文檔放心下載1210 1240 1300 1270試計算該企業8月份平均員工數。解：該題是現象發生變動時登記一次的時點序列求序時平均數，假設員工人數用y來表示，則：精品文檔放心下載y=yfyf...yf1122nnf...f1 2 n121010124051300151270感謝閱讀311260(人)該企業8月份平均員工數為1260人。某地區“十五”期間年末居民存款余額如下表：（單位：百萬）年份200020012002200320042005存款余7911142129額034110545746519662試計算該地區“十五”期間居民年平均存款余額。解：居民存款余額為時點序列，本題是間隔相等的時點序列，運用“首末折半法”計算序時平均數。謝謝閱讀yy...yyy=1n22n-12n-1**7034911011545147462151929662225＝15053.60（百萬）該地區“十五”期間居民年平均存款余額為15053.6百萬。感謝閱讀3.某企業2007年產品庫存量資料如下：單位：件日期庫存量日期庫存量日期庫存量1月1日634月30日509月30日601月31日605月31日5510月31日682月28日886月30日7011月30日543月31日467月31日4812月31日588月31日49試計算第一季度、第二季度、上半年、下半年和全年的平均庫存量。感謝閱讀解：產品庫存量是時點序列，本題是間隔相等的時點序列，運用“首末折半法”計算平均庫存量。感謝閱讀xx...xx1n計算公式：x=22n-12n-163608846第一季度平均庫存量：x=23267.50（件）146505570第二季度平均庫存量：x=23254.33（件）263608846505570上半年平均庫存量：y=26260.92（件）170484960685458下半年平均庫存:y=26257.17（件）26360...5458全年的平均庫存量：y=26259.04（件）4.某企業2000～2005年底工人數和管理人員數資料如下：單位：人年份工人管理人員年份工人管理人員數數數數**200100040200123052012024331285602001120502001415641420020025試計算1991～2005年該企業管理人員數占工人數的平均比重。精品文檔放心下載解：本題是計算相對數序時平均數。計算公式：ybay：管理人員占工人數的比重；a：管理人員數；b：工人數。精品文檔放心下載aaaaa1n22n12n140435052606425251.4（人）bbbbb1n22n12n11000120211201230128514152251208.9（人）a51.4yb＝1208.94.25%2001－2005年企業管理人員占工人數的平均比重為4.25％謝謝閱讀5．某地區2000～2005年社會消費品零售總額資料如下：精品文檔放心下載單位：億元200020012002200320042005社會消費9101216198品383985238059710255零售總額**要求：計算全期平均增長量、平均發展速度和平均增長速度，并列表計算(1)逐期增長量和累積增長量；精品文檔放心下載(2)定基發展速度和環比發展速度；(3)定基增長速度和環比增長速度；(4)增長1%的絕對值。感謝閱讀解：單位：億元年度200200120022003200420050社會消費品零售額（y）8259383109851223816059197105i逐期增長量（yy）—11281602125338213651ii1累積增長量（yy）_112827303983780411455i0定基發展速度（y/y）(%)_113.6133.0148.2194.5238.7067546i環比發展速度（y/y）(%)_113.6117.0111.4131.2122.767123ii1定基增長速度（y/y1）_13.6633.0748.2594.5438.76i0(%)環 比 增 長 速 度（y/y_13.6617.0711.4131.2222.731）(%)ii1增長1％的增長量109.8122.3160.5_82.5593.83（y589/100）1平均增長量＝11455＝2291（億元）5平均發展速度＝yn519710119.01%ny82550平均增長速度＝119.01％－100％＝19.01％謝謝閱讀6．某地區2006年末人口數為2000萬人，假定以后每年以9‰的速度增長，又知該地區2006年精品文檔放心下載GDP為1240億元。要求到2010年人均GDP達到9500元，試問該地區2010年的GDP應達到多少？謝謝閱讀2007年到2009年GDP的年均增長速度應達到多少？感謝閱讀解：2004年末該地區人口：2000(10.009)3＝2054.49（萬人）精品文檔放心下載**2005年末該地區人口：2000(10.009)4＝2072.98（萬人）精品文檔放心下載2005年該地區的平均人口為：（2054.49+2072.98）/2=2063.76(萬人)感謝閱讀所以，該地區2005年的GDP：9500×2063.76＝19605625（萬元）感謝閱讀2002－2004年該地區GDP的年均增長速度：謝謝閱讀1960.562510.121312.13%精品文檔放心下載1240所以，要使2005年的人均GDP達到9500元，2002－2005年GDP的年均增長速度應達到12.13％。感謝閱讀7.某企業1993～2007年產品產量資料如表：感謝閱讀要求：(1)進行三項中心化移動平均修勻。(2)根據修勻后的數據用最小二乘法配合直線趨勢方程，并感謝閱讀據以計算各年的趨勢值。(3)預測2009年該企業的產品產量。謝謝閱讀單位：件年份產量年份產量年份產量199334419984682003580199441619994862004569199543520004962005548199644020015222006580199745020025802007629解：（1）三項中心化移動平均修勻：年份19931994199519961997數據344416435440450三項移動平均—398.33430.33441.67452.67年份19981999200020012002數據468486496522580三項移動平均468483.33501.33532.67367.33年份20032004200520062007數據580569548580629三項移動平均576.3565.67565.67585.67－? ?（2）直線趨勢方程：y? ti 1 2i**將修勻后的數據代入最小二乘法求參數的公式：，可得：47122.421916370.97?13281919121347122.4244596.7913.88感謝閱讀182?6370.97911313.8813392.931y392.9313.88ti最小二乘法計算表年份時間變量ti產量yiti2tiyi19941398.331398.3319852430.334860.6619963441.6791325.0119974452.67161810.681998546825234019996483.33362899.9820007501.33493509.3120018532.67644261.3620029367.33813305.97200310576.31005763200411565.671216222.37200512567.671446812.04200613585.671697613.71合計916370.9781947122.42③根據方程計算各年的趨勢值，得到如下數據：年份19941995199619971998趨勢值406.81420.69434.57448.45462.33年份19992000200120022003趨勢值476.21490.09503.97517.85531.73年份2004200520062007趨勢值545.61559.49573.37587.25

（3）根據配合的方程，對2009年企業的產品產量進行預測。2002年時，t＝15，所以預測值為：y392.9313.8815601.13（件）精品文檔放心下載**8．某市集市2004-2007年各月豬肉銷售量（單位：萬公斤）如下表:感謝閱讀1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月20044050413945536873504843382005435245414865798664604541200640645856677484957668565220075572626070869810887786358試分別用同期平均法和移動平均剔除法計算季節指數。解：（1）用同期平均法中的比率平均法計算季節指數第一、計算各周期月平均數：y＝112y，得：i12ijj＝1y＝49，y＝55.75，y＝65.83，y＝74.75謝謝閱讀1 2 3 4第二、計算各指標值的季節比率和季節比率的平均數：季節比率：yijyi季節比率平均數：S＝14（yij）j4yi＝1i計算季節比率和季節比率平均數（最后一行是季節比率平均數，其余是季節比率），結果如下：精品文檔放心下載月123456789101112年19980.821.020.840.80.921.081.391.491.020.980.880.7819990.770.930.810.740.861.171.421.541.151.080.810.7420000.610.970.880.851.021.121.281.441.151.030.850.7920010.740.960.830.80.941.151.311.441.161.040.840.78sj 0.73 0.97 0.84 0.80 0.93 1.13 1.35 1.48 1.12 1.03 0.84 0.77感謝閱讀**第三，計算季節指數：S*＝1212Sj112首先計算Sj之和： Sj＝121所以，各時期的季節比率等于其季節指數。（2）用移動平均剔除法計算季節指數豬肉銷售中心化移動平均季節比季節比率的平均年月數率數量2004．14025034143954565376849.131.3841.3687349.331.481.4795049.581.0081.08104849.830.9631114350.040.8590.81123850.670.750.732005．14351.630.8330.7625252.630.9881.0134553.750.8370.8744154.830.7480.8254855.420.8660.9566555.631.1691.1577955.631.42Sj12886561.53696457.041.122106058.211.031114559.630.755124160.790.6742006．14061.380.65226461.961.03335862.830.923**年月豬肉銷售中心化移動平均季節比季節比率的平均量數率數45663.670.8856764.461.03967465.381.13278466.461.26489567.421.40997667.921.119106868.250.996115668.540.817125269.170.7522007．15570.250.78327271.381.00936272.380.85746073.250.81957073.960.94668674.51.154981088778由于 Sj12，所以，季節指數等于季節平均數。精品文檔放心下載9.某地區1998年到2007年的GDP如下表，請選擇最適合的α值，并用一次指數平滑模型預測1992年～2001年的GDP（單位：億元）。感謝閱讀年份GDP年份GDP19982162003679解：本1999266200474820003452005816始值S(1)為200145020068950200257720071036

題取平滑初1998 、1999 和 2000 年GDP的算術平均數，S(1)＝275.67。按照均方根誤差最小的原則選取的值。具體過程略，最后選定謝謝閱讀00.99，預測值如下所示：年份19981999200020012002GDP216266345450577預測值275.67344.31448.94575.72年份20032004200520062007**GDP6797488168951036預測值677.97747.3815.31894.21034.58一、隨機過程(StochasticProcess)感謝閱讀定義 設（Ω,F,P）是概率空間，T是給定的參數集，如果對于任意t∈T，都有一定義在（Ω,F,P）上謝謝閱讀的隨機變量X(t,ω)與之對應，則稱隨機變量族{X(t,ω),t∈T}為隨機過程。簡記為{X(t,),t∈T}或{Xt,t∈T}或XT謝謝閱讀離散參數的隨機過程也稱為隨機序列或（隨機）時間序列。精品文檔放心下載上述定義可簡單理解成：隨機過程是一簇隨機變量{Xt,t∈T}，其中T表示時間t的變動范圍，對每個固定的時刻t而言，Xt是感謝閱讀一普通的隨機變量，這些隨機變量的全體就構成一個隨機過程。謝謝閱讀t={0,±1,±2,…}時，即時刻t只取整數時，隨機過程{Xt,t∈T}可寫成如下形式，{Xt,t=0,±1,±2,…}。精品文檔放心下載此類隨機過程Xt是離散時間t的隨機函數，稱它為隨機序列或時間序列。謝謝閱讀對于一個連續時間的隨機過程的等間隔采樣序列，即{Xt,t=0,±1,±2,…}就是一個離散隨機序列。感謝閱讀二、時間序列的概率分布和數值特征1、時間序列的概率分布一個時間序列便是一個無限維的隨機向量。一個無限維隨機向量X=(…,X-1,X0,X1,…)/的概率分布應當精品文檔放心下載用一個無限維概率分布描述。根據柯爾莫哥夫定理，一個時間序列的概率分布可以用它有限維分布簇來描謝謝閱讀述。時間序列所有的一維分布是：…，F-1(·)，F0(·)，F1(·),…謝謝閱讀所有二維分布是：Fij(·，·)，i，j=0,±1,±2,…,(i≠j)感謝閱讀一個時間序列的所有有限維分布簇的全體，稱為該序列的有限維分布簇。感謝閱讀**2、時間序列的均值函數一個時間序列的均值函數是指：EXXdF(X)ttt其中EXt表示在t固定時對隨機變量Xt的求均值，它只一維分布簇中的分布函數Ft(·)有關。感謝閱讀3、時間序列的協方差函數與自相關函數與隨機變量之間的協方差相似，時間序列的協方差函數定義為：感謝閱讀(t,s)E(X)X精品文檔放心下載t t s s (X)YdF(X,Y)感謝閱讀tsst,s其中Ft,s(X,Y)為（Xt，Xs）的二維聯合分布。謝謝閱讀類似可以定義時間序列的自相關函數，即：(t,s)(t,s)/ (t,t)(s,s)謝謝閱讀時間序列的自協方差函數有以下性質：（1） 對稱性：(t,s)(s,t)感謝閱讀（2） 非負定性：對任意正整數m和任意m個整數k1,k2,。。。km，方陣精品文檔放心下載k,kk,kk,k11121mm21222mk,kk,kk,km1m2mm為對稱非負定矩陣。時間序列的自相關函數同樣也具有上述性質且有ρ(t,t)=1。精品文檔放心下載三、平穩隨機過程平穩時間序列是時間序列分析中一類重要而特殊的隨機序列，時間序列分析的主要內容是關于平穩時謝謝閱讀間序列的統計分析。（一）兩種不同的平穩性定義：1、嚴平穩：如果對于時間t的任意n個值t,t, ,t和任意實數，隨機過程X的n維分布滿足關感謝閱讀1 2 n t**系式：Fx,x, x;t,t, tFx,x, x;t,t, t精品文檔放心下載n 1 2 n 1 2 n n 1 2 n 1 2 n感謝閱讀則稱X為嚴平穩過程。t2、寬平穩：若隨機過程X,tT的均值（一階矩）和協方差存在，且滿足謝謝閱讀t（1）EXatTt（2）EXaXakt,tkTtkt則稱X,tT為寬平穩隨機過程。通常說的平穩是指寬平穩。精品文檔放心下載t二者的聯系：（Ⅰ）嚴寬：因為寬平穩要求期望和協方差存在，而嚴平穩要求概率分布存在，而不能斷言一、謝謝閱讀二階矩存在。（Ⅱ）寬嚴，這是不言而喻的。（Ⅲ）嚴平穩+二階矩存在寬平穩。但反過來一般不成立。精品文檔放心下載（Ⅳ）對于正態過程來說，有：嚴平穩寬平穩（二）平穩時間序列自協方差函數和自相關函數為了敘述方便，常假定平穩時間序列X的均值為零，即EX0。感謝閱讀t t用以下記號表示平穩序列X的自協方差函數，即tEX EX XEX當EX0時謝謝閱讀k tk tk t t tEXXt tk相應地，X的自相關函數用以下記號t k k 0平穩序列X的自協方差函數列和自相關函數列具有以下性質：精品文檔放心下載t（1）對稱性：,；kkkk（2）非負定性：對于任意正整數m，**101m-11m-1，R110m-21m-2mm1m-1m-20m-1m-2為非負定對稱方陣；（3）,1。k0k（三）平穩序列的樣本統計量（1） 樣本均值時間序列無法獲得多重實現，多數時間序列僅包含一次實現，對于一個平穩序列用時間均值代替總體精品文檔放心下載均值。即1nXnXt1上式的估計是無偏的。（2） 樣本自協方差函數?1nkXXXXknttk1?1nkXXXXknkttk1第一式是有偏估計，第二式是無偏估計，但有效性不如第一式。感謝閱讀其它概率性質和偏自相關函數的定義將在以后章節介紹。四、幾類特殊的隨機過程（序列）：1、純隨機過程：隨機過程如果是由一個不相關的隨機變量的序列構成的，則稱其為純隨機過程。精品文檔放心下載2、白噪聲序列（Whitenoise）：如果時間序列Xt滿足以下性質：精品文檔放心下載（1）EXt0（2）EXX2t s t,s**式中，當t≠s時， 0, 1。稱此序列為白噪聲序列，簡稱白噪聲。精品文檔放心下載t,s t,t白噪聲是一種最簡單的平穩序列。（3）獨立同分布序列：如果時間序列X,tT中的隨機變量Xt,t=0,±1,±2,…,為相互獨立的隨機變謝謝閱讀t量，而且Xt具有相同的分布，稱這樣的時間序列X,tT為獨立同分布序列。謝謝閱讀t獨立同分布序列是一種最簡單的嚴平穩序列。一般說，白噪聲序列與獨立同分布序列是不同的兩種序列，當白噪聲序列為正態序列時，它也是獨立謝謝閱讀同分布序列，此時稱之為正態白噪聲序列。（4）獨立增量隨機過程：對于任意正整數n，任意tTi1,2,,n,ttt，隨機變量i12nXX,XX,XX相互獨立。簡單地講，就是任意兩相鄰時刻上的隨機變量之差（增量）t2t1t3t2tntn1是相互獨立的。（5）二階矩過程：若隨機過程X,tT對每個tT,Xt的均值和方差存在，則稱之為二階矩過程。t（6）正態過程：若X,tT的有限維分布都是正態分布，則稱X,tT為正態隨機過程。謝謝閱讀t t主要介紹三種單變量模型：自回歸（AR）模型、移動平均（MA）模型和自回歸移動平均（ARMA）感謝閱讀模型。第一節自回歸模型一、一階自回歸模型AR(1)如果時間序列獨立，就是說事物的后一時刻的行為主要與其前一時刻的行為毫無關系。這樣的資料所精品文檔放心下載揭示甲統計規律就是事物獨立地隨機變動，系統無記憶能力。如果情況不是這樣，資料之間有一定的依存謝謝閱讀**性。后一時刻的行為主要與前一時刻的行為有關，而與其前一時刻以前的行為無直接關系，即已知Xt-1；謝謝閱讀Xt主要與Xt-1相關。用記憶性來說，就是最短的記憶，即一期記憶，也就是一階動態性。描述這種關系的謝謝閱讀數學模型就是一階自回歸模型。即XX at 1 t1 t記作AR（1）。其中Xt零均值平穩序列，αt為隨機擾動。感謝閱讀1、一階自回歸模型的特點Xt對Xt-1有線性相關關系αt為獨立正態同分布序列E(aX )0,j1,2,...t tj2、AR（1）與普通一元線性回歸的關系一元線性回歸YX一階自回歸XXaiiit1t1t兩個變量，Y為隨機變量，X為確定性變量；一個變量，X為隨機變量；tE()0；a為白噪聲序列，E(a)0;ittcov()0ij；Eaa2tsijats；ts0var()2；iE(aX)0,j1,2,...;tjcov(X)0；tii還可假定a為正態分布。N0,2ti主要區別：（1） 普通線性回歸模型需要一組確定性變量值和相應的觀測值；ＡＲ（１）模型只需要一組隨機感謝閱讀變量的觀測值。**（2）普通一無線性回歸表示的是一隨機變量對另一個確定性變量的依存關系；而AR（1）表示的謝謝閱讀是一個隨機變量對其自身過去值的依存關系。（3）普通線性回歸是在靜態的條件下研究的；AR（1）是在動態的條件下研究的。感謝閱讀（4）二者的假定不同。（5）普通回歸模型實質是一種條件回歸，而AR（1）是無條件回歸。感謝閱讀主要聯系：固定時刻t-1，且觀察值Xt-1已知時，AR（1）就是一個普通的一元線性回歸。感謝閱讀二、AR（1）模型的特例－隨機游動１、 隨機游動模型XX at t1 t２、模型的特性（１）系統具有極強的一期記憶性，系統在t-1和t時刻的響應，除隨機擾動外，完全一致，差異完全是由擾動引起的。（２）在時刻t-1時，系統的一步超前預測就是系統在t-1時的響應Xt-1，即X(1)X。t1t1（３）系統行為是一系列獨立隨機變量的和，即Xatjj0三、一般自回歸模型AR(n)XX X ...X a其中：a為白噪聲，E(aX )0,j1,2,...。謝謝閱讀t 1 t1 2 t2 n tn t t t tj精品文檔放心下載第二節移動平均模型一、 一階移動平均模型MA（1）如果系統的響應Xt僅與其前一時刻進入系統的擾動αt存在一定的相關關系，則有MA（1）模型：謝謝閱讀Xaa 其中：a為白噪聲。t t 1 t1 t**MA（1）模型的基本假設為：（1）系統的響應Xt僅與其前一時刻進入系統的擾動αt有一定的依存關謝謝閱讀系；（2）a為白噪聲。t二、 一般移動模型MA（m）模型的形式：Xaa a ...a精品文檔放心下載t t 1 t1 1 t2 m tm其中：（1）Xt僅與t1，t2，…，tm有關，而與tj（j=m+1,m+2,…）無關；（2）t為白噪感謝閱讀聲。第三節 自回歸移動平均(ARMA)模型一、 ARMA（2，1）模型1、ARMA（2，1）模型的形式：XX X t 1 t1 2 t2 t 1 t1其中：X與X 、X 和 有相關關系，白噪聲。精品文檔放心下載t t1 t2 t1 t2、ARMA（2，1）模型的結構：ARMA（2，1）模型是由一個AR（2）和一個MA（1）兩部分構成。感謝閱讀3、ARMA（2，1）與AR（1）的區別從模型形式看，ARMA（2，1）比AR（1）的項數多；從模型的動態性看，ARMA（2，1）比AR（1）精品文檔放心下載具有更長的記憶；從計算所需的資料看，ARMA（2，1）需要用t期以前的 ， ，…，這需要從精品文檔放心下載t t1 t2初期開始遞歸地計算出來，通常取零；從參數估計來看，ARMA（2，1）比AR（1）困難。謝謝閱讀0二、 ARMA（n，n-1）模型XX ...X ... 感謝閱讀t 1 t1 n tn t 1 t1 n1 tn1感謝閱讀ARMA（n，n-1）模型的基本假設為：獨立于 （j=n,n+1,…）,從而獨立于X （j=n+1,n+2,…）.謝謝閱讀t tj t tj三、ARMA(n，n-1)模型的合理性**為什么我們以ARMA(n，n-1)模型為一般形式來建立時序模型呢?難道一個ARMA(n，n-1)模型總可感謝閱讀以描述一個時間序列嗎?對于平穩系統來說，這是毫無疑問的。之所以以ARMA(n，n-1)為基本模型是因感謝閱讀為下述理由：第一，AR、MA、ARMA(n，m)模型都是ARMA(n，n-1)模型的特殊情形。精品文檔放心下載第二，理論依據：用Hilbert空間線性算子的基本理論可以證明，對于任何平穩隨機系統，我們都可謝謝閱讀以用一個ARMA(n，n-1)模型近似到我們想要達到的程度；用差分方程的理論也可以證明，對于n階自回精品文檔放心下載歸，MA模型的階數應該是n-1。第三，從連續系統的離散化過程來看，ARMA(n，n—1)也是合理的。在一個n階自回歸線性微分方謝謝閱讀程和任意階的移動平均數的形式下，如果一個連續自回歸移動平均過程在一致區間上抽樣，那么，這個抽謝謝閱讀樣過程的結果是ARMA(n，n-1)。【章節實驗】利用Eviews軟件生成AR序列、MA序列和ARMA序列。感謝閱讀第三章ARMA模型的特性本章為本書重點之一，主要掌握三類模型的格林函數形式、平穩性和可逆性條件、AFC和PAFC的形謝謝閱讀式和特點。第一節線性差分方程一、后移(Backshift)算子:1.定義：后移算子B定義為BXX，從而BmXX。tt1ttm2.后移算子的性質：(1)常數的后移算子為常數：Bcc**(2)分配律：(BmBn)XBmXBnXXXttttmtn(3)結合律：BmBnXBm(BnX)BmXXtttntmn(4)后移算子B的逆為前移算子B1XXt1t(5)對于1，無限求和得(1B2B23B3...)XXtt1B前面的MA(m)模型、AR(n)模型和ARMA(n,m)模型可分別表示為：謝謝閱讀(B)at t(B)X at t(B)X (B)at t其中：(B)1BB2 Bn謝謝閱讀1 2 n(B)1BB2 Bm謝謝閱讀1 2 m二、線性差分方程XX X X aa a a感謝閱讀t 1 t1 2 t2 n tn t 1 t1 2 t2 m tm精品文檔放心下載可將寫成(B)X(B)at t這里(B)1BB2 Bn謝謝閱讀1 2 n(B)1BB2 Bm感謝閱讀1 2 m差分方程通解為：XC(t)I(t)t這里，C(t)是齊次方程解，I(t)是特解。三、齊次方程解的計算無重根 考慮齊次差分方程**(B)X 0t其中 (B)(1GB)(1GB) (1GB)精品文檔放心下載1 2 n假定G1，G2，…，Gn是互不相同，則在時刻t的通解：感謝閱讀XAGtAGtAGtt1122nn其中Ai為常數（可由初始條件確定）。重根設(B)0有d個相等的根G1，可驗證通解為0X(AAtAt2Atd1)Gtt012d10對一般情形，當(B)的因式分解為(1GB)(1GB)(1GB)(1GB)d12n/0d1n/齊次方程解便是C(t)GtAtjDGtk0jiij0i1因此，齊次方程解是由衰減指數項Gt、多項式tj、衰減正弦項Dtsin(2πf0t+F)，以及這些函數的組合謝謝閱讀混合生成的。上述過程中計算G并不方便，通常通過解方程nn1n2...0得到其根為：i12n,i1,2,...,n。由于nn1n2...0的根與1BB2Bn0的根互為倒i12n12n數，因此G。ii非齊次方程的特解通常情況下不容易得到，沒有一個“萬能鑰匙”，需要具體問題具體分析，只能對感謝閱讀一些具有特殊形式非齊次項的方程進行討論。此處叢略。第二節 格林函數(Green’sfunction)和平穩性(Stationarity)感謝閱讀一、 格林函數(Green’sfunction)1、定義：設零均值平穩序列{X,t0,1,2,...}能夠表示為謝謝閱讀tGa（1）Xjtjj0**則稱上式為平穩序列X的傳遞形式，式中的加權系數G感謝閱讀t2、格林函數的含義：格林函數是描述系統記憶擾動程度的函數。式（1）可以記為XGBat t其中GBGBj。j0

稱為格林（Green）函數，其中G1。j0（2）式（1）表明具有傳遞形式的平穩序列X可以由現在時刻以前的白噪聲通過系統“GBGBj”精品文檔放心下載t jj0的作用而生成，G是j個單位時間以前加入系統的干擾項a對現實響應X的權，亦即系統對a的jtjttj“記憶”。二、 AR（1）系統的格林函數由AR（1）模型X X at 1 t1 tX X at 1 t1 t ( X a )a1 1 t2 t1 t......a2a...t1t11tja即： t 1 tj0則AR(1)模型的格林函數Gj。如若1，則G隨著j的增大而緩慢減小，表明系統的記憶較j11j強；相反，若 0，則G隨著j的增大而急劇減小，表明系統的記憶較弱.謝謝閱讀1 j例：下面是參數分別為0.9、0.1和-0.9的AR（1）系統對擾動的記憶情況（三個序列由同一正態白噪精品文檔放心下載t聲序列模擬生成）：**66442200-2-2-4-4102030405060708090100102030405060708090100X0.9XaX0.1Xatt1ttt1t6420-2-4-6102030405060708090100X0.9Xt1att比較前后三個不同參數的圖，可以看出：（１）取正值時，響應波動較平坦。1（２）取負值時，響應波動較大。1（３）越大，系統響應回到均衡位置的速度越慢，時間越長。1由于Xjaaa2a...aaa...其中j，因此AR（1）t1tjt1t11t2t1t12t21j0模型可用一個無限階MA來逼近，這說明AR模型是一種長效記憶模型。精品文檔放心下載三、AR系統的平穩性1、由平穩性的定義求AR(1)系統的平穩性條件將AR（1）模型X X a兩邊平方再取數學期望，得到謝謝閱讀t 1 t1 t**E(X2)E(Xa)2t1t1t2E(X2)E(a2)2E(Xa)1t1t1t1t2E(X2)21t1a如果序列X是平穩的，則有E(X2)E(X2)，由上式可得ttt1(12)E(X2)21taE(Xt)22a1由于E(X2)是非負的，所以20，從而1，這就是AR（1）模型的平穩性條件。at(12)11利用滯后算子B，AR（1）模型可以寫為(B)Xatt式中(B)1B，那么平穩性條件1就等價于(B)0的根在單位圓外（或11()0的根落在單位圓內）。1上述平穩條件可以推廣到AR（n）模型，即(B)Xa(B)1BB2Bn(B)0的根在單位圓外（或tt其中：12n的平穩性條件為：()nn1n20的根在單位圓內）。12n2、由格林函數求AR(1)模型的平穩性條件對于AR(1)系統來說，其平穩性條件也可以由格林函數得出。如果系統受擾后，該擾動的作用漸漸減感謝閱讀小，直至趨于零，即系統響應隨著時間的增長回到均衡位置，那么，該系統就是平穩的。相對于格林函數精品文檔放心下載來說，就是隨著j→∞，擾動的權數G0，由于G＝j故必有j→∞，j0，顯然，jj11 11這就是AR(1)系統平穩性條件。反過來，若 1，則稱AR(1)為漸近穩定的，也必是平穩的。感謝閱讀11時，G=1;當=1時,G=(-1)j當=-1時1j1j1這時，雖然響應不回到其均衡位置，但仍是有界的，這時系統為臨界穩定的，系統可能存在某種趨勢謝謝閱讀**或季節性。當11時，j→∞，Gj→∞，任意小的擾動只要給定足夠的時間，就會使系統響應正負趨于無謝謝閱讀窮，永遠不會回到其均衡位置，這時系統便是不穩定的，當然是非平穩的。謝謝閱讀例：求AR（2）模型的平穩域解：特征方程()20的根12242，24111121222，122121根據AR模型的平穩性的條件1(i1,2)精品文檔放心下載i121211121121212()111211212121(i1,2)，由于,是實數，,必同為實數或共軛復數，由于1212i因此11112 1 1 2故AR（2）模型的平穩域為1212 11 2 1四、格林函數與Wold分解(Wold’sDecomposition)謝謝閱讀所謂Wold分解也叫正交分解，其核心就是把一個平穩過程分解成不相關的隨機變量的和。由于這一精品文檔放心下載思想是由Wold引入(1938年)到時序分析中的，故叫做Wold分解。他認為可以用線性空間來解釋ARMA謝謝閱讀模型的解。在n維線性空間Ln中，n個線性無關的向量a,a,...a稱為空間的一組基。設可由a,a,...a線性12n12n表示：kaka...ka1122nn其中k由向量和a唯一確定，k稱為向量關于基a的坐標。iiii如果用線性空間的觀點來看AR(1)模型的解**Xjat1tjj0由于a是相互獨立的，可看作線性空間的基(或無限維坐標軸)，顯然X可由a線性表示，其系tjjttj數G就是X對于a的坐標，X就是Ga的正交向量的和。因而上式也叫做Wold分解式，其系數jttjtjtj叫Wold系數。格林函數和Wold系數是同一客體從不同角度觀察的結果，二者是完全一致的。Wold系數是線性空謝謝閱讀間解釋，格林函數是系統解釋。五、ARMA模型格林函數的通用解法ARMA(n,m)模型(B)X(B)tXG(B)at t(B)G(B)(B),0jn令*jjnj0,,0lm*llml0,(B)G(B)(B)化為*BjGBkjkj0k0

*Bl ll0比較等式兩邊B的同次冪的系數，可得l*G*,l1,2,3,...jljlj0由上式，格林函數可從l1開始依次遞推算出。思考：MA(m)模型X(B)a的格林函數為感謝閱讀t t**,1jmGj0,jjm例：ARMA（2，1）系統的格林函數ARMA（2，1）模型XX X aa 可以看作是一個二階差分方程，設該方程的解精品文檔放心下載t 1 t1 2 t2 t 1 t1是XGa(GBj)atjtjjtj0j0將上式代入模型中：GBj)a(1B)a(1BB2)(12jt1t0(1BB2)(GGBGB2...)a(1B)a感謝閱讀1 2 0 1 2 t 1 t(GGBGB2...GBGB2...GB2...)a(1B)a精品文檔放心下載0 1 2 1 0 1 1 2 0 t 1 t利用比較系數法，B的同次冪必相等，于是：B的指數：0:G 10G1:GG11011112:GGG0GGG21120211203:GGG0GGG3122131221....................................................................j:GGGj1j12j2上式可以寫成：GGG0j1j12j2即：1BB2G0,j212j上式為一關于G齊次差分方程的形式，其通解為jgjgjj1122其中：和是特征方程20的根；g和g是任意常數，其值由初始條件確定。這里121212**的初始條件是：G10G1 1 1則ARMA（2，1）系統的格林函數為：jG11j21j121221ARMA（2，1）模型的格林函數也可以通過下面的過程求得。謝謝閱讀根據Wold分解，平穩ARMA（2，1）模型(1BB2)X (1B)a謝謝閱讀12t1t可以寫成X1Ba1B1tB2t121Ba11BB1t1211111111.1.2a11B111Bt12112121111.21.a1B1Bt121212j11j21Bjaj012t1221j1121jaj012tj1221jj即：G1121j121221AR（2）為ARMA（2，1）模型的特殊形式，同樣具有上述關系。精品文檔放心下載例：ARMA（n，n-1）系統的格林函數**與上面方法相同，ARMA（n，n-1）系統的格林函數的隱式的遞推式為：精品文檔放心下載(1BB2...Bn)G0,jn謝謝閱讀1 2 n j其中G,G,G,...G,G由下列式子導出012n1nG10G1 1 0 1GG2 1 1 2 0 2......................G G G ... G感謝閱讀n1 1 n2 2 n3 n1 0 n1GG G ...G0n 1 n1 2 n2 n 0即 (1BB2 Bn)G0,jn精品文檔放心下載1 2 n j其最終解為：Ggjgj...gj感謝閱讀j1122nngin1n2...i1in1......i1i2ii1ii1in其中：gg...gn112例：ARMA（2，1）系統的平穩性條件ARMA（2，1）的平穩性條件要求：j時,G0 。謝謝閱讀j由Ggjgj得：1,1，即()20的根在單位圓內。j11221212由于ARMA（2，1）的特征方程()20和AR（2）和形式一樣（或者說和其12移動平均項系數無關），因此其平穩域與AR（2）系統的平穩域相同，都是：精品文檔放心下載12112112思考：MA模型的平穩性條件。第三節 逆函數和可逆性（Invertibility）感謝閱讀**所謂可逆性(Invertibility)是指移動平均模型可以用AR模型表示。謝謝閱讀一、逆函數的定義設X是零均值平穩序列，如果白噪聲序列a能夠表示為精品文檔放心下載ttaXIXttjtj1則稱上式為平穩序列X的逆轉形式，式中的加權系數Ij1,2,...稱為逆函數。精品文檔放心下載t j二、ARMA模型的逆函數1、ARMA（n,m）模型逆函數通用解法對于ARMA（n,m）模型的逆函數求解模型格林函數求解方法相同。感謝閱讀令I(B)1,I1，IXjtj0j1則平穩序列X的逆轉形式aX可表示為IXtttjtjj1aI(B)Xtt由ARMA(n,m)模型(B)X(B)a可得tt(B)(B)I(B)仍由先前定義的*和*，則上式可化為l*Bj*BlIBkjl0lk0kj0比較上式兩邊B的同次冪的系數，得到*j *Ij k lkk0即 I *j*I ,j1,2,...感謝閱讀j j k jk1**由此Ij可從j1開始推算出。2、AR模型的逆函數對于AR（1）模型XXa有t1t1tXXt1at1t則其逆函數I,I0,j211j類似對于AR（n）模型XXX...Xa有t1t12t2ntntXXX...X其逆函數為：t1t12t2ntntI11I22...InnI0,jn1j3、MA模型的逆函數對于MA（1）模型X(1B)a，則t1t(B)1，(B)1B，1BIB1，精品文檔放心下載11即1B1IBIB2...1112比較上式兩邊B的同次冪的系數得I1,I,IIj2011j1j1,從而有I,j1,2,...j1也可以用以下方法求MA（1）模型的逆函數由X(1B)a得t 1 t**aXtt(1B)11B2B2...X11tXjXt1tj1Xa(X)即jtjtt11可見Ij1與AR（1）討論相類似，上面推導所隱含的可逆性條件為 1精品文檔放心下載1對于MA（m）模型的可逆性討論與AR（n）模型平穩性的討論是類似的，即：精品文檔放心下載VVV...0V1的特征根VMA（m）模型的可逆性條件為其特征方程mm1m2k12mk滿足V1k下面所講的逆函數與格林函數的關系也作為求逆函數的一種選擇。精品文檔放心下載三、G和I之間的關系j j對于AR（1）模型和MA（1）模型，注意到格林函數 逆函數AR（1）：GjI11j1I0,j1jG1MA（1）0IjG11j1G0,j1j可以看出，AR（1）的G和MA（1）的I形式一致，只是符號相反，參數互換。此對偶性對其謝謝閱讀j j它模型仍然存在，如：ARMA（2，1）的格林函數為**G10G 1 1 1G2G112GG G ,j3 j j1 1 j2 2ARMA（1，2）的逆函數為I 1 1 1II 2 1 1 2IjIj11Ij22,j3謝謝閱讀綜上可知，在格林函數的表達式中，用I代替G，代替，代替，即可得到相對應的逆函數。精品文檔放心下載j j四、關于ARMA模型平穩性與可逆性的說明通過上面的討論可知，AR模型不存在可逆性性條件，MA模型不存在平穩性條件。因此，對于ARMA精品文檔放心下載模型的平穩性條件是針對其AR系數而言，可逆性條件是針對其MA系數而言。謝謝閱讀只有同時滿足平穩性可可逆性條件，ARMA模型才是有意義的。感謝閱讀第四節自協方差函數一、理論自協方差函數和自相關函數對于ARMA系統來說，設序列的均值為零，則自協方差函數謝謝閱讀EXXkttk自相關函數kk0二、樣本自相關函數的計算在擬合模型之前，我們所有的只是序列的一個有限樣本數據，無法求得理論自相關函數，只能求樣本精品文檔放心下載的自協方差函數和自相關函數。樣本自協方差有兩種形式：謝謝閱讀**?1N,k0,1,2,...,N1XXkNttktk1?*1N,k0,1,2,...,N1XXkNktk1ttk則相應的自相關函數為1XXXXNN??kNtk1ttktk1ttkk?1NN0X2X2Nttt1t11XXXXNN??*Nktk1ttkNttk*ktk1k?1NNkN0NX2X2itt1t1在通常的情況下，我們常采用第一種的計算方法。三、AR模型的自協方差函數和自相關函數（1）AR（1）模型的自協方差函數和自相關函數AR（1）模型為：XXat1t1t假設X為零均值序列。將上式兩端乘以X，并取期望，得ttkEXXEXXEaXtt11t1tkttk當k=0時，有：EXXEXXEaXtt1t1ttt即：2011a當k=1時，有EXXEXXEaXtt11t1t1tt1即：110當k=2時，有EXXEXXEaXtt21t1t2tt2211依此類推，便有一般式：k01k1**22a將代入，有，0110a01210,k01k1k1相應的自相關函數為 / ，即0/100/0/kk01k101k1(2)、AR（n）模型的自協方差函數和自相關函數自相關函數XX X X a精品文檔放心下載t 1 t1 2 t2 p tn t兩邊同乘以X 得到kX XX X X X X X X a精品文檔放心下載tk t 1 tk t1 2 tk t2 n tk tn tk t謝謝閱讀取期望，得： (k0)謝謝閱讀k 1 k1 2 k2 n kn上式兩邊除以 ，可得差分方程：0 (k0)精品文檔放心下載k 1 k1 2 k2 n kn我們注意到，上式類似于過程X 自身所滿足的差分方程。精品文檔放心下載t假定將上式記為 (B) 0k這里， (B)1B Bn1 n記 (B)n (1GB)jj1則差分方程通解： AGkAGk AGk精品文檔放心下載k 1 1 2 2 n n這里，G1，G1，…，G1是特征方程：精品文檔放心下載1 2 n(B)1B Bn=01 n的根。**為了保證平穩性，則要求G1。在實際應用中，如果假定根是互異的，會出現兩種情況：謝謝閱讀i1． Gi是實根，這時在通解ρk中AiGik隨k增大等比例地衰減到零，我們常稱之為指數衰減。精品文檔放心下載2． Gi和Gj是一對共軛復根，導致在通解出現：感謝閱讀Dksin(2fkF)使得自相關函數呈衰減的正弦振蕩，衰減系數DGG，頻率f滿足：ij2fcos1[Re(G)/D]i方差：當k=0時， 2感謝閱讀01122nna上式兩邊除以2，并有，故方差2可以寫成0XkkX22aX11122nn四、MA模型的自協方差函數和自相關函數（1）MA（1）模型的自協方差函數和自相關函數：將MA（1）模型Xaatt1t1兩端同乘以X 取期望，得kEXX EaX EaX 精品文檔放心下載t tk t tk 1 t1 tkEaGajEaGakjtjtk1t1jtj0j0GEaaGEaaj0jttkj1j0jt1tkjGEaaGEaaGEaaGEaa0ttk1tk1t10t1tk1t1tk1EaaEaaEaa2Eaattk1ttk11t1tk1t1tk1k=0時，有**EXX0 t tEaaEaa Eaa2Eaa感謝閱讀t t 1 t t1 1 t1 t 1 t1 t1感謝閱讀222a 1 a當k=1時，有EXX1tt1EaaEaaEaa2Eaatt11tt21t1t11t1t22ak=2時，有EXX2tt2EaaEaaEaa2Eaatt21tt31t1t21t1t30可見，對于MA（1）模型來說122101a0211211a1k0,k210,k2k（2）MA（m）模型的自協方差函數和自相關函數自相關函數E[(aa a )(a a a )]謝謝閱讀k t 1 t1 m tm tk 1 tk1 m tkm精品文檔放心下載因此該過程的方差是 (12 2)20 1 m a且()2,k1,2,,mk1k12k2mkmakmk0,由此得出自相關函數是**,k1,2,,mk1k1mkm122k1m,km0對于MA(m)過程，當滯后超出過程的階數m時自相關函數為零。換言之，滑動平均過程的自相關函數具精品文檔放心下載有超出m步滯后的截尾性。（上述性質用來在B-J建模過程中，識別MA模型）謝謝閱讀五、偏自相關函數對于一個k階AR模型，有：

j1,2,

,kj

k1

j1

k2

j2

kk jk由此得到Yule-Walker方程，記為：1k112k111k2211k21kkk1k2k3k或Pkφk=ρk當,,,已知時，由該方程組可以解出，，……，。遺憾的是，用該方程組求解時，需要12kk1k2kk知道自回歸過程的階數。因此，我們可以對連續的k值求解Yule-Walker方程。感謝閱讀對k=1，2，3，…依次求解方程，得11 11121221221121 111**1 112 2 1 333 1 1 2 1 1 1 12 1……112k21111k32k1k2k31kkk112k1111k21k1 k2 k3上述kk序列為AR模型的偏自相關函數。如果自回歸過程的階數為n，則對于k>n應該有kk=0。精品文檔放心下載（１）偏自相關性是條件相關，是在給定X,X,...,X的條件下，X和X的條件相關。j1j2jk1jjk換名話說，偏自相關函數是對X和X之間未被X,X,...,X所解釋的相關的度量。jjkj1j2jk1（２）由最小二乘原理易得，...,是作為X關于X,X,...,X線性回歸的回歸系數。k1, k2, kk j j1 j2 jk謝謝閱讀**（３）由（2）可得，對于AR（n）模型，當k>n時，kk=0。（此性質用來在B-J建模過程中，感謝閱讀識別AR特征）（４）對于任何平穩過程，都可以由Yule-Walker方程定義偏自相關函數，當然也都是作為自相關精品文檔放心下載函數的函數。六、自回歸和滑動平均過程之間的對偶性自回歸和有限滑動平均過程之間存在對偶關系的特征：1． 在一個n階平穩自回歸模型中，at可表示為既往X的有限加權和，換言之，Xt可表為既往a感謝閱讀的無限加權和：1(B)at t同樣，在一個m階滑動平均模型中，Xt可表示為既往a的有限加權和，換言之，at可表為既往X的無限精品文檔放心下載加權和：1(B)Xatt2．...有限的MA過程具有在某點之外全為零的自相關函數，但由于它等價于一個無限階的AR過程，感謝閱讀因此其偏自相關函數無限伸延，且被衰減指數和（或）衰減正弦波所控制。與此相反，AR過程具有在某精品文檔放心下載點之外全為零的偏自相關函數，但是它的自相關函數無限伸延，且有衰減指數和（或）衰減正弦波混合生感謝閱讀成。3．.對于一個有限m階自回歸過程，其參數不必滿足任何條件就能保證可逆性，然而，為滿足平穩感謝閱讀性，φ(B)=0的根必須都在單位圓外。與此相反，MA過程的參數不需要滿足任何條件就能保證平穩性，感謝閱讀然而，為滿足可逆性，θ(B)=0的根必須都在單位圓外。謝謝閱讀4．滑動平均過程的譜與對應的自回歸過程的譜存在互逆關系。精品文檔放心下載七、本章小結零均值時間序列統計分析結果**模

型類別AR(n)

MA(m)

ARMA(n,m)模型方程a(B)XX(B)a(B)X(B)atttttt平穩性條件特征根全在單位圓內無條件平穩特征根全在單位圓內可逆性條件無條件可逆特征根全在單位圓內特征根全在單位圓內傳遞形式X1(B)aX(B)aX1(B)(B)atttttt逆轉形式a(B)Xa(B)1Xa(B)1(B)XttttttGreen函數拖尾截尾拖尾逆函數截尾拖尾拖尾自相關函數拖尾截尾拖尾截尾（截尾應該是快偏相關函數拖尾拖尾速趨于0）自相關系數拖著長長的尾巴，就是拖尾，AC（自相關autocorr）值是慢慢減少的。而偏相關系數是突然謝謝閱讀收斂到臨界值水平范圍內的，這就是截尾，PAC（偏相關parcorr）突然變的很小。感謝閱讀AR模型：自相關系數拖尾，偏自相關系數截尾；MA模型：自相關系數截尾，偏自相關函數拖尾；ARMA模型：自相關函數和偏自相關函數均拖尾。[ACF,Lags,Bounds]=autocorr(y)感謝閱讀[ACF,Lags,Bounds]=parcorr(y)謝謝閱讀【本章思考題】敘述AR、MA和ARMA模型的格林函數形式、平穩性和可逆性條件、AFC和PAFC的形感謝閱讀式和特點。**【實驗內容】1、觀察前面生成的幾個自回歸序列的波動變化不同之處；感謝閱讀2、觀察生成的AR模型和MA模型自相關函數和偏自相關函數的不同之處。感謝閱讀平穩時間序列模型的建立本章討論平穩時間序列的建模問題，也就是從觀測到的有限樣本數據出發，通過模型的識別、模型的謝謝閱讀定階、參數估計和診斷校驗等步驟，建立起適合的序列模型。學習重點為模型的識別和模型的檢驗。精品文檔放心下載第一節模型識別一、 識別依據模型識別主要是依據SACF和SPACF的拖尾性與截尾性來完成。常見的一些ARMA類型的SACF和感謝閱讀SPACF的統計特征在下表中列出，可供建模時，進行對照選擇。感謝閱讀表ARIMA過程與其自相關函數偏自相關函數特征模型自相關函數特征偏自相關函數特征ARIMA(1,1,1)緩慢地線性衰減x=x+u+u1.01.0t1t-1t1t-10.50.50.00.0-0.5-0.5-1.0-1.024681012142468101214AR（1）若1>0，平滑地指數衰減若11>0，k=1時有正峰值然后截x=x+u0.8尾t1t-1t0.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.82468101214**0.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.82 4 6 8 10 12 MA（1）xt=ut+1ut-1AR（2）xt=1xt-1+2xt-2+ut謝謝閱讀

若1<0，正負交替地指數衰減0.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.82 4 6 8 10 12 14若1>0，k=1時有正峰值然后截尾0.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.82 4 6 8 10 12 14若1<0，k=1時有負峰值然后截尾0.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.82 4 6 8 10 12 14指數或正弦衰減0.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.82 4 6 8 10 12 14

若11<0，k=1時有負峰值然后截尾0.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.82 4 6 8 10 12 若1>0，交替式指數衰減0.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.82 4 6 8 10 12 14若1<0，負的平滑式指數衰減0.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.82 4 6 8 10 12 k=1,2時有兩個峰值然后截尾0.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.82 4 6 8 10 12 MA（2）xt=ut+1ut-1+2ut-2精品文檔放心下載

（兩個特征根為實根）（1>0，2>0）0.80.80.60.60.40.40.20.20.00.0-0.2-0.2-0.4-0.4-0.6-0.6-0.8-0.824681012142468101214（兩個特征根為共軛復根）（1>0，2<0）k=1,2有兩個峰值然后截尾指數或正弦衰減**0.80.80.60.60.40.40.20.20.00.0-0.2-0.2-0.4-0.4-0.6-0.6-0.8-0.824681012142468101214（1>0，2<0）（1>0，2<0）0.80.80.60.60.40.40.20.20.00.0-0.2-0.2-0.4-0.4-0.6-0.6-0.8-0.824681012142468101214（1>0，2>0）（1>0，2>0）ARMA（1，1）k=1有峰值然后按指數衰減k=1有峰值然后按指數衰減xt=1xt-1+ut+1ut-11.01.00.50.50.00.0-0.5-0.524681012142468101214（1>0，1>0）（1>0，1>0）0.80.80.60.60.40.40.20.20.00.0-0.2-0.2-0.4-0.4-0.6-0.6-0.8-0.824681012142468101214（1>0，1<0）（1>0，1<0）ARMA（2，1）k=1有峰值然后按指數或正弦衰減k=1,2有兩個峰值然后按指數衰減xt=1xt-1+2xt-2+ut+1ut-10.80.80.60.60.40.40.20.20.00.0-0.2-0.2-0.4-0.4-0.6-0.6-0.8-0.824681012142468101214（1>0，2<0，1>0）（1>0，2<0，1>0）ARMA（1，2）k=1,2有兩個峰值然后按指數衰減k=1有峰值然后按指數或正弦衰減xt=1xt-1+ut+1ut-1+2ut-20.80.80.60.60.40.40.20.20.00.0-0.2-0.2-0.4-0.4-0.6-0.6-0.8-0.824681012142468101214（1>0，1>0，2<0）（1>0，1>0，2<0）1.