河南省洛陽市理工學院附中2023年高二數學第一學期期末監測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線，則“”是“雙曲線的焦距大于4”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的A. B.C. D.3．如圖，、分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的點，是線段上靠近的三等分點，為正三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.4．已知方程表示的曲線是焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍A. B.C. D.5．若點P在曲線上運動，則點P到直線的距離的最大值為（）A. B.2C. D.46．已知向量，，則下列向量中，使能構成空間的一個基底的向量是（）A. B.C. D.7．已知函數的導函數的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）A.是函數的極大值點B.函數在區間上單調遞增C.是函數的最小值點D.曲線在處切線的斜率小于零8．已知橢圓的左、右焦點分別為，，焦距為，過點作軸的垂線與橢圓相交，其中一個交點為點(如圖所示)，若的面積為，則橢圓的方程為()A B.C. D.9．拋物線的焦點到直線的距離為，則（）A.1 B.2C. D.410．“”是“曲線為焦點在軸上的橢圓”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．已知向量，若，則（）A. B.5C.4 D.12．若數列滿足，則的值為（）A.2 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某市有30000人參加階段性學業水平檢測，檢測結束后的數學成績X服從正態分布，若，則成績在140分以上的大約為______人14．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則__________15．已知，為橢圓C的焦點，點P在橢圓C上，，則的面積為___________.16．如圖的形狀出現存南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最一上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……，設從上至下各層球數構成一個數列則___________.（填數字）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線上的點到焦點的距離為6（1）求拋物線的方程；（2）設為拋物線的焦點，直線與拋物線交于，兩點，求的面積18．（12分）已知數列{}滿足a1＝1，a3＋a7＝18，且（n≥2）（1）求數列{}的通項公式；（2）若＝·，求數列的前n項和19．（12分）已知等差數列滿足；正項等比數列滿足，，（1）求數列，的通項公式；（2）數列滿足，的前n項和為，求的最大值.20．（12分）數列滿足，，.（1）證明：數列是等差數列；（2）設，求數列的前項和.21．（12分）在數列中，，是與的等差中項，（1）求證：數列是等差數列（2）令，求數列的前項的和22．（10分）給出以下三個條件：①；②，，成等比數列；③．請從這三個條件中任選一個，補充到下面問題中，并完成作答．若選擇多個條件分別作答，以第一個作答計分已知公差不為0的等差數列的前n項和為，，______（1）求數列的通項公式；（2）若，令，求數列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先找出“雙曲線的焦距大于4”的充要條件，再進行判斷即可【詳解】若的焦距，則；若，則故選：A2、B【解析】根據輸入的條件執行循環，并且每一次都要判斷結論是或否，直至退出循環.【詳解】，，，；，【點睛】本題考查程序框圖，執行循環，屬于基礎題.3、D【解析】根據橢圓定義及正三角形的性質可得到\，再在中運用余弦定理得到、的關系，進而求得橢圓的離心率【詳解】由橢圓的定義知，，則，因為正三角形，所以，在中，由余弦定理得，則，，故選：D【點睛】本題考查橢圓的離心率的求解，考查考生的邏輯推理能力及運算求解能力，屬于中等題.4、A【解析】根據條件，列出滿足條件的不等式，求的取值范圍.【詳解】曲線表示交點在軸的橢圓，，解得：.故選A【點睛】本題考查根據橢圓的焦點位置求參數的取值范圍，意在考查基本概念，屬于基礎題型.5、A【解析】由方程確定曲線的形狀，然后轉化為求圓上的點到直線距離的最大值【詳解】由曲線方程為知曲線關于軸成軸對稱，關于原點成中心對稱圖形，在第一象限內，方程化為，即，在第一象限內，曲線是為圓心，為半徑的圓在第一象限的圓弧（含坐標軸上的點），實際上整個曲線就是這段圓弧及其關于坐標軸．原點對稱的圖形加上原點，點到直線的距離為，所以所求最大值為故選：A6、D【解析】根據向量共面基本定理只需無解即可滿足構成空間向量基底，據此檢驗各選項即可得解.【詳解】因為，所以A中的向量不能與，構成基底；因為，所以B中的向量不能與，構成基底；對于，設，則，解得，，所以，故，，為共面向量，所以C中的向量不能與，構成基底；對于，設，則，此方程組無解，所以，，不共面，故D中的向量與，可以構成基底.故選：D7、B【解析】根據導函數的圖象，得到函數的單調區間與極值點，即可判斷；【詳解】解：由導函數的圖象可知，當時，當時，當時，當或時，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數在處取得極小值即最小值，所以是函數的極小值點與最小值點，因為，所以曲線在處切線的斜率大于零，故選：B8、A【解析】由題意可得，令，可得，再由三角形的面積公式，解方程可得，，即可得到所求橢圓的方程【詳解】由題意可得，即，即有，令，則，可得，則，即，解得，，∴橢圓的方程為故選：A9、B【解析】首先確定拋物線的焦點坐標，然后結合點到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點坐標為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.10、C【解析】∵“”?“方程表示焦點在軸上的橢圓”，“方程表示焦點在軸上的橢圓”?“”，∴“”是“方程表示焦點在軸上的橢圓”的充要條件，故選C.11、B【解析】根據向量垂直列方程，化簡求得.【詳解】由于，所以.故選：B12、C【解析】通過列舉得到數列具有周期性，，所以.詳解】，同理可得：，可得，則.故選:C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、150【解析】根據考試的成績X服從正態分布．得到考試的成績X的正太密度曲線關于對稱，根據，得到，根據頻率乘以樣本容量得到這個分數段上的人數【詳解】由題意，考試的成績X服從正態分布考試的成績X的正太密度曲線關于對稱，，，，該市成績在140分以上的人數為故答案為：15014、【解析】根據導數的幾何意義，結合待定系數法進行求解即可.【詳解】設曲線的切點為：，由，所以過該切點的切線斜率為：，于切線方程為：，因此有：，設曲線的切點為：，由，所以過該切點的切線斜率為：，于是切線方程為：，因此有：，因為，，即，因此，故答案為：【點睛】關鍵點睛：根據導數的幾何意義進行求解是解題的關鍵.15、##【解析】設，然后根據橢圓的定義和余弦定理列方程組可求出，再由三角形的面積公式可求得結果【詳解】由，得，則，設，則，在中，，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以，故答案為：16、【解析】根據題中給出的圖形，結合題意找到各層球的數列與層數的關系，得到，即可得解【詳解】解：由題意可知，，，，，，故，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據焦半徑公式可求，從而可求拋物線的方程.（2）求出的長度后可求的面積.【小問1詳解】因為，所以，故拋物線方程為：.【小問2詳解】設，且，由可得，故或，故，故，故，而到直線的距離為，故的面積為18、（1）；（2）【解析】（1）由等差中項可知數列是等差數列，根據已知可求得其公差，從而可得其通項公式；（2）分析可知應用錯位相減法求數列的和【詳解】（1）由知，數列是等差數列，設其公差為，則，所以，，即數列的通項公式為（2），，，兩式相減得：，整理得：，所以19、（1），（2）8【解析】（1）利用已知的關系把替換成，再把兩式作差后整理即得通項公式，的通項公式可由已知條件建立基本量的方程求解.（2）由的通項公式可判斷，，，當時，所有正項的和即為的最大項的值.小問1詳解】，，兩式相減得所以，又也滿足，故；設等比數列的公比為，由得，即，因為，即，，（負值舍去），所以【小問2詳解】由題意，，則，，，且當時，所以的最大值是.20、(1)證明見解析；(2)【解析】（1）將的兩邊同除以，得到，由等差數列的定義，即可作出證明；（2）有（1）求出，利用錯位相減法即可求解數列的前項和.試題解析：(1)證明：由已知可得＝＋1，即－＝1.所以是以＝1為首項，1為公差的等差數列(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.從而bn＝n·3n.Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝.所以Sn＝.點睛：本題主要考查了等差數列的定義、等差數列的判定與證明和數列的求和，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，本的解答中利用等差數列的定義得到數列為等差數列，求解的表達式，從而化簡得到，利用乘公比錯位相減法求和中，準確計算是解答的一個難點.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）求得，利用等差數列的定義可證得結論成立；（2）求出，可計算得出，利用并項求和法可求得數列的前項的和.小問1詳解】解：由題意知是與的等差中項，可得，可得，則，可得，所以，，又由，可得，所以數列是首項和公差均為的等差數列.【小問2詳解】解：由（1）可得：，，對任意的，，因此，.22、（1）（2