河南省鶴壁市2023年高二數學第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一動圓與兩圓x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，則動圓圓心軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線的一支 D.拋物線2．已知則是的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．拋物線的焦點到準線的距離是A.2 B.4C. D.4．若雙曲線經過點，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.105．給出命題：若函數是冪函數，則函數的圖象不過第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數是（）A.3 B.2C.1 D.06．在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點為，則（）A.－4 B.－10C.4 D.107．已知過拋物線焦點的直線交拋物線于，兩點，則的最小值為（）A. B.2C. D.38．已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，下列命題中正確的為A若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β B.若m∥α，m∥β，則α∥βC.若m∥α，n∥α，則m∥n D.若m⊥α，n⊥α，則m∥n9．平面上動點到點的距離與它到直線的距離之比為，則動點的軌跡是（）A.雙曲線 B.拋物線C.橢圓 D.圓10．已知數列是遞減的等比數列，的前項和為，若，，則=（）A.54 B.36C.27 D.1811．在平面區域內隨機投入一點P，則點P的坐標滿足不等式的概率是（）A. B.C. D.12．已知、是橢圓的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且，若的面積為9，則的值為（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“第七屆全國畫院美術作品展”于2021年12月2日至2022年2月20日在鄭州美術館展出.已知某油畫作品高2米，寬6米，畫的底部離地有2.7米（如圖所示）.有一身高為1.8米的游客從正面觀賞它（該游客頭頂E到眼睛C的距離為10），設該游客離墻距離CD為x米，視角為.為使觀賞視角最大，x應為___________米.14．設拋物線C：的焦點為F，準線l與x軸的交點為M，P是C上一點，若|PF|＝5，則|PM|＝__.15．已知數列滿足，，則______.16．已知復數對應的點在復平面第一象限內，甲、乙、丙三人對復數的陳述如下為虛數單位：甲：；乙：；丙：，在甲、乙、丙三人陳述中，有且只有兩個人的陳述正確，則復數______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，且點在橢圓上（1）經過點M（1，）作一直線交橢圓于AB兩點，若點M為線段AB的中點，求直線的斜率；（2）設橢圓C的上頂點為P，設不經過點P的直線與橢圓C交于C，D兩點，且，求證：直線過定點18．（12分）如圖，在長方體中，，若點P為棱上一點，且，Q，R分別為棱上的點，且.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.19．（12分）已知公差不為零的等差數列的前項和為，，且，，成等比數列（1）求的通項公式；（2）記，求數列的前項和20．（12分）已知各項均為正數的等比數列{}的前4項和為15，且.（1）求{}的通項公式；（2）若，記數列{}前n項和為，求.21．（12分）已知等差數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}滿足：點（n，bn）在曲線y＝上，a1＝b4，___，數列{}的前n項和為Tn從①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3﹣a5＝b2這三個條件中任選一個，補充到上面問題的橫線上并作答（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；（2）是否存在正整數k，使得Tk＞，且bk＞？若存在，求出滿足題意的k值；若不存在，請說明理由22．（10分）已知圓：，直線：．圓與圓關于直線對稱（1）求圓的方程；（2）點是圓上的動點，過點作圓的切線，切點分別為、．求四邊形面積的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設動圓圓心，與兩圓x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，列出幾何關系式，化簡，再根據圓錐曲線的定義，可得到動圓圓心軌跡.【詳解】設動圓圓心，半徑為，圓x2+y2＝1的圓心為，半徑為，圓x2+y2﹣8x+12＝0，得，則圓心，半徑為，根據圓與圓相切，則，，兩式相減得，根據定義可得動圓圓心軌跡為雙曲線的一支.故選：C【點睛】本題考查了兩圓的位置關系，圓錐曲線的定義，屬于基礎題.2、A【解析】先解不等式，再比較集合包含關系確定選項.【詳解】因為，所以是的充分不必要條件，選A.【點睛】本題考查解含絕對值不等式、解一元二次不等式以及充要關系判定，考查基本分析求解能力，屬基礎題.3、D【解析】因為拋物線方程可化為，所以拋物線的焦點到準線的距離是，故選D.考點：1、拋物線的標準方程；2、拋物線的幾何性質.4、A【解析】由已知設雙曲線方程為：，代入求得，計算即可得出離心率.【詳解】雙曲線經過點，且它的兩條漸近線方程是，設雙曲線方程為：，代入得：，.所以雙曲線方程為：..雙曲線C的離心率為故選：A5、C【解析】若函數是冪函數，則函數的圖象不過第四象限，原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題；其逆命題為：若函數的圖象不過第四象限，則函數是冪函數是假命題，所以原命題的否命題也是假命題.故它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題有一個．選C6、A【解析】根據關于平面對稱的點的規律：橫坐標、縱坐標保持不變，豎坐標變為它的相反數，即可求出點關于平面的對稱點的坐標，再利用向量的坐標運算求.【詳解】解：由題意，關于平面對稱的點橫坐標、縱坐標保持不變，豎坐標變為它的相反數，從而有點關于對稱的點的坐標為（2，?1，-3）.故選：A【點睛】本題以空間直角坐標系為載體，考查點關于面的對稱，考查數量積的坐標運算，屬于基礎題7、D【解析】設出直線方程，聯立拋物線方程，得到韋達定理，求得，利用拋物線定義，將目標式轉化為關于的代數式，消元后，利用基本不等式即可求得結果.【詳解】因為拋物線的焦點的坐標為，顯然要滿足題意，直線的斜率存在，設直線的方程為聯立可得，其，設坐標為，顯然，則，，根據拋物線定義，MF=故=4+4令，故4+4當且僅當，即時取得最小值.故選：D.【點睛】本題考察拋物線中的最值問題，涉及到韋達定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的關系，以及拋物線的定義轉化目標式，是解決問題的關鍵.8、D【解析】根據空間線面、面面的平行，垂直關系，結合線面、面面的平行，垂直的判定定理、性質定理解決【詳解】∵α⊥γ，β⊥γ，α與β的位置關系是相交或平行，故A不正確；∵m∥α，m∥β，α與β的位置關系是相交或平行，故B不正確；∵m∥α，n∥α，m與n的位置關系是相交、平行或異面∴故C不正確；∵垂直于同一平面的兩條直線平行，∴D正確；故答案D【點睛】本題考查線面平行關系判定，要注意直線、平面的不確定情況9、A【解析】設點，利用距離公式化簡可得出點的軌跡方程，即可得出動點的軌跡圖形.【詳解】設點，由題意可得，化簡可得，即，曲線為反比例函數圖象，故動點的軌跡是雙曲線.故選：A.10、C【解析】根據等比數列的性質及通項公式計算求解即可.【詳解】由，解得或（舍去），，，故選：C11、A【解析】根據題意作出圖形，進而根據幾何概型求概率的方法求得答案.【詳解】根據題意作出示意圖，如圖所示：于，所求概率.故選：A.12、C【解析】根據橢圓定義，和條件列式，再通過變形計算求解.【詳解】由條件可知，，即，解得：.故選：C【點睛】本題考查橢圓的定義，焦點三角形的性質，重點考查轉化與變形，計算能力，屬于基礎題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設，進而得到，，從而求出，再利用基本不等式即可求得答案.【詳解】設，則，，所以，當且僅當時取“=”.所以該游客離墻距離為米時，觀賞視角最大.故答案為：.14、【解析】根據拋物線的性質及拋物線方程可求坐標，進而得解.【詳解】由拋物線的方程可得焦點，準線，由題意可得，設，有拋物線的性質可得：，解得x＝4，代入拋物線的方程可得，所以，故答案為：.15、1023【解析】由數列遞推公式求特定項，依次求下去即可解決.【詳解】數列中，則，，，，，，故答案為：102316、##【解析】設，則，然后分別求出甲，乙，丙對應的結論，先假設甲正確，則得出乙錯誤，丙正確，由此即可求解【詳解】解：設，則，甲：由可得，則，乙：由可得：，丙：由可得，即，所以，若，則，則不成立，，則，解得或，所以甲，丙正確，乙錯誤，此時或，又復數對應的點在復平面第一象限內，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設橢圓的方程為代入點的坐標求出橢圓的方程，再利用點差法求解；（2）由題得直線的斜率存在，設直線的方程為，聯立直線和橢圓的方程得韋達定理，根據和韋達定理得到，即得證.【小問1詳解】解：由題設橢圓的方程為因為橢圓經過點，所以所以橢圓的方程為.設，所以，所以，由題得，所以，所以，所以，所以直線的斜率為.【小問2詳解】解：由題得當直線的斜率不存在時，不符合題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯立方程組y=kx+nx24所以，解得①，設，，，，則②，因為，則，，，又，，所以③，由②③可得（舍或滿足條件①，此時直線的方程為，故直線過定點18、（1）（2）【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求線面角；（2）用空間向量法求二面角【小問1詳解】以D為坐標原點，射線方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系.當時，，所以，設平面的法向量為，所以，即不妨得，，又，所以，則【小問2詳解】在長方體中，因為平面，所以平面平面，因為平面與平面交于，因為四邊形為正方形，所以，所以平面，即為平面的一個法向量，，所以，又平面的法向量為，所以.19、（1）（2）【解析】（1）設數列的公差為，由，且，，，利用“”法求解；（2）由，利用裂項相消法求解.【小問1詳解】解：，，設數列的公差為，則，，，由題知，整理得，解得，（舍去），，則.【小問2詳解】，則=.20、（1）（2）【解析】（1）設正項的等比數列的公比為，根據題意列出方程組，求得的值，即可求得數列的通項公式；（2）由，結合乘公比錯位相減求和，即可求解.小問1詳解】解：設正項的等比數列的公比為，顯然不為1，因為等比數列前4項和為且，可得，解得，所以數列的通項公式為.【小問2詳解】解：由，所以，可得，兩式相減得，所以.21、（1）條件選擇見解析；an＝2n，bn＝25﹣n.（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）把點（n，bn）代入曲線y＝可得到bn＝25﹣n，進而求出a1，設等差數列{an}的公差為d，選①S4＝20，利用等差數列的前n項和公式可求出d，從而得到an；若選②S3＝2a3，利用等差數列的前n項和公式可求出d，從而得到an；若選③3a3﹣a5＝b2，利用等差數列的通項公式公式可求出d，從而得到an；（2）由（1）可知Sn＝＝n（1+n），＝，再利用裂項相消法求出Tn＝1﹣，不等式無解，即不存在正整數k，使得Tk＞，且bk＞【小問1詳解】解：∵點（n，bn）在曲線y＝上，∴＝25﹣n，∴a1＝b4＝25﹣4＝2，設等差數列{an}的公差為d，若選①S4＝20，則S4＝＝20，解得d＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；若選②S3＝2a3，則S3＝a1+a2+a3＝2a3，∴a1+a2＝a3，∴2+2+d＝2+2d，解得d＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；若選③3a3﹣a5＝b2，則3（a1+2d）﹣（a1+4d）＝25﹣2＝8，∴2a1+2d＝8，即2×2+2d＝8，∴d＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；【小問2詳解】解：由（1）可知Sn＝＝＝n（1+n），∴＝＝，∴Tn＝（1﹣）+（）+……+（）＝1﹣，假設存在正整數k，使得Tk＞，且bk＞，∴，即，此不等式無解，∴不存在正整數k，使得Tk＞，且bk＞22、（1）（2）【解析】（1）圓關于直線對稱，半徑不變，只需求出圓心對稱的坐標即可.（2）將四邊形面積分成兩個全等的直角三角形，利用直角三角形的性質