福建省永春一中2024屆數學高二上期末監測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列求導錯誤的是（）A. B.C. D.2．已知等比數列滿足，，則數列前6項的和（）A.510 B.126C.256 D.5123．不等式解集為（）A. B.C. D.4．設雙曲線的實軸長為8，一條漸近線為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.5．若圓上恰有2個點到直線的距離為1，則實數的取值范圍為（）A B.C. D.6．已知雙曲線上的點到的距離為15，則點到點的距離為（）A.7 B.23C.5或25 D.7或237．甲、乙兩組數的數據如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數、方差、極差及中位數中相同的是（）A.極差 B.方差C.平均數 D.中位數8．已知實數x，y滿足，則的取值范圍是（）A. B.C. D.9．攢（cuán）尖是我國古代建筑中屋頂的一種結構樣式，多見于亭閣或園林式建筑．下圖是一頂圓形攢尖，其屋頂可近似看作一個圓錐，其軸截面（過圓錐軸的截面）是底邊長為，頂角為的等腰三角形，則該屋頂的面積約為（）A. B.C. D.10．已知x是上的一個隨機的實數，則使x滿足的概率為（）A. B.C. D.11．已知等比數列滿足，則（）A.168 B.210C.672 D.105012．已知拋物線過點，則拋物線的焦點坐標為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．總書記在2021年2月25日召開的全國脫貧攻堅總結表彰大會上發表重要講話，莊嚴宣告，在迎來中國共產黨成立一百周年的重要時刻，我國脫貧攻堅取得了全面勝利.在脫貧攻堅過程中，為了解某地農村經濟情況，工作人員對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：根據此頻率分布直方圖，下列結論中所存確結論的序號是____________①該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%；②該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%；③估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元；④估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間14．橢圓的離心率是______15．若“，”是真命題，則實數m的取值范圍________.16．某校學生在研究折紙實驗中發現，當對折后紙張達到一定的厚度時，便不能繼續對折了．在理想情況下，對折次數與紙的長邊和厚度有關系：．現有一張長邊為30cm，厚度為0.05cm的矩形紙，根據以上信息，當對折完4次時，的最小值為________；該矩形紙最多能對折________次．（參考數值：，）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的方程為，點，過點的直線交拋物線于，兩點（1）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由；（2）若點是直線上的動點，且，求面積的最小值18．（12分）已知橢圓：過點，且離心率（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）設的左、右焦點分別為，，過點作直線與橢圓交于，兩點，，求的面積19．（12分）如圖，已知正四棱錐中，O為底面對角線的交點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.20．（12分）如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為線段，的中點.（1）求點到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.21．（12分）已知函數f(x)＝ax－2lnx（1）討論f(x)的單調性；（2）設函數g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范圍22．（10分）已知函數，.（1）討論的單調性；（2）當時，記在區間的最大值為M，最小值為N，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據導數運算求得正確答案.【詳解】、、運算正確.，B選項錯誤.故選：B2、B【解析】設等比數列的公比為，由題設條件，求得，再結合等比數列的求和公式，即可求解.【詳解】設等比數列的公比為，因為，，可得，解得，所以數列前6項的和.故選：B.【點睛】本題主要考查了等比數列的通項公式，以及等比數列的前項和公式的應用，其中解答中熟記等比數列的通項公式和求和公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.3、C【解析】化簡一元二次不等式的標準形式并求出解集即可.【詳解】不等式整理得，解得或，則不等式解集為.故選：.4、D【解析】雙曲線的實軸長為，漸近線方程為，代入解析式即可得到結果.【詳解】雙曲線的實軸長為8，即，，漸近線方程為，進而得到雙曲線方程為.故選：D.5、A【解析】求得圓心到直線的距離，根據題意列出的不等關系式，即可求得的范圍.【詳解】因為圓心到直線的距離，故要滿足題意，只需，解得.故選：A.6、D【解析】根據雙曲線的定義知，，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得焦點坐標，根據雙曲線的定義知，，而，所以或故選：D【點睛】本題主要考查了雙曲線的定義及其應用，其中解答中熟記雙曲線的定義，列出方程是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力，屬于基礎題.7、C【解析】根據莖葉圖中數據的波動情況，可直接判斷方差不同；根據莖葉圖中的數據，分別計算極差、中位數、平均數，即可得出結果.【詳解】由莖葉圖可得：甲的數據更集中，乙的數據較分散，所以甲與乙的方差不同；甲的極差為；乙的極差為，所以甲與乙的極差不同；甲的中位數為，乙的中位數為，所以中位數不同；甲的平均數為，乙的平均數為，所以甲、乙的平均數相同；故選：C.8、B【解析】實數，滿足，通過討論，得到其圖象是橢圓、雙曲線的一部分組成的圖形，借助圖象分析可得的取值就是圖象上一點到直線距離范圍的2倍，求出切線方程根據平行直線距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.【詳解】因為實數，滿足，所以當時，，其圖象是位于第一象限，焦點在軸上的雙曲線的一部分（含點），當時，其圖象是位于第四象限，焦點在軸上的橢圓的一部分，當時，其圖象不存在，當時，其圖象是位于第三象限，焦點在軸上的雙曲線的一部分，作出橢圓和雙曲線的圖象，其中圖象如下：任意一點到直線的距離所以，結合圖象可得的范圍就是圖象上一點到直線距離范圍的2倍，雙曲線，其中一條漸近線與直線平行，通過圖形可得當曲線上一點位于時，取得最小值，無最大值，小于兩平行線與之間的距離的倍，設與其圖像在第一象限相切于點，由因為或（舍去）所以直線與直線的距離為此時，所以的取值范圍是故選：B【點睛】三種距離公式：（1）兩點間的距離公式：平面上任意兩點間的距離公式為；（2）點到直線的距離公式：點到直線的距離;（3）兩平行直線間的距離公式：兩條平行直線與間的距離.9、B【解析】由軸截面三角形，根據已知可得圓錐底面半徑和母線長，然后可解.【詳解】軸截面如圖，其中，，所以，所以，所以圓錐的側面積.故選：B10、B【解析】先解不等式得到的范圍，再利用幾何概型的概率公式進行求解.【詳解】由得，即，所以使x滿足的概率為故選：B.11、C【解析】根據等比數列的性質求得，再根據，即可求得結果.【詳解】等比數列滿足,設等比數列的公比為q,所以,解得，故，故選：C12、D【解析】把點代入拋物線方程求出，再化成標準方程可得解.【詳解】因為拋物線過點，所以，所以拋物線方程為，方程化成標準方程為，故拋物線的焦點坐標為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②④【解析】利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法，通過求解頻率即可判斷選項①，②，④，利用平均值的計算方法，即可判斷選項③【詳解】解：對于①，該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率為，故選項①正確；對于②，該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率為，故選項②正確；對于③，估計該地農戶家庭年收入的平均值為萬元，故選項③錯誤；對于④，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為，故估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于45萬元至8.5萬元之間，故選項④正確故答案為：①②④14、【解析】求出、、的值，即可得出橢圓的離心率.【詳解】在橢圓中，，，，因此，橢圓的離心率是.故答案為：.15、【解析】由于“，”是真命題，則實數m的取值集合就是函數的函數值的集合，據此即可求出結果.【詳解】由于“，”是真命題，則實數m的取值集合就是函數的函數值的集合，即.故答案為：【點睛】本題主要考查了存在量詞命題的概念的理解，以及數學轉換思想，屬于基礎題.16、①.64②.6【解析】利用即可求解，利用和換底公式進行求解.【詳解】令，則，則，即，即當對折完4次時，最小值為；由題意，得，，則，所以該矩形紙最多能對折6次.故答案為：64，6.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）是,；（2）【解析】（1）由題意設出所在直線方程，與拋物線方程聯立，化為關于的一元二次方程，由根與系數的關系即可求得為定值；（2）當的斜率為0時，求得三角形的面積為；當的斜率不為0時，由弦長公式求解，再由點到直線的距離公式求到的距離，代入三角形面積公式，利用函數單調性可得三角形的面積大于，由此可得面積的最小值【詳解】（1）由題意知，直線斜率存在，不妨設其方程為，聯立拋物線的方程可得，設，，則，，所以，，所以，所以是定值（2）當直線的斜率為0時，，又，，此時當直線的斜率不力0時，，又因為，且直線的斜率不為0，所以，即，所以點到直線的距離，此時，因為，所以，綜上，面積的最小值為18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根據已知點，離心率以及列方程組，解方程組可得的值即可求解；（Ⅱ）設，，直線的方程為，聯立直線與橢圓方程消去，可得，，利用向量數量積的坐標表示列方程可得的值，計算，利用面積公式計算即可求解.【詳解】（Ⅰ）將代入橢圓方程可得，即①因為離心率，即，②由①②解得，，故橢圓的標準方程為（Ⅱ）由題意可得，，設直線的方程為將直線的方程代入中，得，設，，則，所以，，所以，由，解得，所以，，因此19、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）根據給定條件，利用線面平行的判定推理作答.（2）利用正四棱錐的結構特征，結合線面垂直的判定推理作答.小問1詳解】在正四棱錐中，由正方形得：，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】在正四棱錐中，O為底面對角線的交點，則O是AC，BD的中點，而，，則，，因，平面，所以平面.20、（1）；（2）.【解析】（1）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.可根據題意寫出各個點的坐標，進而求出平面的法向量和的坐標，點到平面的距離.計算即可求出答案.（2）由（1）知平面的法向量，在把平面的法向量表示出來，平面與平面夾角的余弦值為，計算即可求出答案.【小問1詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系.由于正方體的棱長為2和，分別為線段，的中點知，.設平面的法向量為..則..故點到平面的距離.【小問2詳解】平面的法向量，平面與平面夾角的余弦值.21、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）根據實數a的正負性，結合導數的性質分類討論求解即可；（2）利用常變量分離法，通過構造函數，利用導數的性質進行求解即可.【小問1詳解】當a≤0時，在(0，＋∞)上恒成立；當a＞0時，令得；令得；綜上：a≤0時f(x)在(0，＋∞)上單調遞減；a＞0時，f(x)在上單調遞減，在上單調遞增；【小問2詳解】由題意知ax－2lnx≤x－2在(0，＋∞)上有解則ax≤x－2＋2lnx，令，xg'(x)＋0－g(x)↗極大值↘所以，因此有所以a的取值范圍為：【點睛】關鍵點睛：運用常變量分離法利用導數的性質是解題的關鍵.22、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求得，對參數進行分類討論，根據導函數函數值的正負即可判斷的單調性；（2）根據