1、如圖，拋物線的頂點為A（2，1），且經過原點O，與x軸的另一個交點為B．yxyxOAB第24題圖（2）在拋物線上求點M，使△MOB的面積是△AOB面積的3倍；（3）連結OA，AB，在x軸下方的拋物線上是否存在點N，使△OBN與△OAB相似？若存在，求出N點的坐標；若不存在，說明理由．2、如圖，拋物線與x軸交與A(1,0),B(-3，0)兩點，（1）求該拋物線的解析式；（2）設（1）中的拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？，若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值.若沒有，請說明理由. 3、如圖①，已知拋物線（a≠0）與軸交于點A(1，0)和點B(－3，0)，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)設拋物線的對稱軸與軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．(3)如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．4、某公司在固定線路上運輸，擬用運營指數Q量化考核司機的工作業績．Q=W+100，而W的大小與運輸次數n及平均速度x（km/h）有關（不考慮其他因素），W由兩部分的和組成：一部分與x的平方成正比，另一部分與x的n倍成正比．試行中得到了表中的數據．次數n21速度x4060指數Q420100（1）用含x和n的式子表示Q；

（2）當x=70，Q=450時，求n的值；

（3）若n=3，要使Q最大，確定x的值；

（4）設n=2，x=40，能否在n增加m%（m＞0）同時x減少m%的情況下，而Q的值仍為420？若能，求出m的值；若不能，請說明理由．

5、如圖13，拋物線y=ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點為（1,4），交x軸于A、B，交y軸于D，其中B點的坐標為（3,0）（1）求拋物線的解析式（2）如圖14，過點A的直線與拋物線交于點E，交y軸于點F，其中E點的橫坐標為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為PQ上一動點，則x軸上是否存在一點H，使D、G、F、H四點圍成的四邊形周長最小.若存在，求出這個最小值及G、H的坐標；若不存在，請說明理由.（3）如圖15，拋物線上是否存在一點T，過點T作x的垂線，垂足為M，過點M作直線MN∥BD，交線段AD于點N，連接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出點T的坐標；若不存在，說明理由.CEDGAxyOBF6、．如圖，拋物線y=ax2+bx+4與x軸的兩個交點分別為A（－4，0）、B（2，0），與y軸交于點C，頂點為D．E（1，2）為線段BC的中點，BCCEDGAxyOBF（1）求拋物線的函數解析式，并寫出頂點D的坐標；（2）在直線EF上求一點H，使△CDH的周長最小，并求出最小周長；（3）若點K在x軸上方的拋物線上運動，當K運動到什么位置時，△EFK的面積最大？并求出最大面積．7、如圖，拋物線y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，點D的坐標為（﹣6，0），且∠ACD=90°．（1）請直接寫出A、B兩點的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PAC的周長最小？若存在，求出點P的坐標及周長的最小值；若不存在，說明理由；（4）平行于y軸的直線m從點D出發沿x軸向右平行移動，到點A停止．設直線m與折線DCA的交點為G，與x軸的交點為H（t，0）．記△ACD在直線m左側部分的面積為s，求s關于t的函數關系式及自變量t的取值范圍．8、如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．（1）求A、B、C的坐標；（2）點M為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N．若點P在點Q左邊，當矩形PQMN的周長最大時，求△AEM的面積；（3）在（2）的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ．過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G（點G在點F的上方）．若FG=2DQ，求點F的坐標．9、如圖①，在平面直角坐標中，點A的坐標為（1，﹣2），點B的坐標為（3，﹣1），二次函數y=﹣x2的圖象為l1．（1）平移拋物線l1，使平移后的拋物線經過點A，但不過點B．①滿足此條件的函數解析式有個．②寫出向下平移且經點A的解析式．（2）平移拋物線l1，使平移后的拋物線經過A，B兩點，所得的拋物線l2，如圖②，求拋物線l2的函數解析式及頂點C的坐標，并求△ABC的面積．（3）在y軸上是否存在點P，使S△ABC=S△ABP？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．10、如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接BC。（1）求A、B、C三點的坐標；（2）若點P為線段BC上的一點（不與B、C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點M，交x軸于點N，當△BCM的面積最大時，求△BPN的周長；（3）在（2）的條件下，當BCM的面積最大時，在拋物線的對稱軸上存在點Q，使得△CNQ為直角三角形，求點Q的坐標。11、如圖，在平面直角坐標系中，己知點O（0，0），A（5，0），B（4，4）．（1）求過O、B、A三點的拋物線的解析式．（2）在第一象限的拋物線上存在點M，使以O、A、B、M為頂點的四邊形面積最大，求點M的坐標．（3）作直線x=m交拋物線于點P，交線段OB于點Q，當△PQB為等腰三角形時，求m的值．12、如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值，若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；（3）求△PAC為直角三角形時點P的坐標．13、如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經過A（﹣1，0），C（0，5）兩點，與x軸另一交點為B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），點P是第一象限內的拋物線上的動點．（1）求此拋物線的解析式；（2）當a=1時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點P的坐標；（3）若△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最小？請說明理由．7、 解：（1）拋物線的解析式為：y=ax2﹣8ax+12a（a＞0），令y=0，即ax2﹣8ax+12a=0，解得x1=2，x2=6，∴A（2，0），B（6，0）．（2）拋物線的解析式為：y=ax2﹣8ax+12a（a＞0），令x=0，得y=12a，∴C（0，12a），OC=12a．在Rt△COD中，由勾股定理得：CD2=OC2+OD2=（12a）2+62=144a2+36；在Rt△COD中，由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=（12a）2+22=144a2+4；在Rt△COD中，由勾股定理得：DC2+AC2=AD2；即：（144a2+36）+（144a2+4）=82，解得：a=或a=﹣（舍去），∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x+．（3）存在．對稱軸為直線：x=﹣=4．由（2）知C（0，），則點C關于對稱軸x=4的對稱點為C′（8，），連接AC′，與對稱軸交于點P，則點P為所求．此時△PAC周長最小，最小值為AC+AC′．設直線AC′的解析式為y=kx+b，則有：，解得，∴y=x﹣．當x=4時，y=，∴P（4，）．過點C′作C′E⊥x軸于點E，則C′E=，AE=6，在Rt△AC′E中，由勾股定理得：AC′==4；在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC==4．∴AC+AC′=4+4．∴存在滿足條件的點P，點P坐標為（4，），△PAC周長的最小值為4+4．（4）①當﹣6≤t≤0時，如答圖4﹣1所示．∵直線m平行于y軸，∴，即，解得：GH=（6+t）∴S=S△DGH=DH?GH=（6+t）?（6+t）=t2+2t+6；②當0＜t≤2時，如答圖4﹣2所示．∵直線m平行于y軸，∴，即，解得：GH=﹣t+2．∴S=S△COD+S梯形OCGH=OD?OC+（GH+OC）?OH=×6×2+（﹣t+2+2）?t=﹣t2+2t+6．∴S=．8、考點： 二次函數綜合題．分析： （1）通過解析式即可得出C點坐標，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標．（2）設M點橫坐標為m，則PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周長d=﹣m2﹣m+10，將﹣m2﹣m+10配方，根據二次函數的性質，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長，從而求得三角形的面積．（3）設F（n，﹣n2﹣2n+3），根據已知若FG=2DQ，即可求得．解答： 解：（1）由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3），令y=0，則0=﹣x2﹣2x+3，解得x=﹣3或x=1，∴A（﹣3，0），B（1，0）．（2）由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知，對稱軸為x=﹣1，設M點的橫坐標為m，則PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周長=2（PM+MN）=（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2∴當m=﹣2時矩形的周長最大．∵A（﹣3，0），C（0，3），設直線AC解析式為；y=kx+b，解得k=1，b=3，∴解析式y=x+3，當x=﹣2時，則E（﹣2，1），∴EM=1，AM=1，∴S=?AM?EM=．（3）∵M點的橫坐標為﹣2，拋物線的對稱軸為x=﹣1，∴N應與原點重合，Q點與C點重合，∴DQ=DC，把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4，∴D（﹣1，4）∴DQ=DC=，∵FC=2DQ，∴FG=4，設F（n，﹣n2﹣2n+3），則G（n，n+3），∴|﹣n2﹣2n+3|﹣|n+3|=4，即n2+2n﹣3+n+3=4，解得：n=﹣4或n=1，∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．點評： 本題考查了二次函數與坐標軸的交點的求法，矩形的性質，一元二次方程的解法，二次函數最值的求法，綜合性較強，難度適中．運用數形結合、方程思想是解題的關鍵．9、考點： 二次函數綜合題分析： （1）①根據實際情況可以直接寫出結果；②設平移以后的二次函數解析式是：y=﹣x2+c，把（1，﹣2）代入即可求得c的值，得到函數的解析式；（2）利用待定系數法即可求得函數的解析式；（3）過點A、B、C三點分別作x軸的垂線，垂足分別為D、EE、F，求得△ABC的面積，然后分當點P位于點G的下方和上方，兩種情況進行討論求解．解答： 解：（1）①滿足此條件的函數解析式有無數個；②設平移以后的二次函數解析式是：y=﹣x2+c，把（1，﹣2）代入得：﹣1+c=﹣2，解得：c=﹣1，則函數的解析式是：y=﹣x2﹣1；（2）設l2的解析式是y=x2+bx+c，∵l2經過點A（1，﹣2）和B（3，﹣1），根據題意得：，解得：，則l2的解析式是：y=﹣x2+x﹣，則頂點C的坐標是（，﹣）．（3）過點A、B、C三點分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，則AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，FE=．得：S△ABC=S梯形ABED﹣S梯形BCFE﹣S梯形ACFD=．延長BA交y軸于點G，直線AB的解析式為y=x﹣，則點G的坐標為（0，﹣），設點P的坐標為（0，h）①當點P位于點G的下方時，PG=﹣﹣h，連結AP、BP，則S△AEF=S△EFG﹣S△AFG=﹣﹣h，又∵S△ABC=S△ABP=，得h=﹣，點P的坐標為（0，﹣）．②當點P位于點G的上方時，PG=+h，同理h=﹣，點PP的坐標為（0，﹣）．綜上所述所求點P的坐標為（0，﹣）或（0，﹣）點評： 本題是待定系數法求函數的解析式，以及函數的平移的綜合題，正確理解平移時，函數解析式的變化規律是關鍵．10題 解：（1）令x=0，解得y=3∴點C的坐標為（0,3）令y=0，解得x1=-1，x2=3∴點A的坐標為（-1,0）點B的坐標為（3,0）（2）由A，B兩點坐標求得直線AB的解析式為y=-x+3設點P的坐標為（x，-x+3）（0＜x＜3）∵PM∥y軸∠PNB=90°，點M的坐標為（x，-x2+2x+3）∴PM=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x∵∴當x=時的面積最大此時，點P的坐標為（，）∴PN=，BN=，BP=∴.（3）求得拋物線對稱軸為x=1設點Q的坐標為（1，）∴當∠CNQ=90°時，如圖1所示即解得：∴Q1（1，）當∠NCQ=90°時，如圖2所示即解得：∴Q2（1，）當∠CQN=90°時，如圖3所示即解得：∴Q3（1，）Q4（1，）11、考點： 二次函數綜合題．專題： 壓軸題；分類討論．分析： （1）由于拋物線與x軸的兩個交點已知，因此拋物線的解析式可設成交點式，然后把點B的坐標代入，即可求出拋物線的解析式．（2）以O、A、B、M為頂點的四邊形中，△OAB的面積固定，因此只要另外一個三角形面積最大，則四邊形面積即最大；求出另一個三角形面積的表達式，利用二次函數的性質確定其最值；本問需分類討論：①當0＜x≤4時，點M在拋物線OB段上時，如答圖1所示；②當4＜x≤5時，點M在拋物線AB段上時，圖略．（3）△PQB為等腰三角形時，有三種情形，需要分類討論，避免漏解：①若點B為頂點，即BP=BQ，如答圖2﹣1所示；②若點P為頂點，即PQ=PB，如答圖2﹣2所示；③若點P為頂點，即PQ=QB，如答圖2﹣3所示．解答： 解：（1）∵該拋物線經過點A（5，0），O（0，0），∴該拋物線的解析式可設為y=a（x﹣0）（x﹣5）=ax（x﹣5）．∵點B（4，4）在該拋物線上，∴a×4×（4﹣5）=4．∴a=﹣1．∴該拋物線的解析式為y=﹣x（x﹣5）=﹣x2+5x．（2）以O、A、B、M為頂點的四邊形中，△OAB的面積固定，因此只要另外一個三角形面積最大，則四邊形面積即最大．①當0＜x≤4時，點M在拋物線OB段上時，如答圖1所示．∵B（4，4），∴易知直線OB的解析式為：y=x．設M（x，﹣x2+5x），過點M作ME∥y軸，交OB于點E，則E（x，x），∴ME=（﹣x2+5x）﹣x=﹣x2+4x．S△OBM=S△MEO+S△MEB=ME（xE﹣0）+ME（xB﹣xE）=ME?xB=ME×4=2ME，∴S△OBM=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8∴當x=2時，S△OBM最大值為8，即四邊形的面積最大．②當4＜x≤5時，點M在拋物線AB段上時，圖略．可求得直線AB解析式為：y=﹣4x+20．設M（x，﹣x2+5x），過點M作ME∥y軸，交AB于點E，則E（x，﹣4x+20），∴ME=（﹣x2+5x）﹣（﹣4x+20）=﹣x2+9x﹣20．S△ABM=S△MEB+S△MEA=ME（xE﹣xB）+ME（xA﹣xE）=ME?（xA﹣xB）=ME×1=ME，∴S△ABM=﹣x2+x﹣10=﹣（x﹣）2+∴當x=時，S△ABM最大值為，即四邊形的面積最大．比較①②可知，當x=2時，四邊形面積最大．當x=2時，y=﹣x2+5x=6，∴M（2，6）．（3）由題意可知，點P在線段OB上方的拋物線上．設P（m，﹣m2+5m），則Q（m，m當△PQB為等腰三角形時，①若點B為頂點，即BP=BQ，如答圖2﹣1所示．過點B作BE⊥PQ于點E，則點E為線段PQ中點，∴E（m，）．∵BE∥x軸，B（4，4），∴=4，解得：m=2或m=4（與點B重合，舍去）∴m=2；②若點P為頂點，即PQ=PB，如答圖2﹣2所示．易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，則△PQB為等腰直角三角形．∴PB∥x軸，∴﹣m2+5m解得：m=1或m=4（與點B重合，舍去）∴m=1；③若點P為頂點，即PQ=QB，如答圖2﹣3所示．∵P（m，﹣m2+5m），Q（m，m∴PQ=﹣m2+4m又∵QB=（xB﹣xQ）=（4﹣m），∴﹣m2+4m=（4﹣m），解得：m=或m=4（與點B重合，舍去），∴m=．綜上所述，當△PQB為等腰三角形時，m的值為1，2或．點評： 本題是二次函數壓軸題，涉及考點較多，有一定的難度．重點考查了分類討論的數學思想，第（2）（3）問均需要進行分類討論，避免漏解．注意第（2）問中求面積表達式的方法，以及第（3）問中利用方程思想求m值的方法．12、考點： 二次函數綜合題．分析： （1）已知B（4，m）在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點坐標，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可求得待定系數的值．（2）要弄清PC的長，實際是直線AB與拋物線函數值的差．可設出P點橫坐標，根據直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標，進而得到關于PC與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出PC的最大值．（3）根據直線AB的解析式，可求得直線AC的解析式y=﹣x+b，已知了點A的坐標，即可求得直線AC的解析式，聯立拋物線的解析式，可求得C點的坐標；解答： 解：（1）∵B（4，m）在直線線y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在拋物線y=ax2+bx﹣4上，∴，∵c=6，∴a=2，b=﹣8，∴y=2x2﹣8x+6．（2）設動點P的坐標為（n，n+2），則C點的坐標為（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵PC＞0，∴當n=時，線段PC最大且為．（3）設直線AC的解析式為y=﹣x+b，把A（，）代入得：=﹣+b，解得：b=3，∴直線AC解析式：y=﹣x+3，點C在拋物線上，設C（m，2m2﹣8m+6），代入y=﹣x+3得：2m2﹣整理得：2m2﹣7m解得；m=3或m=，∴P（3，0）或P（，）．點評： 此題主要考查了二次函數解析式的確定、二次函數最值的應用以及直角三角形的判定、函數圖象交點坐標的求法等知識；13、考點： 二次函數綜合題．分析： （1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）首先求出四邊形MEFP面積的表達式，然后利用二次函數的性質求出最值及點P坐標；（3）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，