單元卷七立體幾何與空間向量(能力提升卷)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.〖2022·北京西城區一模〗已知α、β、γ是三個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，下列命題中正確的是()A．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βB．若a⊥α，b⊥α，則a∥bC．若a∥α，b∥α，則a∥bD．若a∥α，a∥β，則α∥β2.〖2021·上海徐匯區一模〗如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，連接AC，BD，PB，PC，PD，下面各組向量中，數量積不一定為零的是()A．eq\o(PC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))B．eq\o(PB,\s\up6(→))與eq\o(DA,\s\up6(→))C．eq\o(PD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))D．eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))3.〖2021·安徽五校聯考〗在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分別為A1B，B1D1，A1D，CD1的中點，則異面直線EF與PQ所成角的大小是()A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,6) C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)4.〖2021·廣東中山一?！健端銛禃肥俏覈F存最早的數學著作，其中記載有求“囷蓋”的術：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h，用該術可求得圓周率π的近似值.現用該術求得π的近似值，并計算得一個底面直徑和母線長相等的圓錐的表面積的近似值為9，則該圓錐體積的近似值為()A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D．35.〖2021·上海格致中學高三三模〗如圖，棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別是面對角線AD1與BD上的動點，且AP＝DQ，給出下列兩個判斷：(1)PQ和A1C1始終是異面直線；(2)PQ長的最小值是eq\f(2\r(3),3)；則下列說法正確的是()A．(1)正確，(2)錯誤B．(1)錯誤，(2)正確C．(1)正確，(2)正確D．(1)錯誤，(2)錯誤6.〖2021·福建廈門市高三三模〗如圖在四棱錐P－ABCD的平面展開圖中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，三角形ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝90°，則四棱錐P－ABCD外接球的球心到面PBC的距離為()A．eq\f(\r(30),5) B．eq\f(\r(30),6)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(5),6)7.〖2022·哈爾濱師大附中一?！竭^正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A作平面α，使α∥平面A1B1CD，A1D1和D1C1的中點分別為E和F，則直線EF與平面α所成角的正弦值為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(\r(3),3)8.〖2021·河南鄭州一模〗如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點F，G分別是PB，PD的中點，點E在線段PC上，且CE＝3EP，則()A．PD∥EFB．直線PA與直線GF相交C．PA∥EGD．PA∥平面EFG二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.〖2021·合肥六中期末〗如圖所示的幾何體是一個正方體挖掉一個圓錐(圓錐的底面圓與正方體的上底面正方形各邊相切，頂點在下底面上)，用一個垂直于正方體某個面的平面截該幾何體，下列圖形中可能是其截面圖的是()10.〖2021·江蘇蘇錫常鎮四市一?！揭粋€正四面體和一個正四棱錐的所有棱長都相等，將正四面體的一個面和正四棱錐的一個側面緊貼重合在一起，得到一個新幾何體，對于該新幾何體，有()A．AF∥CDB．AF⊥DEC．新幾何體有7個面D．新幾何體的六個頂點不能在同一個球面上11.〖2022·濟寧模擬〗如圖，已知一個八面體的各條棱長均為2，四邊形ABCD為正方形，給出下列說法，其中正確的是()A．該八面體的體積為eq\f(8,3)B．該八面體的外接球的表面積為8πC．點E到平面ADF的距離為eq\r(3)D．EC與BF所成的角為60°12.〖2021·山東菏澤期末〗沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的eq\f(2,3)(細管長度忽略不計)，假設該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，且細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結論錯誤的是()A．沙漏的側面積是16eq\r(5)πcm2B．沙漏中細沙的體積為1024πcm3C．細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為1.2cmD．該沙漏的一個沙時大約是1985秒(π≈3.14)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.〖2021·河北張家口質量檢測〗萊昂哈德·歐拉是科學史上一位杰出的數學家，他的研究論著幾乎涉及所有數學分支，有許多公式、定理、解法、函數、方程、常數等是以歐拉名字命名的.歐拉發現，不論什么形狀的凸多面體，其頂點數V、棱數E、面數F之間總滿足數量關系V＋F－E＝2，此式稱為歐拉定理.已知某凸八面體，4個面是三角形，3個面是四邊形，1個面是六邊形，則該八面體的棱數為________，頂點的個數為________.14.〖2022·淮北模擬〗如圖，在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝1，BC＝1，AD＝2.取AD的中點E，將△ABE沿BE折起，使二面角A－BE－C為120°，則四棱錐A－BCDE的體積為________.15.〖2021·蘭州一?！饺鐖D，正方體A1C的棱長為1，點M在棱A1D1上，且A1M＝2MD1，過點M的平面α與平面A1BC1平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為________.16.〖2022·河北石家莊期末〗我國古代《九章算術》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童.如圖的芻童ABCD－EFGH有外接球，AB＝2eq\r(6)，AD＝2eq\r(2)，EH＝eq\r(15)，EF＝eq\r(5)，平面EFGH與平面ABCD的距離為1，則該芻童外接球的體積為________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．〖2021·江西南昌一?！饺鐖D，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，對角面AA1C1C是矩形，且平面AA1C1C⊥平面ABCD．(1)證明：四棱柱ABCD－A1B1C1D1是直四棱柱；(2)設AC∩BD＝O，若AB＝AA1，求二面角D－OB1－C1的余弦值.18．〖2022·山西太原一?！饺鐖D，在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝eq\r(2)，AC＝BC＝PC＝eq\r(5)，AB＝2，點E為PC的中點.(1)證明：平面PAB⊥平面ABC；(2)設點F在線段BC上，且eq\o(BF,\s\up6(→))＝λeq\o(FC,\s\up6(→))，若二面角C－AE－F的大小為45°，求實數λ的值.19．〖2022·四川成都二模〗如圖①，在等腰三角形PBC中，PB＝PC＝3eq\r(5)，BC＝6，D，E滿足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DP,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(EP,\s\up6(→)).將△PDE沿直線DE折起到△ADE的位置，連接AB，AC，得到如圖②所示的四棱錐A－BCED，點F滿足eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FA,\s\up6(→)).(1)證明：DF∥平面ACE；(2)當AB＝eq\r(29)時，求平面ACE與平面DEF所成銳二面角的余弦值.20．〖2021·湖南五市聯考〗如圖，在四棱錐P－ABCD中，側面PAB⊥底面ABCD，側面PAD⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝eq\r(3)AD，∠ACB＝30°.(1)證明：PA⊥平面ABCD．(2)當直線PC與平面PBD所成的角最大時，求二面角P－BD－C的余弦值.21．〖2021·福州一中期末〗木工技藝是我國傳統文化瑰寶之一，體現了勞動人民的無窮智慧.很多古代建筑和家具保存到現代依然牢固，這其中，有連接加固功能的“楔子”發揮了重要作用.如圖，楔子狀五面體EF－ABCD的底面ABCD為一個矩形，AB＝8，AD＝6，EF∥平面ABCD，棱EA＝ED＝FB＝FC＝5，設M，N分別是AD，BC的中點.(1)證明：E，F，M，N四點