第六節(jié)雙曲線第八章平面解析幾何考試要求：1．了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程．2．了解雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．必備知識(shí)·回顧教材重“四基”01一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的___________等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的_____，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的_____．差的絕對(duì)值焦點(diǎn)焦距集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當(dāng)a<c時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線．(2)當(dāng)a＝c時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線．(3)當(dāng)a>c時(shí)，點(diǎn)P不存在．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：_______，對(duì)稱(chēng)中心：_____頂點(diǎn)____________________A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線坐標(biāo)軸原點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)離心率實(shí)虛軸實(shí)軸|A1A2|＝___；虛軸|B1B2|＝___；實(shí)半軸長(zhǎng)__，虛半軸長(zhǎng)__a，b，c的關(guān)系c2＝_______(c>a>0，c>b>0)2a2baba2＋b2

34512××√√

34512

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34512

34512關(guān)鍵能力·研析考點(diǎn)強(qiáng)“四翼”考點(diǎn)1雙曲線的定義——基礎(chǔ)性02考點(diǎn)2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程——綜合性考點(diǎn)3雙曲線的幾何性質(zhì)——應(yīng)用性拓展考點(diǎn)焦點(diǎn)三角形

考點(diǎn)1雙曲線的定義——基礎(chǔ)性

2．設(shè)過(guò)雙曲線x2－y2＝9左焦點(diǎn)F1的直線交雙曲線的左支于點(diǎn)P，Q，若|PQ|＝7，則△F2PQ的周長(zhǎng)為(

)A．19 B．26C．43 D．50B

解析：如圖所示，

1．定義理解：①距離之差的絕對(duì)值，不能漏掉“絕對(duì)值”，否則軌跡是一支．②2a<|F1F2|，否則軌跡是射線或不存在．2．方程理解：①求雙曲線方程時(shí)，注意標(biāo)準(zhǔn)形式的判斷及焦點(diǎn)位置，否則x2與y2的系數(shù)會(huì)錯(cuò)．②注意a，b，c的關(guān)系易錯(cuò)易混．大小關(guān)系c>a>0，c>b>0；數(shù)量關(guān)系c2＝a2＋b2.這兩個(gè)關(guān)系與橢圓中的均不同，不能混淆．

考點(diǎn)2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程——綜合性

考點(diǎn)3雙曲線的幾何性質(zhì)——應(yīng)用性

與雙曲線有關(guān)的取值范圍問(wèn)題的解題思路(1)若條件中存在不等關(guān)系，則借助此關(guān)系直接變換求解．(2)若條件中沒(méi)有不等關(guān)系，要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系或借助曲線中的不等關(guān)系來(lái)解決.

橢圓或雙曲線上的點(diǎn)P(x0，y0)與左、右焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形，其中∠F1PF2為頂角θ，F(xiàn)1F2為底邊．(1)在橢圓中，①焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)是定值，l＝2a＋2c.②△PF1F2中三邊的關(guān)系，除定義|PF1|＋|PF2|＝2a外，還有余弦定理：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.③|PF1|·|PF2|的最大值為a2(當(dāng)且僅當(dāng)x0＝0時(shí)取得)，最小值為b2(當(dāng)且僅當(dāng)x0＝±a時(shí)取得)．拓展考點(diǎn)焦點(diǎn)三角形

03一題N解·深化綜合提“素養(yǎng)”

[四字程序]讀想算思A，F(xiàn)分別是雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)1．雙曲線的離心率的表達(dá)式是什么？2．如何把幾何條件∠PFA＝2∠PAF轉(zhuǎn)化為代數(shù)式設(shè)∠PAF＝α，建立∠PAF和∠PFA之間的聯(lián)系數(shù)形結(jié)合∠PFA＝2∠PAF，求雙曲線的離心率利用特殊值法或者代數(shù)運(yùn)算，都要結(jié)合圖形解決問(wèn)題思路參考：特殊值法，不妨設(shè)∠PFA＝90°求解．C

解析：因?yàn)椤螾FA＝2∠PAF恒成立，不妨令∠PFA＝90°，則∠PAF＝45°.

思路參考：構(gòu)造相似三角形，結(jié)合平面幾何知識(shí)求解．

圖1在雙曲線中，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AF，如圖2.圖2

思路參考：設(shè)出點(diǎn)P(m，n)，利用過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式與傾斜角關(guān)系求解．C

解析：如圖，作PM⊥AF于點(diǎn)M，

1．本題考查雙曲線的離心率的計(jì)算，其基本策略是根據(jù)雙曲線的幾何性