----------------------------精品word文檔值得下載值得擁有--------------------------------------------------------------------------精品word文檔值得下載值得擁有---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------近年來自主招生數學試卷解讀及應試策略上海華東師大二附中范端喜200241自從2006年復旦大學、上海交通大學等全國重點院校高考改革試驗“破冰”以來，各高校“深化自主選拔錄取改革試驗”招生方案不斷出臺，全國自主招生高校不斷增多，而且各高校自主招生比例也在增大.2010年自主招生中一些名牌高校首次實行聯合統一考試，如清華大學等5所高校實行“五校聯考”.2011年自主招生呈三足鼎立之勢：以清華大學為首的7所高校自主招生稱為“華約”；以北京大學為首的13所高校自主招生稱為“北約”；9所工科院校組成的自主招生聯盟稱為“卓越聯盟”.這引起教育界人士和家長們的高度關注，更引起了廣大中學生對自主招生考試的興趣.2012年的自主招生考試難度不減.“華約”、“北約”的自主招生考試中，教材基本內容大約占，其余內容涉及競賽的相關知識.2012年自主招生考試熱點知識為：三角、方程的根的問題、排列組合、二項式定理、概率、解析幾何、平面幾何、組合、導數、不等式等.1.試卷特點分析1.1基礎知識、基本技能仍是考查的重點沒有扎實的“雙基”，能力培養就成了無源之水、無本之木.基礎知識、基本技能是數學教學的重要任務之一，是培養學生能力的前提.縱觀清華大學、北京大學、復旦大學、上海交通大學、浙江大學等高校近幾年自主招生筆試題目，我們會發現，大部分的題目仍是比較基礎的問題.以復旦大學為例，其筆試30道左右的選擇題中，也多半是考查學生們平時訓練過的一些比較熟悉的題型和知識點.1.2考查知識點的覆蓋面廣，但側重點有所不同近幾年自主招生的試題，知識點的覆蓋面還是很廣的，基本上涉及高中數學教學大綱的所有內容，如函數、集合、數列、復數、三角、排列組合、概率統計、向量、立體幾何、解析幾何等.然而，高校自主招生考試命題是由大學教授完成的，試題側重考查高等數學與初等數學的銜接.仍以復旦大學為例，以下是幾個在近幾年該校自主招生考試中出現的頻率較高的知識點：三角、函數和方程問題、排列組合和概率統計、不等式等.1.3注重數學知識和其他科目知識的整合，考查學生應用知識解決問題的能力例如，2010年清華大學等“五校聯考”有這樣一個問題：已知基因型為的比例為（1）求子一代的比例；（2）子二代與子一代比例是否相同？這是一道與生物學知識有密切聯系的數學問題，若考生缺乏有關生物學方面的知識，則肯定不能解決此問題.這道題目在考生中引起了強烈的反響，它考查了學生應用數學解決問題的能力.本題詳細解答見《名牌大學自主招生高效備考數學》的第十講，為了簡便，下稱本書.2011年“華約”又考了一道數學與物理學相結合的問題（見本書第十九講）：有一個圓柱形水杯，質量為克（底面質量不計），重心在中軸線中點，裝滿水時，水的質量為克.（1）若,求水裝到一半時，重心到底面的距離與整個水杯高度之比；（2）水的質量是多少時，整體重心最低？2012年復旦大學也考了一道數學與物理學相結合的問題（見本書第十九講）：某船從點出發，以速度勻速向東航行，觀察者在點正南距離為的點進行觀察，當觀察者感覺速度是處速度的時，觀察者的視線跟隨行船偏轉的角度為().A.B.C.D.1.4突出對思維能力和解題技巧的考查近幾年的自主招生試卷中對數學思想方法和思維策略的考查達到了相當高的層次，難度上有時與全國高中數學聯賽一試試題相當.例如，2007年上海交通大學冬令營自主招生試題中有這樣一個問題：設，試證明對任意實數：（1）方程總有相同實根；（2）存在，橫有這兩小問解決的策略和方法是：換一個角度，將函數看成一個關于的一次函數.該題的詳解見本書第四講.又如，對解決學習型問題的能力的考查，一直是高中數學教學大綱中提到的對學生能力要求較高的問題.學習型問題要求對過去沒有學習過的概念、公式、定理或方法，在當前情景下通過閱讀理解，即時學習，并運用其解決與之相關的問題.學習型問題對培養學生的閱讀理解問題、獨立獲取知識的能力以及創新精神和實踐能力都是大有裨益的，在平時的學習中應適當加以訓練.2007年清華大學自主招生考試中有這樣一個學習型問題（見本書第一講）：對于集合(表示二維點集)，稱為開集，當且僅當使得判斷集合是否為開集，并證明你的結論.2010年復旦大學自主招生考試32道試題中，有六七道題涉及此方面的問題，例如：設集合是實數集的子集，如果點滿足：對任意，都存在，使得，那么稱為集合的聚點.用表示整數集，則在下列集合以0為聚點的集合有（）.該題的詳細解答請參考本書的第一講.“開集”、“聚點”等是高等數學中非常重要的概念，同學們以后會在數學分析、拓撲等課程中學習到.1.5考試題量大、對考生熟練程度要求極高由于自主招生考試只是針對少數特長生、優秀精英學生的考試，無論是“北約”、“華約”，還是“卓越聯盟”、復旦大學“千分考”等，對考生的解題速度都有很高的要求.2012年，“北約”考試題型是文理科各7道（文科1-7題，理科3-9題），全部是解答題，語、數、外三科合在一起，考試時間共計3小時；“卓越聯盟”試卷有6道解答題、6道填空題，考試時間是90分鐘；“華約”試卷有10道選擇題、5道解答題，考試時間是90分鐘；復旦大學“千分考”十門共計200道選擇題，其中數學題32道，考試時間為3小時，平均每道題54秒.2.應試和準備策略針對自主招生試題的上述特點，大家在復習時應注意以下幾點：2.1注意知識點的全面數學題目被猜中的可能性很小，知識一般都是靠平時積累，剩下的就是個人的臨場發揮.數學需要靠平時扎扎實實的學習才能考出好成績.另外，對有些平時不太注意或高考不一定考的知識點，如矩陣、行列式等也不能忽視.2.2適當做一些近幾年的自主招生考試的真題俗話說，知己知彼，百戰百勝.同學們可適當地訓練自己報考的或其他高校近幾年自主招生考試的試題，熟悉一下題型是有益的.自主招生考試中有一些題是前幾年的考試真題改編，甚至是原題，例如前面提到的2007年上海交通大學冬令營的問題，其實在2004年上海交通大學冬令營中就已出現過類似問題（見本書第四講）：已知試求出：當實數取何值時，（1）總有；（2）總有.又如，下面兩題是同一類問題：（2012年“卓越聯盟”，本書第十二講）求：的值域.（2005年復旦大學，本書第十二講）求：的最大值.再如，下面3道都是姊妹題：（2012年復旦大學，本書第十七講）記為從1到2012之間所有整數的連乘積，則值的尾部（從個位往前計數）連續的0的個數是.（2003年上海交通大學，本書第十七講）的末尾有個連續的零.（2006年上海交通大學，本書第十七講）的末尾有個連續的零.大家留意一下2012年蘇州大學自主招生的最后一道壓軸題（見本書第七講）：已知數列滿足且且其實，這道題就是2004年復旦大學自主招生的試題.2.3注重知識的延伸全國重點院校自主招生考試試題比高考試題稍難，比數學競賽試題又稍易.有些問題有一定的深度，這就要求考生平時要注意知識點的延伸.例如，2012年復旦大學“千分考”的第128題（見本書第七講）：這道題實際上是利用特征方程特征根求數列通項公式.又如，2012年復旦大學“千分考”的第113題（見本書第十五講）：設是空間直角坐標系中一個體積為1的四面體的四個頂點，其中是實數，那么的值為.這道題實際上是要用到用四階行列式表示四面體的體積公式，是教材中三階行列式表示三角形面積公式的一個推廣.再如，2008年復旦大學“千分考”的第88題（見本書第十五講）：此題要用到兩個課本之外的知識點，即三次方程的韋達定理和公式三次方程的韋達定理雖不難推導，但平時同學們對三次方程比較陌生.而該公式對于參加過數學競賽的同學并不陌生.再看一下2010年“五校聯考”中有這樣一個問題：在三角形，為垂心，為外心，中線交于，求.參加過數學競賽的同學都清楚，這實際上是一道與歐拉線有關的問題，若平時接觸或了解歐拉線的知識，則做這道題就不費吹灰之力.2.4關注高考要求很淡化、但自主招生要求很高的內容；注重教材之外、課本中沒有出現的知識自主招生與高考大約有60%-70%的知識點是重合的，如數列、解析幾何、不等式等，這些知識點無論是高考還是自主招生都是重點，但下面幾個知識點要提醒考生注意：（1）三角：高考對三角的要求比較低，高考中一般出現在解答題的第一或第二題，屬于送分題.但在自主招生中，三角所占的比例比較高，尤其是三角變換，而積化和差、和差化積公式在自主招生考試中是“家常便飯”.大學教授對三角比較重視是有道理的，這是因為大學里很多內容，比如：微積分、復變函數、傅里葉級數等都要用到三角.以下兩題分別是2012年“卓越聯盟”和“北約”自主招生試題，都有相當的挑戰性.（2012年“卓越聯盟”，本書第十二講）設，設，若存在，使恒成立，則的范圍為.（2012年“北約”，本書第十二講）（2）平面幾何：這塊內容是高中數學聯賽加試中必考的，但除了少數省市，如北京市、江蘇省等在高考中還沒涉及平面幾何內容，大多數省市高考不考平面幾何.顯然，初中也學習過平面幾何，但由于時間長，多數同學早已忘得一干二凈，所以平面幾何得分率很低，多數同學在考試中碰到平面問題時，往往不知所措.以下兩道題是2012年“北約”自主招生考試中與平面幾何中圓有關的真題：（2012年“北約”，本書第十九講）求證：若圓內接五邊形的每個角都相等，則它為正五邊形.（2012年“北約”）如果銳角的外接圓圓心為，求到三角形三邊的距離比（用三角形的角和三角函數表示）.（3）組合：熟悉和學習過數學競賽的同學知道，組合是全國高中數學聯賽加試中必考的內容之一（聯賽加試共四道），2012年“華約”和“北約”分別考到一道組合問題，其中“北約”的組合問題帶有數論的味道，下面是2012年“華約”和“北約”自主招生真題：（2012年“華約”，本書第十八講）有位乒乓球選手，他們互相進行了若干場乒乓球雙打比賽，并且發現任意兩名選手作為隊友恰好只參加過一次比賽，請問的所有可能值.（2012年“北約”，本書第十八講）在中取一