2021年上海市高考數學押題試卷（7）

一、單選題（本大題共4小題，共20.0分）

1.圓謂大，=2與直線屏=樂足為沒有公共點的充分不必要條件是（）

A.歙線-倔“修B.電銀制「褥Q角反抽

C.急會《一道”場D.第唱《一海”一圾礴

2.若關于0的不等式0的解集是空集，則實數a的取值范圍是（）

A.0B.0C.0D.0

3.直線y+4=0與圓/+丫2-4%+2丫-4=0的位置關系是（）

A.相切B.相交，但直線不經過圓心

C.相離D.相交且直線經過圓心

4.過拋物線/=4y在第一象限內的一點P作切線，切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為點則點

P到拋物線焦點F的距離為（）

A.1B.2C.3D.4

二、單空題（本大題共12小題，共54.0分）

5,若集合M={x\x2>4},P=（x\舒<0},則MUP=.

心6-定.乂lcbdIyad.ic,,貝n]li|%248|1+,1|104126|〔+.…+,|〔220014020。1浦2|=——'

7.設復數0S□為虛數單位兇，若區為實數，則□的值為一.

8.在AABC中，若B=60。，AB=2,AC=2a,則△4BC的面積是.

9.函數/（x）=x|x|的反函數是.

10.已知數列{姆J的首項%=2,%疝=麓均#輯，數列翻心}通項公式為時=_.

11.計算：n^noo[l+l+l+...（i）n]=----.

12.某校舉行2015年元旦匯演，氣味評委為某班的小品打出的分數如莖葉統計79

844647

圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均數為方93

差為.

13.將4個不同的球隨機地放入3個盒子中，則每個盒子中至少有一個球的概率等于.（用分數

作答）

14.已知矩形4BCD中，AB=2,BC=1,點P是8。上任意一點，則前.（刀+定）的取值范圍是

15.已知居、尸2是雙曲線,一，=l（a>0,b>0）與橢圓9+9=1的共同焦點，若點P是兩曲線的

一個交點，且APFiF2為等腰三角形，則該雙曲線的離心率為.

—X2+4%+3,%>0

居—14x40,g（%）=/㈤+2匕若函數g（%）恰有兩個不同的

X<-1

{X

零點，則實數k的取值范圍為.

三、解答題（本大題共5小題，共76.0分）

17.如圖，P4_L平面ABCD矩形的邊長48=1,BC=2,E為BC的

中點.

(1)證明：PE1DE.

（2）如果異面直線4E與PD所成的角的大小為會求P4的長及三棱錐4-PED

的體積.

18.已知4B是海面上位于東西方向相距20海里的兩個觀測點，現位于4點北偏東30。，B點北偏西

60。的。點有一艘輪船發出求救信號，位于B點南偏西60。且與B點相距20%海里的C點的救援船

立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達。點需要多長時間？

19.表是某通信公司推出的幾種移動電話套餐收費方案：

超過免費時間的通話

方案代號月租費（元）免費時間（分）

費（元/分）

130480.60

2981700.60

31683300.50

若小王每月通話時間為300分左右，請問選擇哪種方案最省錢?

20.已知橢圓G：捻+，=1(￡1>6>0)的離心率為爭圓C2：/+y2=2,若存在直線]與橢圓Q和

C2各有且只有一個交點，則稱直線，為橢圓G和C2的公切線.

(1)若橢圓G和C2的公切線存在，求橢圓C1的焦距取值范圍；

(2)若橢圓G和的公切線存在，且公切線與橢圓C1和的交點分別為4B,求|AB|的取值范圍.

21.設｛冊｝是等比數列，｛%｝是遞增的等差數列，｛%｝的前n項和為又(neN*),%=2,瓦=1,

S4=Q]+。39。2=b1+63?

(1)求｛an｝與｛bn｝的通項公式；

n+1

(2)設4=an+bn,數列｛〃｝的前n項和為〃(nGN*),求滿足Tn>2+1成立的n的最小值.

他力”點為奇數

(3)對任意的正整數n,設4=卜3%-2)an，n為偶數，求數列｛0｝的前2n項和.

參考答案及解析

1.答案：A

解析：試題分析：直線解國需&可化為船7；-,譚北翦=岫，

解得歌唱《一曲，”商;，

故圓常產樸城=工與直線竄=廄幫公沒有公共點的充要條件為裝唱《-褥，,展，

而充分不必要條件應為旅.腐的真子集，

綜合各個選項可得A符合題意.

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

點評：本題考查充分不必要條件的判斷，涉及直線和圓的位置關系，屬基礎題.

2.答案：A

解析：試題分析：設岡，因為國，

所以叵］的最小值為區；由區的解集為空集知0.

故選B.

考點：絕對值不等式的性質.

3.答案：A

解析：解：由％2+y2-4%+2y-4=0,整理得：(%-2)2+(%+1)2=9,

?,?圓％2+丫2_4%+2y-4=0的圓心為(2,-1),半徑為3,

由圓心(2,-1)到y+4=0的距離為d=3,

故y+4=0與圓/+丫2—4%+2y-4=0相切，

故選：A.

將圓％2+y2-4%+2y-4=0轉化成(％-2)2+(x+I)2=9,求得圓心及半徑，由圓心(2,-1)到

y+4=0的距離為d=3,則y+4=0與圓％2+y2—4%4-2y—4=0相切.

本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題.

4.答案：B

解析：解：拋物線/=4y,即y=；/,求導數可得y，=",所以在點(a,；。2)處的切線方程為：

y-*=|a(x-a),

令%=0,得y=-[a2；令y=0,得x=；a.

所以切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積5="|)|乂|一32|=%.?.(1=2,6(2,1),

\PF\=1+1=2.

故選艮

確定點(a,[a2)處的切線方程，進而可求切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積，即可求得a的值，利

用拋物線的定義，可得結論.

本題考查導數的幾何意義，考查三角形面積的計算，確定切線方程是關鍵.

5.答案：(—co.-2]U(-1,4-00)

解析：解：M={x\x2>4}=(x\x>2或x<-2},P={x|言<0]={%|-1<%<3],

???MUP={x\x<—2或%>—1]=(-8.-2]U(-1,+8).

故答案為：(-0°.—2]U(-1,4-00).

利用不等式的性質和并集定義求解.

本題考查并集的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意不等式性質的合理運用.

6.答案:-2016

解析：解：由題意可得仁g|=16-24=-8,招=10X16-14X12=-8,

同理得匕-4；；身=一8,

從2到2016共1008個偶數，每4個偶數為一組，共252組，得所求的和為(-8)x252=-2016.

故答案為:-2016.

利用定義，可得從2到2016共1008個偶數，每4個偶數為一組，共252組，即可得所求的和.

本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎.

7.答案：2

解析：試題分析：區，因為區是實數，所以S.

考點：復數的概念和運算.

8.答案：20

解析：解：???8=60。，AB=2,AC=273,

二根據余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosB,

即12=4+BC2-2BC,解得BC=4,

則44BC的面積S=^AB-BC-sinB=2>/3.

故答案為：2g

9.答案:尸⑺={%：。<。

解析：解：當XN0時，/(X)=X2,其反函數是/T(%)=?.

當％<0時，f(x)=-X2,其反函數是/T(%)=-V^X-

綜上所述，函數f(x)=X|X|的反函數是fT(X)=[序J0.

故答案是:尸跳={%：。<。.

需要對尤的取值范圍進行分類討論，然后根據反函數的定義作出解答.

本題考查了反函數的求法，屬于基礎題.

10.答案:T-2

畦唱卷，所以數列如朋蜀是

解析：試題分析：因為現四=覲”翦，所以喊4出=霞限開儂，即

叫TiJl

首項為3,公比為3的等比數列，所以%ja=瞥,即時=費一工。

考點：數列通項公式的求法；等比數列的通項公式；等比數列的定義。

點評：本題通過配湊系數構造新數列，使新數列為等比數列。通過求新數列的通項公式，總而求出

要求的數列的通項公式。若已知%也潛％觸4源點嗨的形式，通常構造數列的方法為

b

'%4Mk瞿(鯉津混&*其中愿=?，則恐時詈帶，即數列為等比數列。

孽T奴IRS".

11.答案：1

解析：解：n^oo[|+i+i+--(i)n]=-^j=1.

2

故答案為：1.

直接利用數列的極限的運算法則化簡區間即可.

本題考查數列的極限的運算法則的應用，無窮遞縮等比數列的極限的求法，考查計算能力.

12.答案:85；1.6

解析：解：由莖葉圖可知，去掉一個最高分93和一個最低分79后，所剩數據為84,84,86,84,87.

平均數為80+/4+4+4+6+7)=85；

方差為s2=i[3x(84-85)2+(86-85)2+(87-85)2]=1.6.

故答案為：85；1.6.

由莖葉圖結合已知得到5個數據，然后代入平均數公式與方差公式得答案.

本題考查了莖葉圖，考查了學生讀取圖表的能力，考查了計算能力，是基礎的計算題.

13.答案：g

解析：解：將4個不同的球隨機地放入3個盒子中，每個球都有3種放法，共有34=81種不同的放法；

每個盒子中至少有一個球的不同放法是金?用=36種；

所求的概率為P==/

故答案為：g.

計算將4個不同的球隨機地放入3個盒子中共有34種不同的放法，每個盒子中至少有一個球的不同放

法是盤?用種，求出對應的概率值.

本題考查了古典概型的概率計算問題，是基礎題目.

14.答案:[-5,|]

解析：解：以。為原點，ZM為x軸的正半軸，DC為y軸的正半軸建立坐標系，則4(1,0),B(l,2),C(0,2),

所以8D的直線方程為y=2x,

設P(x,2x),%G[0,1],所以麗=(x—l,2x—2),'PA=(l-x,-2x).PC=(-%,2-2x).

則可+PC=(l-2x,2-4x),

BP■(PA+PC^)=-5(2x2-3%+1)=-10(x-1)2+1,因為x6[0,1],

所以前?(對+正)G[-5,f].

o

故答案為：[—5,，

以。為原點，D4為x軸的正半軸，DC為y軸的正半軸建立坐標系，得到所需向量的坐標，然后進行向

量的坐標運算，求范圍.

本題考查了向量的加減運算、數量積的運算以及與二次函數相結合的最值求法，屬于中檔題.

15.答案:2

解析：解：不妨設P是兩曲線在第一象限的交點，P(x,y)

由題意，橢圓?+?=1的焦點為(±2,0)

???雙曲線線1-4=l(a>0,b>0),與橢圓式+”=1的共同焦點

Q2b2、，795

???+爐=4①

???點P是兩曲線的一個交點，且APF1F2為等腰三角形

二IPFJ=\FrF2\=4

?.?橢圓的左準線方程為：x=-^=~l

4_2

3

???%=一

2

???P在橢圓［+q=1上

95

215

z一

:.)v=4

???P在雙曲線1一1=1上

a2b2

9is

???AA】②

由①②得：b2=3,a2—1,

c-2,

Ae=-=2.

a

故答案為：2.

先利用雙曲線雙曲線捻~^=l(a>0,b>0)與橢圓9+9=1的共同焦點，求得a?+/=4,再利

用點P是兩曲線的一個交點，J1.APF/2為等腰三角形，求得交點坐標，從而可求雙曲線的標準方程，

進而可求雙曲線的離心率.

本題以橢圓為載體，考查橢圓與雙曲線的幾何性質，考查橢圓的定義的運用，屬于中檔題.

16.答案：{k|k=%或k=0,或一：<k<一|}

解析：解：畫出函數y=/(x)的圖象，如下圖:

函數g(x)=f(x)+2k恰有兩個不同的零點，即y=f(x)與y=-2k恰有兩個不同的交點即可，

根據圖象可知：-2k=—1或一2k=0或3<—2k<7,

???=p或k=0,或一：<k<一|

故答案為：(k\k=^,或k=0,或—(</￡<一|}.

先畫出函數的圖象，然后根據函數g(x)=/(x)+2/d合有兩個不同的零點，即y=/(x)與y=-2k恰

有兩個不同的交點即可，

結合圖象可求出k的取值范圍.

本題主要考查了函數零點的判定定理，以及分段函數圖象的畫法,同時考查了轉化的思想，屬于基

礎題.

17.答案：(1)證明：連接4E,由4B=BE=1,得AE=應,

同理可得DE=A/L!)lljAE2+DE2=4=AD2,即DEJ.AE,

???PA_L平面4BCD,???PAIDE,

又P4n4E=4,DE1_平面PAE,

PE1DE；

(2)解：取P4的中點M,4。的中點N,連接MC,NC,MN,AC,B

???NC//AE,MN〃P。，4MNC的大小等于異面直線4E與PD所成的角(或其補角)的大小,

即NMNC=?或號，由圖可知4MNC=y

設P4=X,則NC=V2,MN>MC=

1+1+2-5-二

由COSNMNC=cos與=44解得x=2,即24=2.

2J1+小四

VA-PED=VP-DAE=^xixV2xV2x2=1.

解析：(1)由已知解三角形證明DE14E,再由P41平面ABC。，得PA_L0E,結合線面垂直的判定

可得DE1平面PAE,從而證得答案；

(2)取P4的中點M,4。的中點N,連接MC,NC,MN,AC,由已知求得NMNC,設PA=X,解三角

形求得的然后利用等積法求三棱錐A-PED的體積.

本題考查空間中直線與直線位置關系的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用等積法求

多面體的體積，是中檔題.

18.答案：解：由題意可知4B=20海里，8C=20百海里，/-DAB=

60。,/X.

/-DBA=Z.ABC=30°,//

BD=AB-sin60°=10遮海里，乙CBD=60°,,/

在△BCD中，由余弦定理得：/

CD=7300+1200-2-10V3?20V3-cos60°=30海里，///

???該救援船到達。點需要時間為共=1小時..C

解析：作出圖形，找出已知條件，利用余弦定理求出CD即可得出答案.

本題考查了解三角形的應用，作出示意圖得出已知條件是關鍵，屬于基礎題.

19.答案:解：方案一：根據表格數據，費用f(#)=30+(%-48)06(x248)

小王每月的通話費為：30+252x0.6=181.2元；

方案二：根據表格數據，費用“x)=98+0-170)06(x2170)

小王每月的通話費為：98+130x0.6=176元；

方案三：根據表格數據,費用/(x)=168+Q-330)05(x2330)

小王每月的通話費為：168元；

所以選擇方案三最省錢.

解析：根據表格和每月通話時間為300分，建立分段函數關系式，求解即可.

本題考查了分段函數的關系式，計算其值域的問題.比較值域的大小來選取方案.屬于基礎題.

20.答案:解：(1)設橢圓G的焦距為2c,則￡=更，

a2

從而。2=(。2,b2=1c2,

方程為"+￥=1,

4c2c2

若公切線/的斜率不存在，則，的方程為x=±&,從而a=VLc=B，即有2c=逐，

若1的斜率存在，則/的方程為y=kx+m,

由，與圓C2相切，得到近=W嗎，即有加2=2+21,

將/的方程代入G的方程得到：3/+12（依+m）2=4c2,

即(121+3)x2+24kmx+12m2-4c2=0,

22

相切得到^=242k2TH2_4(121+3)(12m-4c)=0,

B|J2cG(V6.2V6],

綜上可得2cG[V6,2A/6];

（2）若公切線的斜率不存在，則/：x=±VI，|AB|=0；

若公切線的斜率存在，設八y=kx+m,

由（1）得/=一西1，

22

將，代入。2可得(I+l)x+2kmx+m—2=0,xB=......—,

即有|4B|的取值范圍為[0,乎].

解析：（1）設橢圓G的焦距為2c,運用離心率公式和a,b,c的關系，討論公切線，的斜率不存在，求

得2c=①；若/的斜率存在，則/的方程為y=fcc+m,運用直線和圓相切的條件：d=r,以及直

線和橢圓相切的條件：判別式為0,化簡整理可得焦距的范圍；

（2）若公切線的斜率不存在，則，：x=±V2?=0；若公切線的斜率存在，設八y=kx+m,

代入圓的方程和橢圓方程，求得A,B的橫坐標，借助弦長公式，再由基本不等式即可得到|4B|的范

圍.

本題考查直線和橢圓以及直線和圓的位置關系，主要考查相切的條件，考查運算能力，屬于中檔題.

21