人教版數學中考綜合模擬檢測試題

學校班級姓名成績________

一.選擇題

1.-7的絕對值為（）

11

A.7B.-C.---D.-7

77

2.下列計算正確的是（)

A..a+,a2=a3B.a6b-?a2=a3bC.(a-b)2=a2-b2D.(-ab3)2=a2b6

3.如圖是某班甲、乙、丙三位同學最近5次數學成績及其所在班級相應平均分的折線統計圖，則下列判斷錯

誤的是（）.

A.甲的數學成績高于班級平均分，且成績比較穩定

B.乙的數學成績在班級平均分附近波動，且比丙好

C.丙的數學成績低于班級平均分，但成績逐次提高

D.就甲、乙、丙三個人而言，乙數學成績最不穩

4.如圖，四邊形ABCD是。。的內接四邊形，的半徑為3,ZC=140°,則弧BD的長為（）

A.—nB.—nC.nD.2n

33

5.已知二次函數y=2（x-3）2+1.下列說法：①其圖象的開口向下；②其圖象的對稱軸為直線x=-3；③其

圖象頂點坐標為（3,-1）；④當xV3時，y隨x的增大而減小.則其中說法正確的有【】

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.如圖，給正五邊形的頂點依次編號為1,2,3,4,5.若從某一頂點開始，沿正五邊形的邊順時針行走，

頂點編號的數字是幾，就走幾個邊長，則稱這種走法為一次“移位”.如：小宇在編號為3的頂點時，他

應走3個邊長，即從3-4->5-1為第一次“移位”，這時他到達編號為1的頂點；然后從1-2為第二次“移

位”.若小宇從編號為2的頂點開始，第20次“移位”后，他所處頂點的編號是（）

A.1B.2C.3D.4

二.填空題

7.若代數式1+」二在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍為一.

X-1

8.已知a^b是一元二次方程X2+2X-4=0的兩個根，則a+b-ab=___.

9.當直線y=（2—2Z）x+A:-3經過第二、三、四象限時，則k的取值范圍是.

10.甲、乙兩人以相同路線前往離學校12千米的地方參加植樹活動.圖中1中、1%分別表示甲、乙兩人前往

目的地所行駛的路程S（千米）隨時間t（分）變化的函數圖象，則每分鐘乙比甲多行駛千米.

S尸）］

小乙］甲

11.如圖，P是拋物線y=x2-x-4在第四象限的一點，過點P分別向x軸和y軸作垂線，垂足分別為A、B,

則四邊形OAPB周長的最大值為.

12.如圖，反比例函數產8（x>0）的圖象與直線AB交于點A（2,3）,直線AB與x軸交于點8（4,0）,

x

過點B作x軸的垂線BC,交反比例函數的圖象于點C,在平面內存在點。，使得以A,B,C,D四點為頂

點的四邊形為平行四邊形，則點。的坐標是.

三.解答題

13.計算：|一1+2020°-亞-（：），

14.如圖，在R3ABC中，ZACB=90°,分別以AC、8c為底邊，向"BC外部作等腰“OC和ACEB,點M

為A8中點，連接MD、ME分別與AC、BC交于點F和點G.

求證四邊形M尸CG是矩形.

x-2>3（x-2）

15.解不等式組：bx-15x+l，并將解集在數軸上表示.

-----1<-----

I32

16.如圖，在四邊形ABDC中，AB=AC,BD=DC,BE〃DC,請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖.

（1）在圖1中，畫一個以AB為邊的直角三角形；

（2）在圖2中，畫一個菱形，要求其中一邊在BE上.

17.一只不透明的袋子中裝有4個球，其中兩個紅球，一個黃球、一個白球，這些球除顏色外都相同.

（1）攪勻后從中任意摸出I個球，恰好是紅球的概率為

(2)攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球，用列表法或

樹形圖的方法，求兩次都是紅球的概率.

18.如圖，一次函數)=%武+3的圖象與坐標軸相交于點A(-2,0)和點B,與反比例函數y=4(JC>0)

(2)若點P是反比例函數圖象上的一點，連接CP并延長，交x軸正半軸于點。，若PD：CP=1；2時，

求ACOP的面積.

19.為響應“學雷鋒、樹新風、做文明中學生”號召，某校開展了志愿者服務活動，活動項目有“戒毒宣傳”、“文

明交通崗”、“關愛老人”、“義務植樹”、“社區服務''等五項，活動期間，隨機抽取了部分學生對志愿者服務

情況進行調查，結果發現，被調查的每名學生都參與了活動，最少的參與了1項，最多的參與了5項，根據

調查結果繪制了如圖所示不完整的折線統計圖和扇形統計圖.

被抽樣學生參與志愿者活動情況折嫂統計圖被抽樣學生參與志愿者活動情況扇形統計圖

(1)被隨機抽取的學生共有多少名？

(2)在扇形統計圖中，求活動數為3項學生所對應的扇形圓心角的度數，并補全折線統計圖；

(3)該校共有學生2000人，估計其中參與了4項或5項活動的學生共有多少人？

20.小亮將筆記本電腦水平放置在桌子上，顯示屏OA與底板OB所在水平線的夾角為120。時，感覺最舒適

(如圖1),側面示意圖為圖2；使用時為了散熱，她在底板下面墊入散熱架BC。'后，電腦轉到BO7V位置

(如圖3),側面示意圖為圖4.已知OA=OB=28cm,OZC_LOB于點C,O'C=14cm.

(參考數據：0=1.414,V3?1.732-指*2.236)

(1)求>CBO'的度數.

（2）顯示屏的頂部A'比原來升高了多少cm?（結果精確到0.1cm）

Ml圖2

（3）如圖4,墊入散熱架后，要使顯示屏。火與水平線的夾角仍保持120。，則顯示屏。火應繞點按順

時針方向旋轉多少度？（不寫過程，只寫結果）

21.如圖，AB是。O的直徑，C,D在。。上兩點，連接AD,CD.

（1）如圖1,點P是AC延長線上一點，ZAPB-ZADC,求證：BP與。O相切；

（2）如圖2,點G在CD上，OF±AC于點F,連接AG并延長交。O于點H,若CD為。O的直徑，當NCGB

=ZHGB,BG=2OF=6時，求。O半徑的長.

22.某店因為經營不善欠下38000元的無息貸款的債務，想轉行經營服裝專賣店又缺少資金.“中國夢想秀”

欄目組決定借給該店30000元資金，并約定利用經營的利潤償還債務（所有債務均不計利息）已知該店代

理的某品牌服裝的進價為每件40元，該品牌服裝日的售量），（件）與銷售價x（元/件）之間的關系可用圖

中的一條折線（實線）來表示.

（1）求日銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數關系式；

（2）當銷售價為多少元時，該店的日銷售利潤最大；

（3）該店每天支付工資和其它費用共250元，該店能否在一年內還清所有債務.

23.如圖，在△4BC中，AB^AC,AOLBC于點O,OELAB于點E,以點。為圓心，OE為半徑作半圓,

交A。于點尺

（1）求證：AC是。0切線：

（2）若點尸是0A的中點，0E=3,求圖中陰影部分的面積；

（3）在（2）的條件下，點P是BC邊上的動點，當PE+PF取最小值時，直接寫出的長.

24.我們定義：有一組鄰邊相等且有一組對角互補的凸四邊形叫做等補四邊形

（1）概念理解

①根據上述定義舉一個等補四邊形的例子：

②如圖1,四邊形ABCD中，對角線8。平分NA2C,ZA+ZC=180°,求證：四邊形ABC。等補四邊形

（2）性質探究：

③小明在探究時發現，由于等補四邊形有一組對角互補，可得等補四邊形四個頂點共圓，如圖2,等補四

邊形ABCQ內接于。。，AB=AD,貝!Z.ACB（填“>”“V”或"="）；

④若將兩條相等的鄰邊叫做等補四邊形的“等邊”，等邊所夾的角叫做“等邊角”，它所對的角叫做“等

邊補角”連接它們頂點的對角線叫做“等補對角線”，請用語言表述③中結論：

（3）問題解決

在等補四邊形A8CQ中，AB=BC=2,等邊角/ABC=120°,等補對角線與等邊垂直，求CC的長.

答案與解析

一.選擇題

1.-7的絕對值為（）

1

A.7B.-C.----D.-7

77

【答案】A

【解析】

試題分析：-7的絕對值等于7,故選A.

考點：絕對值.

2.下列計算正確的是（）

A.a+a2=a3B.a6b-J-a2=a3bC.(a-b)2=a2-b2D.(-ab3)2=a2bft

【答案】D

【解析】

【分析】

根據同底數累積的乘方、塞的乘方、除法法則和完全平方差公式進行計算.

【詳解】A選項：a和a?不能直接相加，故是錯誤的;

B選項：a'b+a'a'—?b=a?b,故是錯誤的;

C選項：（a-6%?—2ab+bL故是錯誤的；

D選項：（-ab￥=a2b計算正確，故是正確的.

故選D.

【點睛】主要考查了完全平方差公式和同底數基積的乘方、幕的乘方、除法法則，正確記憶公式和運算法

則是解題關鍵.

3.如圖是某班甲、乙、丙三位同學最近5次數學成績及其所在班級相應平均分的折線統計圖，則下列判斷錯

誤的是（）.

A.甲的數學成績高于班級平均分，且成績比較穩定

B.乙的數學成績在班級平均分附近波動，且比丙好

C.丙的數學成績低于班級平均分，但成績逐次提高

D.就甲、乙、丙三個人而言，乙的數學成績最不穩

【答案】D

【解析】

分析】

折線圖是用一個單位表示一定的數量，根據數量的多少描出各點，然后把各點用線段依次連接起來.以折

線的上升或下降來表示統計數量增減變化.

【詳解】解：A.甲的數學成績高于班級平均分，且成績比較穩定，正確；

B.乙的數學成績在班級平均分附近波動，且比丙好，正確；

C.丙的數學成績低于班級平均分，但成績逐次提高，正確

D.就甲、乙、丙三個人而言，丙的數學成績最不穩，故D錯誤.

故選D.

【點睛】本題是折線統計圖，要通過坐標軸以及圖例等讀懂本圖，根據圖中所示的數量解決問題.

A.—reB.—nC.nD.2n

33

【答案】B

【解析】

【分析】

連接OB、0C,根據圓內接四邊形的性質求出NA的度數，根據圓周角定理求出NBOD的度數，利用弧長

公式計算即可.

【詳解】解：連接OB、0C,

四邊形ABCD是。0的內接四邊形，

ZA+ZC=180°,

AZA=180°-ZC=40°,

由圓周角定理得，ZBOD=2ZA=80°,

■，八“80?萬x34

/.弧BD的長=.…=-

1803

故選:B.

【點睛】本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理以及弧長的計算，掌握圓內接四邊形的對角互補、

弧長公式是解題的關鍵.

5.已知二次函數y=2（x-3）2+1.下列說法：①其圖象的開口向下；②其圖象的對稱軸為直線x=-3；③其

圖象頂點坐標為（3,-1）；④當xV3時，y隨x的增大而減小.則其中說法正確的有【】

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【解析】

結合二次函數解析式，根據函數的性質對各小題分析判斷解答即可：

①..時〉。，.?.圖象的開口向上，故本說法錯誤；

②圖象的對稱軸為直線x=3,故本說法錯誤；

③其圖象頂點坐標為（3,1）,故本說法錯誤；

④當xV3時，y隨x的增大而減小，故本說法正確.

綜上所述，說法正確的有④共1個.故選A.

6.如圖，給正五邊形的頂點依次編號為1,2,3,4,5.若從某一頂點開始，沿正五邊形的邊順時針行走，

頂點編號的數字是幾，就走幾個邊長，則稱這種走法為一次“移位”.如：小宇在編號為3的頂點時，他

應走3個邊長，即從3-4-5-1為第一次“移位”，這時他到達編號為1的頂點；然后從1-2為第二次“移

位”.若小宇從編號為2的頂點開始，第20次“移位”后，他所處頂點的編號是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

根據“移位”的特點確定出前幾次的移位情況，從而找出規律，然后解答即可.

【詳解】解：根據題意，小宇從編號為2的頂點開始，第1次移位到點4,

第2次移位到達點3,

第3次移位到達點1.

第4次移位到達點2,

???,

依此類推，4次移位后回到出發點，

20+4=5.

所以第20次移位為第5個循環組的第4次移位，到達點2.

故選:B.

【點睛】本題對圖形變化規律的考查，根據“移位”的定義，找出每4次移位為一個循環組進行循環是解

題的關鍵.

二.填空題

7.若代數式1+」二在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍為一.

x-\

【答案】#1

【解析】

【分析】

根據分式有意義的條件解答即可.

【詳解】?.?1+一1在實數范圍內有意義，

X-1

Ax-1#),

解得:X*.

故答案為存1

【點睛】本題考查分式有意義的條件，耍使分式有意義，分母不為0.

8.已知a、b是一元二次方程，+2x-4=0的兩個根，則a+b-ab=.

【答案】2

【解析】

【分析】

根據一元二次方程的根與系數的關系求得a+b、ab的值，然后將其代入所求的代數式并求值.

【詳解】解：：a,b是一元二次方程x2+2x-4=0的兩個根，

工由韋達定理,得a+b=-2,ab=-4,

a+b-ab=-2+4=2.

故答案為：2.

【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)根與系數的關系：若方程的兩根分別為治，x2,

,bc

則X]+X2=，Xi*X=—.

a2a

9.當直線y=(2—2Z)x+Z—3經過第二、三、四象限時，則上的取值范圍是.

【答案】1<%<3.

【解析】

【分析】

根據一次函數丫=依+以k<(),匕<0時圖象經過第二、三、四象限，可得2—2人<0,%—3<0,即可

求解；

詳解】y=(2-2Z)x+攵-3經過第二、三、四象限，

2-2k<0>k—3<0,

>1,k<3,

：.\<k<3,

故答案為1<Z<3.

【點睛】本題考查一次函數圖象與系數的關系；掌握一次函數y=^+),k與力對函數圖象的影響是解題

的關鍵.

10.甲、乙兩人以相同路線前往離學校12千米的地方參加植樹活動.圖中1單、分別表示甲、乙兩人前往

目的地所行駛的路程s(千米)隨時間t(分)變化的函數圖象，則每分鐘乙比甲多行駛千米.

【解析】

【分析】

根據函數的圖形可以得到甲用了30分鐘行駛了12千米，乙用12分鐘行駛了12千米，分別算出速度即可求

得結果：

2

【詳解】???甲每分鐘行駛12+30=((千米)，乙每分鐘行駛12X2=1(千米)，

23

，每分鐘乙比甲多行駛1一^=二(千米)

3

則每分鐘乙比甲多行駛二千米

故答案為日3

11.如圖，P是拋物線y=x2-x-4在第四象限的一點，過點P分別向x軸和y軸作垂線，垂足分別為A、B,

則四邊形OAPB周長的最大值為.

\L/.

【答案】10

【解析】

【分析】

設P(x,X2-X-4)根據矩形的周長公式得到C=-2(X-1)2+10.根據二次函數的性質來求最值即可.

【詳解】解：設P(x,X2-X-4),

四邊形OAPB周長=2PA+2OA=-2(x2-x-4)+2x=-2x2+4x+8=-2(x-1)2+10,

當x=l時，四邊形OAPB周長有最大值，最大值為10.

故答案為10.

【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式.也考查了二

次函數的性質.

12.如圖，反比例函數產勺(x>0)的圖象與直線AB交于點A(2,3),直線AB與x軸交于點8(4,0),

x

過點8作x軸的垂線BC,交反比例函數的圖象于點C,在平面內存在點。，使得以A,B,C,。四點為頂

點的四邊形為平行四邊形，則點D的坐標是______.

393

【答案】(2,-)或(2,-)或(6,-；)

【解析】

【分析】

先將A點的坐標代入反比例函數求得k的值，然后將x=4代入反比例函數解析式求得相應的y的值，即得

點C的坐標；然后結合圖象分類討論以A、B、C、D為頂點的平行四邊形，如圖所示，找出滿足題意的D

的坐標即可.

k

【詳解】解：把點A(2,3)代入y=-(x>0)得：k=xy=6,

x

故該反比例函數解析式為：y=9.

X

???點B(4,0),BC”軸，

/.把x=4代入反比例函數y=,得

X

3

y=-.

2

3

則C(4,一).

2

①如圖，當四邊形ACBD為平行四邊形時，AD〃BC且AD=BC.

、3

VA(2,3)、B(4,0)、C(4,-),

2

3

**.點D的橫坐標為2,yA-yD=yc-yB?故yu=—.

3

所以D(2,一).

2

②如圖，當四邊形ABCD，為平行四邊形時，AD，〃CB且AD』CB.

3

VA(2,3)、B(4,0)、C(4,-),

2

_9

???點D的橫坐標為2,yD-yA=yc-yB，故y^=—.

-9

所以D'(2,—).

2

③如圖，當四邊形ABD〃C為平行四邊形時，AC=BD〃且AC〃BD〃.

、3

VA(2,3)、B(4,0)、C(4,-),

2

/.XD-XB=XC-XAB|JXD”-4=4?2,故xD-=6.

nn3MH3

yD，-yB=yc-yA即yD-0=y3,故yD=-彳.

3

所以D〃(6,?一).

2

393

綜上所述，符合條件的點D的坐標是：(2,()或(2,不)或(6,-=).

222

393

故答案為(2,不)或(2,一)或(6,?；).

222

【點睛】此題考查了反比例函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法確定函數解析式，平行四邊形的判定

與性質，解答本題時，采用了“數形結合”和“分類討論”的數學思想.

三.解答題

13.計算：|1-1+2020°-^7-(})

【答案】-204

【解析】

【分析】

原式利用絕對值的代數意義，零指數累、負整數指數事法則，以及二次根式性質計算即可求出值.

【詳解】解：原式=6-1+1-36-4

=-273-4.

【點睛】此題考查了實數的運算，零指數基、負整數指數幕，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

14.如圖，在RSABC中，ZACB=90°,分別以AC、BC為底邊，向AABC外部作等腰△ADC和ACEB,點M

為AB中點，連接MD、ME分別與AC、BC交于點尸和點G.

求證四邊形MFCG是矩形.

D

【答案】詳見解析

【解析】

【分析】

根據RSABC,得出點M在線段AC的垂直平分線上.然后在等腰AAOC中，AC為底邊，得到垂直平

分AC.即可解答

【詳解】證明：連接CM,

；RSABC中，NACB=90。，MAB中點，

CM=AM=BM=—AB.

2

...點M在線段AC的垂直平分線上.

;在等腰AAOC中，AC為底邊，

：.AD=CD.

...點D在線段AC的垂直平分線上.

垂直平分4c.

ZMFC=90°.

同理：ZMGC=90°.

四邊形MFCG是矩形.

【點睛】此題考查了直角三角形的性質，等腰三角形的性質和矩形的判定，解題關鍵在于利用好

特殊三角形的性質

x-2>3（x-2）

15.解不等式組：bx-15x+l.并將解集在數軸上表示.

-----1<-----

[32

【答案】-l〈xW2

【解析】

【分析】

根據解一元一次不等式組的步驟，大小小大中間找，可得答案.

x-2N3（x-2）①

【詳解】'2x-l,5x+l,

-----1<-----<

[32

由①得，x<2,

由②得，x>-l，

所以，不等式組的解集為：-1<XW2,

在數軸上表示為：

I?,1-JI---------------

-3-2-101234V

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知實心圓點與空心圓點的區別是解答此題的關鍵.

16.如圖，在四邊形ABDC中，AB=AC,BD=DC,BE〃DC,請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖.

(1)在圖1中，畫一個以AB為邊的直角三角形；

(2)在圖2中，畫一個菱形，要求其中一邊在BE上.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)在圖1中，畫一個以AB為邊的直角三角形即可；

(2)在圖2中，畫一個菱形，要求其中一邊在BE上即可.

【詳解】解：(1)如圖，RJAOB即為所求；

（2）如圖，菱形BFCD即為所求.

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖、菱形的判定，解決本題的關鍵是掌握菱形的判定方法.

17.一只不透明的袋子中裝有4個球，其中兩個紅球，一個黃球、一個白球，這些球除顏色外都相同.

（1）攪勻后從中任意摸出1個球，恰好是紅球的概率為

（2）攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球，用列表法或

樹形圖的方法，求兩次都是紅球的概率.

【答案】（1）；;（2）

【解析】

【分析】

（1）直接利用概率公式計算可得；

（2）畫樹狀圖列出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式計算可得.

【詳解】解：（1）攪勻后從中任意摸出1個球，恰好是紅球的概率為|=g.

（2）設紅球為紅1和紅2,列表如下：

-第-次

第二廣紅1紅2黃藍

紅1（紅1,紅D（紅2,紅1）（黃，紅D（藍,紅D

紅2（紅1,紅2）（紅2,紅2）（黃，紅2）（藍，紅2）

黃（紅1,黃）（紅2,黃）（黃，黃）（藍,黃）

籃《紅1,藍）（紅2,藍）（黃,S）（藍，藍）

由上表知共有16種等可能出現的結果，其中兩次摸到都是紅球的有4種結果，所以兩次都是紅球的概率為

\_

41

【點睛】考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n,再從中選出符合事件

A或B的結果數目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.

18.如圖，一次函數）=切+3的圖象與坐標軸相交于點A（-2,0）和點B,與反比例函數），=勺（x>0）

x

相交于點C（2,m）.

（2）若點P是反比例函數圖象上的一點，連接CP并延長，交x軸正半軸于點。，若P￡>：CP=1：2時,

求ACOP的面積.

3

【答案】（I）y,12；（2）5AC0P=16.

【解析】

【分析】

（1）先根據點A求出k“再根據一次函數解析式求出m值，利用待定系數法求反比例函數的解析式；

（2）先根據三角形相似求得P點的坐標，然后利用三角形的面積差求解.SACOP=SACOD-SAPOD.

【詳解】（1）?.?一次函數的圖象與坐標軸相交于點A（-2,0）,

-2舟+3=0,

3

解得公=：7，

2

3

一次函數為：yt=—x+3,

3

?.?一次函數》=,x+3的圖象經過點C（2,，〃）.

3

.*./?=—x2+3=6,

2

???C點坐標為（2,6）,

???反比例函數（x>0）經過點C,

x

?,?％2=2X6=12,

3

故答案為7,12.

2

（2）作CE_L。。于E,PFLOD^F,

J.CE//PF,

：.^PFD^/\CED,

.PFPD

"■CE-CD'

；PD：CP=1：2,C點坐標為（2,6）,

：.PD：CD=1：3,CE=6,

?_P_F__1

"T-3

：.PF=2,

.??P點的縱坐標為2,

把y=2代入y=—求得x=6,

2x

：.P(6,2),

設直線CD的解析式為y=ax+b,

2。+b=6

把C(2,6),P(6,2)代入得＜

6a+b-2

a--I

解得《

b=8

直線CD的解析式為y=-x+8,

令y=0,則x=8,

：.D(8,0),

，OD=14,

S^COP—S^COD-S^POD—~x8x6--x8x2=16.

【點睛】主要考查了反比例函數與一次函數的交點.熟練掌握用待定系數法確定函數的解析式是解題的關

鍵.

19.為響應“學雷鋒、樹新風、做文明中學生”號召，某校開展了志愿者服務活動，活動項目有“戒毒宣傳”、”文

明交通崗”、“關愛老人”、"義務植樹”、"社區服務''等五項，活動期間，隨機抽取了部分學生對志愿者服務

情況進行調查，結果發現，被調查的每名學生都參與了活動，最少的參與了1項，最多的參與了5項，根據

調查結果繪制了如圖所示不完整的折線統計圖和扇形統計圖.

期樣學生參與志愿者活動情況折送統計圖被抽樣學生參與志愿者活動情況扇形統計圖

（1）被隨機抽取的學生共有多少名？

（2）在扇形統計圖中，求活動數為3項的學生所對應的扇形圓心角的度數，并補全折線統計圖；

（3）該校共有學生2000人，估計其中參與了4項或5項活動的學生共有多少人？

【答案】（1）被隨機抽取的學生共有50人；（2）活動數為3項的學生所對應的扇形圓心角為72。，（3）

參與了4項或5項活動的學生共有720人.

【解析】

分析：（1）利用活動數為2項的學生的數量以及百分比，即可得到被隨機抽取的學生數；

（2）利用活動數為3項的學生數，即可得到對應的扇形圓心角的度數，利用活動數為5項的學生數，即可

補全折線統計圖；

（3）利用參與了4項或5項活動的學生所占的百分比，即可得到全校參與了4項或5項活動的學生總數.

詳解：（1）被隨機抽取的學生共有14-28%=50（人）；

（2）活動數為3項的學生所對應的扇形圓心角=義'360。=72。，

活動數為5項學生為：50-8-14-10-12=6,

如圖所示：

12+6

（3）參與了4項或5項活動的學生共有一^-x2000=720（人）.

點睛：本題主要考查折線統計圖與扇形統計圖及概率公式，根據折線統計圖和扇形統計圖得出解題所需的

數據是解題的關鍵.

20.小亮將筆記本電腦水平放置在桌子上，顯示屏OA與底板OB所在水平線的夾角為120。時，感覺最舒適

(如圖1),側面示意圖為圖2；使用時為了散熱，她在底板下面墊入散熱架BC。'后，電腦轉到BOA，位置

(如圖3),側面示意圖為圖4.已知OA=OB=28cm,CTC_LOB于點C,O'C=14cm.

（參考數據：匹=1.414,V3?1.732-2.236）

(1)求NCBCT的度數.

(2)顯示屏的頂部A，比原來升高了多少cm?(結果精確到0.1cm)

(3)如圖4,墊入散熱架后，要使顯示屏。火與水平線的夾角仍保持120。，則顯示屏。穴應繞點按順

時針方向旋轉多少度？(不寫過程，只寫結果)

【答案】(1)30°(2)17.8(3)30°

【解析】

分析：(1)通過解直角三角形即可得到結果；

(2)求出現在的高度與原來的高度，相減即可.

(3)顯示屏OA應繞點(7按順時針方向旋轉30°.

詳解：OA=OB=2Scm,

O'CO'C_14_1

：.sin/CBO'=-

O'B~OB~28~2

：.ZCBO'=30°；

(2)現在的高度：AC=A'O+OC=28+14=42(cm),

原來的高度：A(9-sin60°=1473?24.25cm,

42-24.25al7.8cm.

.??顯示屏的頂部H比原來升高了17.8c"；

(3)顯示屏04應繞點0,按順時針方向旋轉30°，

理由：???顯示屏與水平線的夾角仍保持120°,

顯示屏O'H應繞點O'按順時針方向旋轉30°.

點睛：主要考查解直角三角形，涉及了旋轉的性質，正確的運用三角函數是解題的關鍵.

21.如圖，AB是00的直徑，C,D在。0上兩點，連接AD,CD.

(1)如圖1,點P是AC延長線上一點，ZAPB-ZADC,求證：BP與相切；

(2)如圖2,點G在CD上，0FJ_AC于點F,連接AG并延長交。。于點H,若CD為。。的直徑，當/CGB

=ZHGB,BG=2OF=6時，求。0半徑的長.

【答案】(1)見解析；(2)276

【解析】

【分析】

(1)如圖1,連接BC,根據圓周角定理得到NACB=90。，得到NABC=/P,求得/ABP=90。，于是得

到結論；

(2)如圖2中，連接BC,BH,作BMJ_CD于M,AN_LCD于N.想辦法證明0M=0N=GN,MG=DN,

設0M=0N=a,構建方程求出a即可解決問題.

【詳解】解：(I)如圖1,連接BC,

：AB是。0的直徑，

ZACB=90°,

.".ZABC+ZBAC=90°,

：/ABC=/D,ND=/P,

/ABC=/P,

ZP+ZPAB=90°,

.\ZABP=90°,

...BP與。O相切；

(2)如圖2,連接BC,BH,作BMJ_CD于M,AN_LCD于N.

VCD,AB是直徑，

.?.OA=OD=OC=OB,VZAOD=ZBOC,

.".△AOD^ABOC(SAS),

；.AD=BC=2OF=6,

VOA=OB,ZAON=ZBOM,ZANO=ZBMO=90°,

??.△AON之△BOM(AAS),

AOM=ON,AN=BM,設OM=ON=a,

VZCGB=ZHGB,

.,.ZOGH=2ZCGB,

VZBOG=ZOCB+ZOBC=2ZGCB,ZGCB=ZBGC,

.\ZBOG=ZOGH,

.\ZAOG=ZAGO,

???AO=AG,

VAN±OG,

???ON=NG=a,

\'BG=AD,BM=AN,NAND=NBMG=90。，

/.RtABMG^RtAAND(HL),

/.MG=DN=3a,OD=OA=OB=OC=4a,

BM=y/0B2-0M2=Aa,

在RtACBM中，BC2=BM2+CM2,

.*.36=15a2+9a2,

Va>0,

.瓜

.?d-----,

2

；.MG=CM=3a=^^,

2

DG—2a=，

.\CD=2xl^+V6=4娓,

半徑的長為2J%.

O'

B

圖1

圖2

【點睛】本題考查了切線的判定和性質，圓周角定理，全等三角形的判定和性質，角平分線的性質定理，

勾股定理，等腰三角形的頻道合作，三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造

全等三角形解決問題，學會利用參數，構建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

22.某店因為經營不善欠下38000元的無息貸款的債務，想轉行經營服裝專賣店又缺少資金.“中國夢想秀”

欄目組決定借給該店30000元資金，并約定利用經營的利潤償還債務（所有債務均不計利息）已知該店代

理的某品牌服裝的進價為每件40元，該品牌服裝日的售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的關系可用圖

中的一條折線（實線）來表示.

（1）求日銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數關系式；

（2）當銷售價為多少元時，該店的日銷售利潤最大；

（3）該店每天支付工資和其它費用共250元，該店能否在一年內還清所有債務.

件）

24

11

---------->_

405871x（兀件）

【答案】（1）y=,;（2）當銷售價為55元時，該店的日銷售利潤最大，最大利潤

為450元；（3）該店能在一年內還清所有債務.

【解析】

【分析】

（1）利用待定系數法，即可求得日銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數關系式

（2）根據銷售利潤=銷售量X（售價-進價），列出每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/件）之間的函

數關系式，再依據函數的增減性求得最大利潤.

(3)根據(2)中的最大利潤，可求得除去其他支出的利潤，即可判斷能否在一年內還清所有債務

【詳解】(1)由圖象可得：

當40力<58時，設產幻什"，把(40,60),(58,24)代入得

’60=40匕優=一2

：24=58占+“解得：匕=140，

；.)，=-2x+140(40<x<58)

當58sxs71時，設)=粒什歷，把(58,24),(71,11)代入得

24=58k?+b?——1

T

ll=71k2+b2解得：=82)

；.y=-x+82(58<x<71)

-2%+140(40?x<58)

故日銷售量y(件)與銷售價x(元/件)之間的函數關系為:

一x+82(58觸71)

(2)由(1)得

、.[(%-40)(—2x+140)(40,,x<58)

利潤,

(X-40)(—X+82)(58瓢71)

,f-2x2+220x+2800(40,,x<58)

整理得

[-f+122%-3280(58叫71)

故當40q<58時，vv=-2(x-55)2+450

：-2<0,

當廣55時，有最大值450元

當58勺W71時，w=-0-61)2+441

V-1<0,

...當下61時,有最大值441元

綜上可得當銷售價為55元時，該店的日銷售利潤最大，最大利潤為450元

(3)由(2)可知每天最大利潤為450元，

則有450-250=200元

一年的利潤為：200x365=73000元

所有債務為：30000+38000=68000元

V73000>68000,

該店能在一年內還清所有債務.

【點睛】此題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用.最大銷售利潤的問題常利函數的增減性來解答,

我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選擇最優方案.其中要注意應該在自變量

的取值范圍內求最大值（或最小值），根據每天的利潤=一件的利潤X銷售件數，建立函數關系式，此題為

數學建模題，借助二次函數解決實際問題.

23.如圖，在△ABC中，AB^AC,401_8C于點O,0EJ_AB于點E,以點。為圓心，0E為半徑作半圓，

交4。于點凡

（1）求證：AC是。。的切線；

（2）若點F是0A的中點，0E=3,求圖中陰影部分的面積；

（3）在（2）的條件下，點P是BC邊上的動點，當PE+尸產取最小值時，直接寫出的長.

【答案】（1）詳見解析；（2）瘦;③三;（3）當PE+P尸取最小值時，8P的長為

【解析】

【分析】

（1）作0HLAC于H,如圖，利用等腰三角形的性質得A0平分/BAC,再根據角平分線性質得OH=OE,

然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）先確定/OAE=30。，ZAOE=60°,再計算出AE=36,然后根據扇形面積公式，利用圖中陰影部分的

面積=SAAOE-SMIBEOF進行計算；

（3）作F點關于BC的對稱點F,連接EF，交BC于P,如圖，利用兩點之間線段最短得到此時EP+FP最小,

通過證明NF=NEAF得到PE+PF最小值為3也,然后計算出0P和0B得到此時PB的長.

【詳解】（1）證明：作于“，如圖,

A

?：AB=AC,AO_LBC于點。，

???A。平分NB4C,

VOELAB,OHLAC.

：.OH=OE,

???AC是。。的切線；

（2）??,點尸是A。的中點，

：.AO=2OF=6,

而