北京市房山區2021年九年級上學期《數學》期末試卷與參考答案一、選擇題1.下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.答案：C2.的值等于（）A. B. C. D.答案：A3.如圖，在中，∥，若，，則等于（）A. B. C. D.答案：D4.如圖，，是⊙的半徑，若，則的度數是（）A. B. C. D.答案：A5.在半徑為的圓中，的圓心角所對的弧長為（）A. B. C. D.答案：D6.若點，，都在反比例函數的圖象上，則的大小關系是（）A. B.C. D.答案：B7.在中，，，，則的長為（）A. B. C.或 D.或答案：D8.如圖，二次函數的圖象經過，，三點，下面四個結論中正確的是（）A.拋物線開口向下B.當時，取最小值C.當時，一元二次方程必有兩個不相等實根D.直線經過點，，當時，的取值范圍是答案：C二、填空題9.已知，則____．答案：410.請寫出一個過點的函數表達式：___．答案：y=x或y=或y=x2（答案不唯一）．11.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠ABC=70°，則∠ADC的度數是______．答案：110°12.函數的圖象向下平移3個單位，得到函數圖象的表達式是____．答案：y=x2-313.如圖，點，分別在△的，邊上．只需添加一個條件即可證明△∽△，這個條件可以是_____．(寫出一個即可)答案：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或14.如圖，AB為的直徑，弦于點H，若，，則OH的長度為__．答案：315.如圖所示的網格是邊長為1的正方形網格，，，是網格線交點，則____．答案：16.我們將滿足等式的每組，的值在平面直角坐標系中畫出，便會得到如圖所示的“心形”圖形．下面四個結論中：①“心形”圖形是軸對稱圖形；②“心形”圖形所圍成的面積小于3；③“心形”圖形上任意一點到原點的距離都不超過；④“心形”圖形恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數點）．所有正確結論的序號是_____．答案：①③④三、解答題17.如圖，已知∥，．求證：．答案：證明：∵AB∥CD，∴．∵，∴△ABD∽△DCE．∴．18.已知二次函數．（1）求它的圖象的頂點坐標和對稱軸；（2）在如圖平面直角坐標系中畫出它的圖象．并結合圖象，當時，求y的取值范圍．答案：【小問1詳解】y=x2-2x-3=（x-1）2-4∴二次函數y=x2-2x-3的圖象的頂點坐標為（1，-4），對稱軸為：直線x=1；【小問2詳解】∵y=x2-2x-3=（x+1）（x-3），圖象與x軸兩交點坐標為（-1，0），（3，0），二次函數圖象如下圖：當x＞0時，則y的取值范圍是y≥-4，故答案為y≥-4．19.已知：線段．求作：，使其斜邊，一條直角邊．作法：①作線段；②分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點，作直線交于點；③以為圓心，長為半徑作⊙；④以點為圓心，線段的長為半徑作弧交⊙于點，連接．就是所求作的直角三角形．（1）使用直尺和圓規，依作法補全圖形(保留作圖痕跡)；（2）完成下面的證明．證明：∵點在線段的垂直平分線上，∴點為線段的中點，為⊙的半徑．∴為⊙的直徑．∵點在⊙上，∴__________（__________）（填推理的依據）．∴為直角三角形．答案：（1）補全的圖形如圖所示：（2）證明：∵點在線段的垂直平分線上，∴點為線段的中點，為⊙的半徑，∴為⊙的直徑，∵點⊙上，∴90（_直徑所對的圓周角是直角）．∴直角三角形．20.在“綜合與實踐”活動中，某校九年級數學小組采用無人機輔助的方法測量一座橋的長度．如圖，橋是水平并且筆直的，測量過程中，小組成員遙控無人機飛到橋的上方的點處懸停，此時測得橋兩端，兩點的俯角分別為和，求橋的長度．（結果精確到．參考數據：，）答案：根據題意得∠A=30°，∠B=45°，過點作，垂足為.∴在△中∵，m，∴m在△中∵，m，∴∴m∴m答：橋的長度約為246m.21.如圖，一次函數的圖象與軸交于點，與反比例函數的圖象交于點．（1）求的值；（2）點為軸上一動點．若的面積是，請直接寫出點的坐標．答案：（1）∵一次函數的圖象與軸交于點，∴.∴.∴.∵一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，∴.把代入，得.（2）設C（n，0），由（1）知點A的縱坐標為3，即△ABC的高為3，依題S△ABC=|BC|×3=6，則|BC|=4當C點在B點左側時，當C點在B點右側時，，綜上或22.如圖，為⊙的直徑，⊙過的中點，，垂足為點．（1）求證：與⊙相切；（2）若，．求的長．答案：（1）如圖，連接，∵為中點，是的中點，∴是△的中位線，∴//，∴，∵⊥，∴，∴，∴⊥，∵⊙過的中點，∴與⊙相切．（2）如圖，連接，∵是⊙的直徑，∴，∵是的中點，∴，∴，∴，在△中，∵，，∴，，∵，∴.23.已知拋物線經過點．（1）當拋物線與軸交于點時，求拋物線的表達式；（2）設拋物線與軸兩交點之間的距離為．當時，求的取值范圍．答案：（1）解：由題意得，，∴，∴拋物線的表達式為；（2）解:∵拋物線經過點，∴，∴，令，∴，∴，∵，∴，，∵，∴或，即或，①當時，或，②當時，恒成立，故，∴綜上所述，，或．24.如圖，已知BD是矩形ABCD的一條對角線，點E在BA的延長線上，且AE＝AD．連接EC，與AD相交于點F，與BD相交于點G．（1）依題意補全圖形；（2）若AF＝AB，解答下列問題：①判斷EC與BD的位置關系，并說明理由；②連接AG，用等式表示線段AG，EG，DG之間的數量關系，并證明．答案：（1）補全的圖形，如圖1所示：（2）①解：EC⊥BD．理由如下：由矩形性質知∠DAB＝90°，∴∠EAF＝90°．在△AEF與△ADB中，∴△AEF≌△ADB（SAS）．∴∠E＝∠ADB．∴∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°．∴EC⊥BD．②線段AG，EG，DG之間的數量關系：．證法一：如圖2，在線段EG上取點P，使得EP＝DG，連接AP．在△AEP與△ADG中，，∴△AEP≌△ADG（SAS）．∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG．∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°．∴△PAG為等腰直角三角形．∴．∴．證法二：如圖3，過點A作AG的垂線，與DB的延長線交于點Q，連接AQ，BQ．在△AEG與△ADQ中，，∴△AEG≌△ADQ（ASA）．∴EG＝DQ，AG＝AQ．∴△GAQ為等腰直角三角形．∴．∴，即EG﹣DG＝AG．25.定義：在平面直角坐標系中，點為圖形上一點，點為圖形上一點．若存在，則稱圖形與圖形關于原點“平衡”．（1）如圖，已知⊙是以為圓心，為半徑的圓，點，，．①在點，，中，與⊙關于原點“平衡”點是__________；②點為直線上一點，若點與⊙關于原點“平衡”，求點的橫坐標的取值范圍；（2）如圖，已知圖形是以原點為中心，邊長為的正方形．⊙的圓心在軸上，半徑為．若⊙與圖形關于原點“平衡”，請直接寫出圓心的橫坐標的取值范圍．答案：（1）①由，，，可知，，，⊙是以為圓心，為半徑的圓，原點到⊙的最短距離是，最長距離是，，，點，與⊙關于原點“平衡”．②解：若點可以與⊙關于原點“平衡”，則，點為直線上一點，直線與直線的較小的夾角為，點在第四象限時，當時，可求得點的橫坐標為：，當時，可求得點的橫坐標為：，點橫坐標的取值范圍是：，點在第二象限時，點橫坐標的取值范圍與點在第四象限時的取值范圍