江科附中2023-2024學年第二學期高一年級第二次月考數學試卷卷面分數：150分考試時間：120分鐘命題人：黃越審題人：陳聲其一、單選題（每小題5分，共40分）1．若復數z滿足，則其共軛復數在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列說法不正確的是（

）A．正棱錐的底面是正多邊形，側面都是等腰三角形B．棱臺的各側棱延長線必交于一點C．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分是棱臺D．棱柱的側棱都相等，側面都是平行四邊形3．已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（

）A． B． C．1 D．134．已知的內角的對邊分別為，若有兩解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，如圖所示，，則原平面圖形的面積為（

）A．B． C． D．6．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則（

）A． B． C． D．7．在直三棱柱中，，，E是的中點，則異面直線與所成的角的余弦值是（

）A． B． C． D．8．已知銳角中，內角、、的對邊分別為、、，，若存在最大值，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（每小題6分，共18分，每小題有多項符合要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9．復數滿足，且，則（

）A． B．C． D．10．已知銳角的三個內角，，的對邊分別是，，，且的面積為.則下列說法正確的是（

）A．B．A的取值范圍為C．若，則的外接圓的半徑為2D．若，則的面積的取值范圍為11.已知點P為直四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面上一動點，四邊形ABCD為正方形，，E為AB的中點，F為DD1的中點，則下列說法正確的是（

）A．過A1，C1，E三點的平面截該四棱柱所得截面的面積為B．過C1，E，F三點的平面截該四棱柱所得的截面為五邊形C．若平面A1C1E，則點P的軌跡長度為D．若動點P到棱BB1的距離為，則點P的軌跡長度為三、填空題（每小題5分，共15分）12．若復數滿足，則的虛部為.13．某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東，距離為nmile;在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為nmile.貨輪由處向正北航行到處時，再看燈塔在南偏東，則燈塔與處之間的距離是nmile.14．如圖所示，在棱長為1的正方體中，點E，F分別是棱BC，的中點，是側面內一點，若平面AEF.則線段長度的最大值與最小值之和為_________.四、解答題（本題共5小題，共77分）15.已知，，分別為的三個內角A，B，的對邊，且.(1)求角A；(2)若，的面積.如圖，中，，D是AC的中點，，AB與DE交于點M．(1)用表示﹔(2)設，求的值.17．如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，，分別為棱，上的點，且，.(1)求證：平面；(2)在棱上是否存在點，使得平面？若存在求出的值；若不存在，說明理由為響應國家“鄉村振興”號召，農民老王擬將自家一塊直角三角形地按如圖規劃成3個功能區：區域為荔枝林和放養走地雞，區域規劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，區域規劃為小型魚塘養魚供休閑垂釣．為安全起見，在魚塘周圍筑起護欄．已知，，，．(1)若魚塘的面積是“民宿”的面積的倍，求；(2)當為何值時，魚塘的面積最小，最小面積是多少？19．任意一個復數z的代數形式都可寫成復數三角形式，即，其中i為虛數單位，，.棣莫弗定理由法國數學家棣莫弗（1667～1754）創立.設兩個復數用三角函數形式表示為：，，則：.如果令，則能導出復數乘方公式：.請用以上知識解決以下問題.(1)試將寫成三角形式；(2)試應用復數乘方公式推導三倍角公式：；；(3)計算：的值.參考答案：1．A【詳解】由可得，故在復平面內對應的點為,故對應的點為第一象限，2．C【詳解】對于A，正棱錐的底面是正多邊形，側面都是等腰三角形，故A正確；對于B，根據棱臺的定義可得：棱臺的各側棱延長線必交于一點，故B正確；對于C，用一個平行棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分是棱臺，故C錯誤；對于D，棱柱的側棱都相等，側面都是平行四邊形，故D正確；3．B【詳解】根據題意，，則.4．A【詳解】如圖：三角形中，，則有兩解的充要條件為：即，5．A【詳解】如圖，在直觀圖中過點，作交于點，因為，所以，，即將直觀圖還原為平面圖如下：則，，，所以.故選：A6．D【詳解】由及正弦定理得，即，由及余弦定理可得，∴，∴，∴.又，∴.故選：D.7．B【詳解】如圖，取中點，中點，連接在直三棱柱中，，所以平面，有平面，所以，則因為分別為中點，所以又可得，則四邊形為平行四邊形所以，則為異面直線與所成的角或其補角由平面，平面，可得，所以，在中，，，由余弦定理得，所以，所以在中，由余弦定理得所以異面直線與所成的角的余弦值.8．C【詳解】由余弦定理可得，則，由正弦定理可得，因為為銳角三角形，則，，所以，，又因為函數在內單調遞增，所以，，可得，由于為銳角三角形，則，即，解得，，因為，則，因為存在最大值，則，解得.9．ABD【詳解】由，可得，則，解得，所以，故選項A，D正確.當時，，當時，，故選項B正確，選項C錯誤.10．ABD【詳解】對A：由題意可得，由余弦定理可得，即有，即，由，故，即，故A正確；對B：則，，解得，故B正確；對C：由正弦定理可得，即，故C錯誤；對D：若，則，由正弦定理可得，即，即，由，則，故，故D正確.11．ABD【詳解】選項A：如圖1，取BC的中點G，連接C1G，EG，A1C1，A1E，則過A1，C1，E三點的平面截該四棱柱所得的截面為等腰梯形A1C1GE，理由如下：連接，因為，分別是和的中點，所以，又在平行四邊形中，，所以，則，，，四點共面，因為，所以，，，則等腰梯形A1C1GE的高，所以等腰梯形A1C1GE的面積，所以A正確；選項B：如圖2，連接C1F并延長，交CD的延長線于H，連接EH交AD于I，連接IF，取BB1靠近B的四等分點Q，連接EQ，QC1，則五邊形EQC1FI即過C1，E，F三點的平面截該四棱柱所得的截面，理由如下：作的中點，連接和，作的中點，連接和，則有，，所以四邊形是平行四邊形，即，又有，，，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，即，則，所以，，，四點共面，由題可知平面平面，平面平面，平面平面，所以，又因為Q是BB1靠近B的四等分點，是的中點，所以，則，所以，，，，五點共面，所以B正確；選項C：如圖3，分別取AD，CD，BC的中點M，N，G，連接D1M，D1N，MN，EG，C1G，因為，平面，平面，所以平面，因為，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面A1C1GE，則點P的軌跡為，所以點P的軌跡長度為，故C錯誤；選項D：如圖4，若動點P到棱BB1的距離為，則點P的軌跡長度為兩個以為半徑的圓的周長的再加上兩個側棱BB1的長度，即，所以D正確．故選：ABD.12．1【詳解】由，得，故的虛部為1，13．【詳解】在中，，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，，所以.【詳解】如下圖所示：分別取棱、的中點、，連接，連接，、、、為所在棱的中點，，，，又平面，平面，平面；，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面，又，平面平面，是側面內一點，且平面，則必在線段上，在中，，同理，在中，求得，為等腰三角形，當在中點時，此時最短，位于、處時最長，，，所以線段長度的是大值與最小值之和為，．15．(1)(2)【詳解】（1）由余弦定理，所以，又，所以.（2）因為，所以，因為，由已知得，故，故，所以.16．(1)；(2).【詳解】（1）依題意，.（2）依題意，，而三點共線，則，∴.【詳解】（1）在上取點，使得，連接，在中，點、分別為、上的三等分點，則有又面、面由線面平行的判定定理：面又且，∴四邊形為平行四邊形則有，又面、面，∴面由于面、面，，∴面面又面，∴面（2）假設在棱上存在點，使得面連接，交于∵面，面，面面由線面平行的性質定理：則在中，，易知，∴，∴點為棱的中點.18．(1)(2)時，的面積取最小值為【詳解】（1）∵，，，∴，∴，∴，∴，在中，由余弦定理可得：，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴護欄的長度（的周長）為；（2）設（），因為魚塘的面積是“民宿”的面積的