第第頁第40屆全國中學生物理競賽復賽試題（無答案）第40屆全國中學生物理競賽復賽試題

（2023年9月16日上午9:00-12:00）

考生必讀

1、考生考試前請務必認真閱讀本須知。

2、本試題共8道題，5頁，總分為320分。

3、如遇試題印刷不清楚情況，請務必向監考老師提出。

4、需要閱卷老師評閱的內容一定要寫在答題紙上；寫在試題紙和草稿紙上的解答一律不能得分。

一、（40分）利用智能手機的相機可以進行光學實驗。手機的鏡頭是一個由許多元件組成的系統，這些鏡頭元件

被封裝后只有幾毫米厚，因此可以安裝在厚度不到一厘米的手機中。相機的圖像傳感器以像素為單位記錄所拍攝

的物體的像，借助軟件可以讀取像的實際尺寸。在以下問題中，將手機鏡頭視為結構固定的共軸理想透鏡組，可

以證明其物像關系等效于一個凸透鏡，可以利用薄透鏡成像公式進行有關計算。與薄透鏡不同的是，需要在光軸

上確定一對參考點H、H′（稱為主點）作為計算物距、像距、焦距的起點，如圖1a所示。本題所有成像光路都

滿足近軸條件。

物像物像

物距像距物距像距

透鏡組薄透鏡

圖1a.透鏡組的物像關系和薄透鏡的物像關系

（1）物體通過鏡頭成像時，由于透鏡組封裝在手機內部，在鏡頭結構與參數未知的情況下無法直接確定主點位

置，因而無法直接用尺子測量物距u的具體數值。實驗中，可以沿光軸前后移動與光軸垂直、長度為l的刻度尺，

使其在物距為u1和u2的兩個位置分別成像，測量出刻度尺移動的距離su2u1和對應像的長度大小l1、l2。求：

（i）該鏡頭的等效焦距F（用測得的l、l1、l2和s表示）；

（ii）物距u1（用測得的l、l1、l2和s表示）。

（2）若透鏡組由兩個焦距分別為f1和f2的共軸薄凸透鏡1和2組成，它們的光心分別為O1和O2，間距為d。物

（實或虛）的光依次通過透鏡1和2成像時，透鏡組存在橫向放大率為＋1的一對物面和像面（稱為主平面），

它們與光軸的交點分別稱為物方主點H和像方主點H′。

（i）將H看作透鏡1的“物”，求H相對于O1的物距；將H′看作透鏡2的“像”，求H′相對于O2的像距。

（ii）透鏡組成像時，物距、物方焦距從物方主點H算起，像距、像方焦距從像方主點H′算起，求物方焦距F

和像方焦距F′。

二、（40分）如圖2a，將一個粗細均勻、兩端封閉的細玻璃管彎成半徑為r的

半圓環（玻璃管的橫截面半徑遠小于r），豎直固定于水平地面上，兩端面與地

面接觸；玻璃管內有一個質量為m的活塞（薄金屬片），活塞與管內壁密接，兩r

者之間的摩擦可忽略不計，活塞在半圓環內相對于豎直方向的角位置記為。

活塞兩邊管內各有n摩爾的理想氣體，且其溫度始終與外界溫度T（絕對溫度）

相同。已知重力加速度大小為g，普適氣體常量為R，所有涉及的氣體狀態變圖2a

化的過程均可視為準靜態過程。

（1）當溫度T高于某臨界溫度Tc時，玻璃管的正上都（0）是活塞的穩定平衡位置。求臨界溫度Tc的表達式，

1

并計算活塞在該平衡位置附近做微振動的圓頻率；

（2）當溫度TTc時，分析并判斷活塞在玻璃管正上都時平衡的穩定性。

解答如下幾問時，可將Tc看作為已知參量，不必代入（1）中的結果。

（3）當TTc時，求活塞的穩定平衡位置與豎直方向的夾角0所滿足的方程，并給出溫度略小于Tc時0的近似

表達式（保留至非零的最低階）；

（4）當TTc時，求活塞在穩定平衡位置附近微振動的圓頻率0對0的依賴關系0(0)（表達式中可含有上一

問中的0參量，但不可包含T參量），并給出溫度T略大于Tc和略小于Tc兩種情況下，活塞微振動的圓頻率對溫

度的依賴關系；

（5）當TTc時，假設活塞的初始速度近似為零，求活塞從正上都運動到可到達的角位置處的角速度大小。

三、（40分）如圖3a，傾角為、質量為M的三角形楔塊放在光滑的水平地面

上，其斜面上有一個質量為m、半徑為r的勻質圓球，讓該球從靜止開始自由

向下運動，整個過程中楔塊無轉動。重力加速度大小為g，假設圓球與楔塊之

間的靜摩擦因數和滑動摩擦因數均為。

（1）若足夠大，使得球無滑動地滾下，求：圖3a

（i）楔塊相對于地面的加速度的大小a0；

（ii）勻質圓球質心相對于楔塊的加速度的大小ac；

（iii）地面對楔塊的支持力的大小N；

（iv）楔塊對圓球的支持力的大小N1；

（v）為了使勻質圓球保持無滑滾動，球與楔塊之間摩擦因數的最小可能值0；

（2）若小于第（1）（v）問中的0，且楔塊斜面足夠長,求圓球從靜止開始運動一段時間t后，圓球上與楔

塊接觸的點P相對于楔塊的速度。

四、（40分）北宋著名畫家張擇端所繪的《清明上河圖》中有一座用木材制作的“編木拱橋”（圖4a），形成一道

飛虹架設在河上。四百多年后達·芬奇也曾留下類似的設計手稿，至今為世人稱奇。圖4b是五個單元組成的編木

拱橋實物模型，每個單元包含一對與紙面平行的長桿和一根垂直于紙面的短桿，它沒有釘也沒有卯，整個結構的

所有組件在重力作用下互相擠壓而結合在一起，靠支持力和摩擦力互相支撐，互相制約。真實橋梁需要在木材上

開槽，以提升橋的安全性。

圖4b

圖4a

考慮一個簡化的編木拱橋模型，即僅有三個單元的左右對稱的拱橋，圖4c是其側視圖。在簡化模型下，只

考慮拱橋在豎直平面（紙面）內的平衡，將與紙面平行的每一對長桿等效為一根質量為M的桿，則此編木拱橋

可進一步簡化為六根桿：三根短桿A、A′、B和三根長桿C、D、D′。所有的桿都是半徑為R的勻質圓柱體，沒

有開槽。短桿的質量均為m，長桿的長度均為L，長桿之間互不接觸。短桿B表面是光滑的，其余桿之間的靜摩

2

擦因數均為μ，桿與地面間的靜摩擦因數為μ′。長桿D、D′與水平地面的夾角均為θ。重力加速度大小為g。

B

C

AA

b

a

D

D

圖4c三單元編木拱橋側視圖（簡化為六根桿）

f1

N

1f2NNN44

2N3

mg

mg

圖4d.A桿的受力圖圖4e.B桿的受力圖

（1）已知圖4c中D桿下端到與A桿的接觸點之間的長度為a，求D桿下端到與B桿的接觸點之間的長度b的

表達式。

（2）系統平衡時，考慮到桿A與A′對稱，桿D與D′對稱，分析圖4c中A、B、C、D四根桿的受力情況。圖

4d、4e分別給出了A、B兩根桿的受力，請畫出圖4c中C、D兩根桿的受力圖，為簡明起見，每一對作用力和

反作用力請用同一符號表示。對A、B、C、D四根桿分別列出相應的力平衡方程（必要時包括力矩平衡方程）。

（3）設M6m，45，L30cm，a16cm，R2(21)cm，試求靜摩擦因數μ和μ′滿足什么數值條

件時，圖4c所示的結構能保持平衡（數值結果保留三位有效數字）？

五、（40分）如圖5a，一個質量為m、帶電量為e的正點電荷在固定于原點O處的電偶極

子作用下運動，電偶極子的電偶極矩p指向z軸正方向。設rt是點電荷在t時刻的位置

矢量，其大小為rt，與p的夾角為t。已知rt0r00，t00，真空

介電常量為0，電偶極子的電場和電勢分別為

3prrpprO

E,

40r

340r

3

其中r為r的單位方向矢量。

圖5a

（1）假定點電荷在垂直于z軸的平面內繞著z軸作勻速圓周運動。據此確定0以及點電荷

作圓周運動的速度大小v0。

（2）假定t0時刻點電荷是靜止的，

（i）求出在此后的運動過程中，點電荷相對原點O的角動量大小L對的依賴關系L；

（ii）求出在此后的運動過程中，點電荷徑向速率vr對r的依賴關系vrr；

3

（iii）0滿足什么條件時，點電荷的運動范圍在空間上是有界的？不考慮點電荷與偶極子碰撞的情形，如果0

的數值正好取有界運動的邊界值時，確定點電荷在豎直平面內的運動軌道；

（iv）如果0的數值可使點電荷的運動是無界的，求點電荷的徑向距離隨時間的變化關系rt。

六、（40分）處在交變磁場中的塊狀導體，其內部會出現渦電流。利用渦

電流的熱效應可加熱和冶煉金屬；利用渦電流的機械效應實現對導體的制

動、驅動、懸浮等。為了研究渦電流的這兩個效應，考查如圖6a所示的

裝置：半徑為b、載有交變電流ItI0cost的線圈固定在水平桌面上；

重量為G、半徑為a、電導率為的導體球的球心位于線圈中心正上方高

2

為h處。設ab，并設導體球的趨膚深度a，其中

0

為

0

真空磁導率。忽略電磁輻射。

（1）將原本內部無磁場的、半徑同為a的理想導體球（）置于均

勻、穩恒的外磁場BeBez中。已知此情形下磁化電流在球外產生的磁場

圖6a

B，與置于球心處的理想磁偶極子（相當于小電流環）產生的磁場相同，即B可以表示為

B03mrrm

4r3

其中m是小電流環的磁矩（電流強度與面元矢量的乘積），也是該理想導體球的磁矩。將Be看作為已知，求磁

矩m，并確定導體球表面的面電流密度分布；

（2）求圖6a中所示的載流線圈在球心處t時刻產生的磁感應強度B；

（3）為了使導體球能夠懸浮在所給位置處，I0應近似為多大？（假設足夠大，以至于導體球在懸浮位置附近

的振動幅度可忽略）。提示：若磁偶極子的磁矩m與其所在位置處的外磁場Be均與z軸平行，z分量分別為m和

BeBez，則磁偶極子所受安培力可以表示為

dB

Fmez

dz

（4）計算渦電流的熱效應時，必須考慮在趨膚深度范圍內的渦電流分布。為簡單起見，設渦電流在趨膚深度內

沿著徑向是均勻分布的，而導體球內部其余各處的渦電流則為零。試求渦電流在一個周期內的平均熱功率的近似

表達式（要求最終表達式中不含參量）。

七、（40分）大氣層最底部是對流層，厚度約為10km。在對流層中，空氣的溫度隨高度升高而降低。對流層頂

部之上10km左右的范圍內溫度近似不隨高度變化，被稱為同溫層；同溫層之上一定

高度范圍內大氣溫度會隨高度升高而升高，被稱為逆溫層，如圖7a所示。在此基礎

上，討論如下問題：

（1）由于陽光照射，地表附近的空氣溫度較高。對流層中溫度變化可以看成是空氣

緩慢地絕熱上升的結果。求對流層中空氣溫度和高度的關系。設地表溫度為T0，空

氣是理想氣體，其摩爾質量為，等壓比熱和等容比熱的比值為常數，普適氣體

常量為R。對流層中重力加速度近似為常量g。

（2）氣體中聲音的傳播速度v

dp圖7a

s，其中p是壓強，是氣體的密度。不

d絕熱

考慮風的影響，求聲速與空氣溫度T的關系，并討論圖7a所示的大氣各層中聲速隨高度的變化。

（3）聲波在聲速不同的介質中傳播時，也會發生折射和反射，遵循和光傳播類似的規律。為簡單起見，可以把

上述大氣層模型進一步簡化，假設大氣各層之間的界面為平面，并且對流層的溫度和逆溫層中的溫度都不隨高

度變化，均為10C，同溫層的溫度為55C。在此模型中，考慮一個位于同溫層內的聲源，其發射的聲波入

4

射到同溫層與對流層/逆溫層的界面上。請分析對于不同的入射角，這些聲波的折射和反射行為，即在什么情形

下，可以發生折射？在什么情形下，可以發生全反射？并定性畫出相應情形下聲波的傳播圖示。（0C為

273.15K）。

（4）仍簡化地認為對流層、同溫層和逆溫層各自溫度不隨高度變化，其間分界面為同心球面，對流層與逆溫層

溫度相同，且均高于同溫層溫度。現考慮一聲源和一探測氣球，二者均可處于對流層或同溫層。忽略地面的反

射以及在可以發生折射時的反射，不考慮大氣對聲波能量的吸收，按照聲源和探測氣球分別處于對流層和同溫

層的4種不同的情況，請指出在哪些情況下探測氣球可以探測到遠距離（幾千km外）發出的聲音，哪些情況

下只能探測到短距離（小于1000km）發出的聲音，并簡要通過估算說明理由。已知地球半徑Re6371km。

八、（40分）采用X射線光譜與光電子能譜方法，可以獲得物質結構的有關信息，相應的實驗儀器結構示意圖如

圖8a所示。圖中X射線管由電子槍陰極和金屬陽極構成，由陰極產生的電子被電壓加速后與金屬陽極碰撞產生

X射線（不考慮電子與陽極碰撞前的輻射），其光譜包括連續的軔致輻射譜和分立的特征譜。實驗上選取特定波

長的特征X射線與材料靶相互作用，利用X射線光譜儀和光電子能譜儀分別探測出射的X射線和光電子。

已知：里德堡常量R10973731m

1；hc1240nmeV，其中h和c分別為普朗