第2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1 邏輯變量與邏輯函數(shù)2.2 基本邏輯運(yùn)算與基本邏輯門2.3 邏輯代數(shù)的公式與規(guī)則2.4 邏輯函數(shù)的表示方法2.5 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式2.6 邏輯函數(shù)的化簡方法2.1 邏輯變量與邏輯函數(shù)邏輯變量：邏輯代數(shù)中的變量邏輯變量的命名方式：單個英文字母邏輯變量的取值：0和1（邏輯值）正邏輯：用“0”表示低電平，用“1”表示高電平負(fù)邏輯：用“0”表示高電平，用“1”表示低電平邏輯值不同于二進(jìn)制數(shù)的數(shù)值，邏輯值“0”和“1”沒有大小之分，只表示兩種不同的狀態(tài)，比如表示電平的高和低、開關(guān)的通和斷、指示燈的亮和滅、命題的真和假這類只有兩種取值的事件或狀態(tài)。設(shè)輸入變量為A和B，輸出變量為F，則邏輯函數(shù)可以表示為F=f(A，B)。這是一個雙輸入單輸出的函數(shù)關(guān)系，其電路框圖如圖2.1所示。F=f(A,B)數(shù)字電路AB圖2.1數(shù)字電路框圖2.2 基本邏輯運(yùn)算與基本邏輯門2.2.1 邏輯與運(yùn)算和與門2.2.2 邏輯或運(yùn)算和或門2.2.3 邏輯非運(yùn)算和非門2.2.4 基本邏輯門的其它符號表示2.2.5 由基本邏輯門構(gòu)成的其它復(fù)合門 邏輯代數(shù)中邏輯運(yùn)算包括基本邏輯運(yùn)算和復(fù)合邏輯運(yùn)算。基本邏輯運(yùn)算只有三種：邏輯與運(yùn)算、邏輯或運(yùn)算和邏輯非運(yùn)算。實(shí)際數(shù)字電路的邏輯運(yùn)算通常是這三種基本邏輯運(yùn)算的各種不同組合。1.邏輯與運(yùn)算和與門如果只有當(dāng)所有條件均具備，結(jié)果才能發(fā)生，則稱這種邏輯關(guān)系為邏輯與運(yùn)算。只有當(dāng)開關(guān)A、B都閉合時，燈F才亮。把電路中開關(guān)的狀態(tài)作為自變量，而把燈的狀態(tài)作為因變量。定義邏輯變量A和B，分別用來表示開關(guān)A和B的通與斷。當(dāng)開關(guān)接通時，相應(yīng)的邏輯變量取值為“1”，斷開時取值為“0”。又定義邏輯變量F表示燈的亮與滅，當(dāng)燈亮?xí)r，F(xiàn)=1，燈滅時F=0。F是A和B的函數(shù)。邏輯代數(shù)中將符合圖2.2的函數(shù)關(guān)系定義為邏輯與，又叫邏輯乘，所以邏輯函數(shù)表達(dá)式中的與項也叫乘積項，運(yùn)算符號為“·”，2變量的邏輯與運(yùn)算表達(dá)式為： F=A·B(a)開關(guān)斷開時(b)開關(guān)全接通時圖2.2邏輯與電路實(shí)例圖2.32輸入與門符號

實(shí)現(xiàn)邏輯與運(yùn)算的邏輯電路稱為與門，2輸入與門的邏輯符號如圖2.3所示。在不致混淆的場合下，A和B的邏輯與運(yùn)算也可以表示為AB。由于每個自變量都只有0、1兩種可能的取值，可以將自變量的各種取值和相應(yīng)的函數(shù)值用表格表示，稱為邏輯函數(shù)的真值表表示法。F=A·B對應(yīng)的真值表如表2.1所示。由真值表可以看出，邏輯與運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則是0·0=00·1=01·0=01·1=1ABF0000101001112輸入與門的Proteus中仿真的結(jié)果如圖2.4所示。圖2.42輸入與運(yùn)算的Proteus仿真結(jié)果表2.1與運(yùn)算真值表(式2.4)2.邏輯或運(yùn)算和或門如果條件之一具備，結(jié)果就可發(fā)生，則稱這種邏輯關(guān)系為邏輯或運(yùn)算。(a)開關(guān)全斷開時(b)開關(guān)之一接通時圖2.5邏輯或電路實(shí)例只要當(dāng)開關(guān)A、B之一閉合時，燈F就能亮。把電路中開關(guān)的狀態(tài)作為自變量，而把燈的狀態(tài)作為因變量。定義邏輯變量A和B，分別用來表示開關(guān)A和B的通與斷。當(dāng)開關(guān)接通時，相應(yīng)的邏輯變量取值為“1”，斷開時取值為“0”。又定義邏輯變量F表示燈的亮與滅，當(dāng)燈亮?xí)r，F(xiàn)=1，燈滅時F=0。F是A和B的函數(shù)。邏輯代數(shù)中將符合圖2.5的函數(shù)關(guān)系定義為邏輯或，又叫邏輯加，運(yùn)算符號為“+”，2變量的邏輯或運(yùn)算表達(dá)式為 F=A+B實(shí)現(xiàn)邏輯或運(yùn)算的邏輯電路稱為或門，一個2輸入或門的邏輯符號如圖2.6所示。圖2.62輸入或門符號式F=A+B對應(yīng)的真值表如表2.2所示。由真值表可以看出，邏輯或運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則是：0+0=00+1=11+0=11+1=1 ABF000011101101表2.2或運(yùn)算真值表圖2.72輸入或運(yùn)算的Proteus仿真結(jié)果(式2.4)3.邏輯非運(yùn)算和非門如果條件具備時，結(jié)果不發(fā)生；而條件不具備時，結(jié)果反而發(fā)生，則稱這種邏輯關(guān)系為邏輯非運(yùn)算。圖2.8是邏輯非的電路示意圖，當(dāng)開關(guān)A斷開時，燈F能亮，開關(guān)A接通時，燈F反而不亮。把電路中開關(guān)的狀態(tài)作為自變量，而把燈的狀態(tài)作為因變量。定義邏輯變量A，用來表示開關(guān)A的通與斷。當(dāng)開關(guān)接通時，相應(yīng)的邏輯變量取值為“1”，斷開時取值為“0”。又定義邏輯變量F表示燈的亮與滅，當(dāng)燈亮?xí)r，F(xiàn)=1，燈滅時，F(xiàn)=0。顯然，F(xiàn)是A的函數(shù)。邏輯代數(shù)中將符合圖2.8的函數(shù)關(guān)系定義為邏輯非，又叫邏輯反，運(yùn)算符號為“￣”，邏輯非屬于單目運(yùn)算，即只有一個運(yùn)算對象，邏輯非運(yùn)算表達(dá)式為 F=A (式2-5)(a)開關(guān)斷開時(b)開關(guān)接通時圖2.8邏輯非電路實(shí)例圖2.9非門符號圖2.10非運(yùn)算的仿真結(jié)果AF=A0110表2.3非運(yùn)算真值表除了前面所示的基本邏輯符號表示方式以外，還有一些其它方式的表示，如圖2.11所示。（a）與門(b)或門(c)非門圖2.11ANSI標(biāo)準(zhǔn)（第一行）、IEEE標(biāo)準(zhǔn)（第二行）、我國部頌標(biāo)準(zhǔn)（第三行）邏輯門符號5.由基本邏輯門構(gòu)成的其它復(fù)合門由基本邏輯門可構(gòu)成與非門、或非門、與或非門、異或門、同或(異或非)門，其邏輯表達(dá)式、真值表、邏輯門符號以及邏輯運(yùn)算特征如表2.4所示。2.3邏輯代數(shù)的公式與規(guī)則2.3.1 基本公式2.3.2 常用公式2.3.3 關(guān)于等式的基本規(guī)則，而且有。推廣到三個邏輯變量則有：，。表2.5邏輯代數(shù)的基本公式和定律表中，0-1律、自等律、重疊律、互補(bǔ)律、還原律，按與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算的規(guī)則不難理解，因直截了當(dāng)而無須證明。而交換律、結(jié)合律、分配律、吸收律和反演律各式可用真值表證明。如果等式成立，那么將任一組邏輯變量的取值代入公式兩邊所得結(jié)果應(yīng)該相等，等式兩邊所對應(yīng)的真值表也必然相同。例如，利用真值表證明反演律如表2.6所示。反演律適用于任何兩變量以上的多變量函數(shù)。表2.6證明兩變量摩根定理的真值表

由表2.6可見，無論邏輯變量A和B的取值如何，都有：而且有：推廣到三個邏輯變量則有：同理可推廣到n個邏輯變量。2.常用公式以表2.5所示的基本公式為基礎(chǔ)，又可以推出一些常用公式，如表2.7所示。對常用公式的證明并不難，既可以利用真值表來證明，也可以利用基本公式和定律來證明。比如序號為1的常用公式，只需利用與基本公式分配律相反的方式提取公因子即可得A+AB=A(1+B)，再利用0-1律可得1+B=1和自等律A·1=A即可得證。同理，對于序號為3的公式也可如此證明。序號為2的常用公式的證明也很簡單，利用常用公式1，可以得其它常用公式均可用類似方法證明。關(guān)于等式的基本規(guī)則(1).代入規(guī)則將等式兩邊出現(xiàn)的同一變量都以一個相同的邏輯函數(shù)代替，其等式依然成立，這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。利用代入規(guī)則可以擴(kuò)大等式的應(yīng)用范圍，很多基本公式都可以由兩變量或三變量推廣為多變量的形式。例如，摩根定理的兩變量形式為及，利用代入法則，將前式“B”的位置以(B·C)代入，后式“B”的位置以(B+C)代入就可得到三變量形式的摩根定理。從而使摩根定理得以擴(kuò)展。(2)．反演規(guī)則對于一個邏輯式F，如果把其中所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”，0換成1，1換成0，原變量換成反變量、反變量換成原變量，那么得到的函數(shù)式就是，這個規(guī)則叫做反演規(guī)則。它為求一個函數(shù)的反函數(shù)提供了方便。在使用反演規(guī)則時需要注意兩點(diǎn)：①必須遵守“先括號、然后乘、最后加”的順序。②不屬于單個變量上反號應(yīng)保留不變。【例2-1】求下列函數(shù)的反函數(shù)解：由反演規(guī)則可逐步寫出：3．對偶規(guī)則對于任何一個邏輯式F，如果把其中所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”，0換成1，1換成0，則得到一個新的函數(shù)式，這就是函數(shù)F的對偶式，記作F’。可以證明，若兩個邏輯式相等，則它們的對偶式也相等，這就是對偶規(guī)則。運(yùn)用對偶規(guī)則可以使人們要證明的公式大大減少。假如要求證Ｆ1和F2是否相等，則只需證明其對偶式F1’、F2’是否相等。例如，分配律為(AB+C)=AB+AC，求這一個公式兩邊的對偶式，則有分配律A+BC=(A+B)(A+C)成立。如果已證明前面的式子成立，那么，后面式子就不必再證明了，它一定是成立的。2.4 邏輯函數(shù)的表示方法2.4.1 邏輯真值表2.4.2 邏輯函數(shù)表達(dá)式2.4.3 邏輯圖2.4.4 卡諾圖2.4.5 波形圖1.邏輯真值表將邏輯函數(shù)輸入變量所有取值組合和輸出函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系列成一張表格形式，由于每個邏輯變量的取值只可能是0和1兩種，所以，n個輸入邏輯變量的取值組合必然有2n個，對應(yīng)的真值表有2n行，每一行對應(yīng)一組輸入值與輸出的關(guān)系。雖然2n行可以是任意順序，但為了不致遺漏，通常按n位二進(jìn)制數(shù)從小到大的順序依次列出所有取值的組合。優(yōu)點(diǎn)：簡單直觀，把實(shí)際邏輯問題抽象成了數(shù)學(xué)問題。缺點(diǎn)：當(dāng)n值較大時表格規(guī)模也相應(yīng)變大。為了減小表格規(guī)模，可以只列出使函數(shù)值為1的輸入邏輯變量取值組合。如果兩個邏輯函數(shù)的真值表相同，則這兩個邏輯函數(shù)相等。因此，邏輯函數(shù)的真值表具有惟一性。【例2-2】三人就某一項提案進(jìn)行表決，根據(jù)多數(shù)同意，表決通過的原則，列出表決結(jié)果的真值表。解：設(shè)輸入邏輯變量A、B、C分別表示三個人，F(xiàn)代表表決結(jié)果，兩人以上同意則表示通過，否則為不通過。A、B、C同意為1，不同意為0。F通過為1，不通過為0。因此可列出如表2.8所示的表決邏輯真值表。ABCF00000101001110010111011100010111表2.8三人表決邏輯真值表2.邏輯函數(shù)表達(dá)式用與、或、非等基本邏輯運(yùn)算表示邏輯函數(shù)中輸入與輸出之間邏輯關(guān)系的表達(dá)式叫做邏輯函數(shù)表達(dá)式。邏輯函數(shù)表達(dá)式可以根據(jù)真值表直接寫出，步驟：(1)找出所有使邏輯函數(shù)值為1的輸入變量取值組合；(2)變量值為1的寫成原變量形式，變量值為0的寫成反變量形式，從而形成使邏輯函數(shù)值為1的邏輯與項；(3)將所有邏輯函數(shù)值為1的邏輯與項做邏輯或運(yùn)算，從而形成一個與-或表達(dá)式。根據(jù)以上步驟可以寫出例2-2三人表決邏輯函數(shù)表達(dá)式如下：優(yōu)點(diǎn)：便于利用邏輯函數(shù)的基本公式和常用公式以及運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行邏輯運(yùn)算和變換，也便于用基本邏輯門和復(fù)合邏輯門來繪制邏輯圖。缺點(diǎn)：難以直接從邏輯變量取值中看出邏輯函數(shù)表達(dá)式的值，不如真值表直觀。3.邏輯圖用基本邏輯門和復(fù)合邏輯門組成能完成某一邏輯功能的電路圖。繪制邏輯圖的依據(jù)：邏輯函數(shù)表達(dá)式。繪制方法：用與門來實(shí)現(xiàn)邏輯與項功能，用或門來實(shí)現(xiàn)邏輯或功能，用非門來實(shí)現(xiàn)對原變量的取反。優(yōu)點(diǎn)：可以根據(jù)邏輯圖做出實(shí)際電路，也便于在Proteus中進(jìn)行仿真實(shí)驗。【例2-3】根據(jù)邏輯函數(shù)表達(dá)式F=AB+BC+AC繪制邏輯圖解：根據(jù)邏輯函數(shù)（實(shí)際上是三人表決邏輯函數(shù)化簡后的）表達(dá)式可繪制邏輯圖如圖2.12(a)所示，在Proteus中的仿真如圖2.12(b)和(c)所示。(a)邏輯圖(b)輸入一個或0個為1時輸出為0

(c)輸入兩個或三個為1時輸出為1圖2.12F=AB+BC+AC的邏輯圖及其Proteus仿真4.卡諾圖卡諾圖(KarnaughMap)是20世紀(jì)50年代美國工程師卡諾(M.Karnaugh)提出的，它是邏輯函數(shù)的一種圖形表示方法，直觀形象，實(shí)際上可以看作是真值表的一種變形，與真值表有一一對應(yīng)的關(guān)系。表2.8所示真值表所對應(yīng)的卡諾圖如圖2.13所示。圖2.13三人表決邏輯函數(shù)的卡諾圖5.波形圖將邏輯函數(shù)輸入變量的每一組可能出現(xiàn)的取值與對應(yīng)的輸出值按時間順序依次排列起來，就得到了表示該邏輯函數(shù)的波形圖，這種波形圖也稱為時序圖。三人表決邏輯函數(shù)的波形圖如圖2.14所示。圖2.14三人表決邏輯函數(shù)的波形圖2.5 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式2.5.1 常用的邏輯函數(shù)式2.5.2 邏輯函數(shù)的與或式和或與式2.5.3 最小項和最大項2.5.4 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與-或式和標(biāo)準(zhǔn)或-與式1.常用的邏輯函數(shù)式一個邏輯函數(shù)確定以后，其真值表是惟一的，但其函數(shù)表達(dá)式的表達(dá)形式卻有多種。因為不管哪一種表達(dá)形式，對同一個邏輯函數(shù)來說所表達(dá)的函數(shù)功能是一致的，各種表達(dá)式是可以相互轉(zhuǎn)換的，例如兩變量的異或邏輯函數(shù)，可以有八種標(biāo)準(zhǔn)形式，分別為：2.邏輯函數(shù)的與-或式和或-與式利用邏輯代數(shù)的基本公式，可以把任何一個邏輯函數(shù)表達(dá)式變換成與-或式，也可以變換成或-與式。與-或式是指一個函數(shù)表達(dá)式中包含有若干個“與”項，其中每個“與”項可由一個或多個原變量或反變量組成，由這些“與”項的“或”運(yùn)算構(gòu)成一個函數(shù)。例如（式2.7）就是兩變量異或邏輯表達(dá)式的與-或式。或-與式是指一個函數(shù)表達(dá)式中包含有若干個“或”項，其中每個“或”項可以由一個或多個原變量或反變量組成，由這些“或”項的“與”運(yùn)算構(gòu)成一個函數(shù)。例如（式2.13）就是兩變量異或邏輯表達(dá)式的或-與式。3.最小項和最大項(1)最小項

最小項定義在具有n個邏輯變量的邏輯函數(shù)中，如果一個“與”項包含了該邏輯函數(shù)的全部變量，而且每個變量或以原變量或以反變量的形式只出現(xiàn)一次，則該與項被稱為最小項。因為每一個邏輯變量都有兩種狀態(tài)，即原變量和反變量，所以，對于n個變量的邏輯函數(shù)，共有2n個最小項。以A、B、C3個變量為例，其8個最小項為：最小項編號為了使用方便，通常賦予每個最小項一個編號，叫最小項編號，用mi表示。編號的方法為：當(dāng)最小項中變量以原變量形式出現(xiàn)時，用1表示該變量，以反變量形式出現(xiàn)時，用0表示該變量，然后將對應(yīng)的取值看作一個二進(jìn)制數(shù)，與其對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)就是該最小項的編號。例如，三變量的最小項及其編號如表2.9所示。最小項的主要性質(zhì)①對于任意一個最小項，有且僅有一組變量取值使它的值為1。參見表2.9。②對于變量的任一組取值，任意兩個最小項的邏輯與運(yùn)算結(jié)果為0，即mi·mj=0(i≠j)。③全部最小項之和為1，即最小項表達(dá)式任何邏輯函數(shù)都可以表示為最小項之和的與或標(biāo)準(zhǔn)形式，即由真值表可以直接寫出邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。對于表達(dá)式中的與項不是最小項的邏輯函數(shù)表達(dá)式，可以利用基本公式和定律將其變換成最小項表達(dá)式。(式2-15)(2)最大項最大項定義在具有n個邏輯變量的邏輯函數(shù)中，如果一個“或”項包含了該邏輯函數(shù)的全部變量，而且每個變量或以原變量或以反變量的形式只出現(xiàn)一次，則該或項被稱為最大項。對于n個變量的邏輯函數(shù)，共有2n個最大項。以A、B、C3個變量為例，其8個最大項為：最大項編號為了使用方便，通常賦予每個最大項一個編號，叫最大項編號，用Mi表示。編號的方法與最小項的相反，即將最大項中原變量當(dāng)作0，反變量當(dāng)作1，從而得到一組二進(jìn)制數(shù)，其對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)就是該最大項的編號。例如，三變量的最小項及其編號如表2.10所示。

最大項的性質(zhì)①對于任意一個最大項，有且僅有一組變量取值使它的值為0。參見表2.10。②對于變量的任一組取值，任意兩個最大項的邏輯或運(yùn)算結(jié)果為1，即Mi+Mj=1(i≠j)。③全部最大項之積為0，即最大項表達(dá)式任何邏輯函數(shù)都可以表示為最大項之積的或與標(biāo)準(zhǔn)形式，即(式2-16)(3)最大項與最小項的關(guān)系在同一邏輯問題中，下標(biāo)相同的最大項與最小項之間存在著互補(bǔ)的關(guān)系，即 或(式2-17)例如三變量中的最小項m0===4.邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與-或式和標(biāo)準(zhǔn)或-與式(1)標(biāo)準(zhǔn)與-或式如果構(gòu)成邏輯函數(shù)表達(dá)式是一個與-或式，而且其中的每一個與項都是最小項，則這種與-或式被稱為標(biāo)準(zhǔn)與-或式。例如三人表決邏輯表達(dá)式就是一個標(biāo)準(zhǔn)與-或式，其中每一個與項都是一個最小項。為了簡明起見，該式還可以寫成：F(A,B,C)=m3+m5+m6+m7=∑(m3,m5,m6,m7)=∑m(3,5,6,7)=∑(3,5,6,7)任何一種邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以變換成標(biāo)準(zhǔn)與-或式，而且結(jié)果是惟一的。【例2-4】將邏輯函數(shù)表達(dá)式F=AB+BC+AC變換成標(biāo)準(zhǔn)與-或式解：F=AB+BC+AC=== =m7+m6+m3+m5

=∑(m3,m5,m6,m7)(2)標(biāo)準(zhǔn)或-與式如果構(gòu)成邏輯函數(shù)表達(dá)式是一個或-與式，而且其中的每一個或項都是最大項，則這種或-與式被稱為標(biāo)準(zhǔn)或與式。例如F(A,B,C)=()()()()=就是一個標(biāo)準(zhǔn)或-與式，其中每一個或項都是一個最大項。為了簡明起見，該式還可以寫成：F(A,B,C)=M0·M1·M2·M4=∏(M0,M1,M2,M4)=∏M(0,1,2,4)=∏(0,1,2,4)任何一種邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以變換成標(biāo)準(zhǔn)或-與式，而且結(jié)果也是惟一的。(3)標(biāo)準(zhǔn)與-或式和標(biāo)準(zhǔn)或-與式的關(guān)系根據(jù)最小項的性質(zhì)：而因此 以三變量邏輯函數(shù)為例，最多有23=8個最小項，即m0~m7。若已知F(A,B,C)=m3+m5+m6+m7則m0+m1+m2+m4故有 F(A,B,C)===結(jié)論：若已知函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與-或式，則可直接寫出該函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或-與式。在0，1，…，(2n-1)這2n個編號中，原標(biāo)準(zhǔn)與-或式各最小項編號之外的編號，就是標(biāo)準(zhǔn)或-與式中最大項的編號；反之，若已知邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或-與式，也可以直接寫出該函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與-或式，在標(biāo)準(zhǔn)與-或式中各最小項的編號，也就是標(biāo)準(zhǔn)或-與式中最大項的編號之外的編號。2.6 邏輯函數(shù)的化簡方法2.6.1 邏輯函數(shù)的公式法化簡2.6.2 卡諾圖法化簡化簡的目的：降低實(shí)現(xiàn)電路的復(fù)雜性及其制作成本，提高電路的可靠性。最簡與-非式：與運(yùn)算的因子最少，非運(yùn)算的次數(shù)最少。最簡與-或式：包含的與項最少，每個與項里的因子也最少。邏輯函數(shù)常用的化簡方法有：公式法化簡和卡諾圖法化簡。1.邏輯函數(shù)的公式法化簡具體操作：