專題1.3用空間向量研究直線、平面位置關(guān)系專題1.3用空間向量研究直線、平面位置關(guān)系知識點(diǎn)一空間點(diǎn)、直線、平面的向量表示知識點(diǎn)一空間點(diǎn)、直線、平面的向量表示1直線的方向向量：l是空間一直線，A，B是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱eq\o(AB,\s\up6(→))為直線l的方向向量，與eq\o(AB,\s\up6(→))平行的任意非零向量也是直線l的方向向量．2.空間直線的向量表示：（1）直線l⊥α,取直線l的方向向量a，稱向量a為平面α的法向量.給定一個點(diǎn)A和一個向量a，那么過點(diǎn)A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合（2）平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二空間中直線、平面的平行關(guān)系①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.②設(shè)直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α?存在兩個實(shí)數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2.③設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u.④設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1∥u2.知識點(diǎn)知識點(diǎn)三空間中直線、平面的垂直關(guān)系1.用向量證明空間中的垂直關(guān)系①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.②設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u.③設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)．考點(diǎn)01空間點(diǎn)、直線、平面的向量表示【典例1】（2022秋·高二單元測試）已知直線的一個方向向量，且直線過點(diǎn)和兩點(diǎn)，則（）A．0 B．1 C． D．3【答案】D【分析】首先求出，依題意，則，根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示計算可得.【詳解】因為直線過點(diǎn)和兩點(diǎn)，所以，又直線的一個方向向量，所以，所以，所以，所以，解得，所以.故選：D【典例2】（2023春·甘肅白銀·高二校考期末）已知點(diǎn)，都在直線上，寫出一個直線的方向向量：.【答案】(答案不唯一)【分析】由方向向量的定義求解即可.【詳解】，因為點(diǎn)，都在直線上，所以都是直線的方向向量，則可取.故答案為：.【典例3】已知A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O為平面ABC外任意一點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(BC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M________(填“屬于”或“不屬于”)平面ABC.【答案】屬于【解析】∵eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(OC,\s\up6(→))，∵eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)＋eq\f(2,5)＝1，∴M，A，B，C四點(diǎn)共面．即點(diǎn)M∈平面ABC.考點(diǎn)02平面的法向量的確定【典例4】中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個法向量為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)，可得、、的坐標(biāo)，由此可得向量、的坐標(biāo)，由此可得關(guān)于、、的方程組，利用特殊值求出、、的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則有，令，可得，則.故選：B．【典例5】（2022·高二課時練習(xí)）已知，，，則平面的一個法向量是．【答案】(答案不唯一，是的非零倍數(shù)即可)【分析】寫出的坐標(biāo)，設(shè)出法向量，列出方程組，求出一個法向量.【詳解】依題意，得，．設(shè)平面的一個法向量，則，取，得，所以是平面的一個法向量．故答案為：【總結(jié)提升】1.寫出平面內(nèi)兩向量的坐標(biāo)；2.設(shè)出法向量；列出方程組；4.解方程組，求出一個法向量考點(diǎn)03空間直線、平面的平行關(guān)系的證明【典例6】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點(diǎn)分別在上，且，，求證：平面.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方向向量和平面的法向量，利用直線與平面平行的直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系即可求解.【詳解】因為矩形和矩形所在平面互相垂直，所以互相垂直．不妨設(shè)的長分別為，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，所以.因為，，所以.又平面的一個法向量是由,得.因為平面，所以平面.【典例7】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點(diǎn)．求證：平面平面.【答案】證明見解析【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法分別證明，，即，，再利用面面平行的判定定理即可得證.【詳解】因為，是棱的中點(diǎn)，所以，所以為正三角形.因為為等腰梯形，，所以.取的中點(diǎn)，連接，則，所以.以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，，，所以，，又不重合，不重合，所以，，因為平面，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面【總結(jié)提升】利用向量證明平行問題①線線平行：方向向量平行．②線面平行：平面外的直線方向向量與平面法向量垂直．③面面平行：兩平面的法向量平行．考點(diǎn)04根據(jù)空間平行關(guān)系求參數(shù)【典例8】（2023秋·高二課時練習(xí)）設(shè)平面的法向量的坐標(biāo)為，平面的法向量的坐標(biāo)為.若，則等于（）A．4 B．-4 C．2 D．-2【答案】A【分析】根據(jù)可得平面的法向量與平面的法向量共線，建立等式解出即可.【詳解】解：因為，則平面的法向量與平面的法向量共線，即，即，解得.故選：A【典例9】（2021秋·上海浦東新·高二上海師大附中校考期末）已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，且直線與平面平行，則實(shí)數(shù)．【答案】2【分析】依題意可得，即可得到，根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，解得即可.【詳解】解：因為直線與平面平行，直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，所以，則，解得．故答案為：【總結(jié)提升】1.如果線線平行，根據(jù)方向向量平行，建立方程．線面平行，根據(jù)平面外的直線方向向量與平面法向量垂直，建立方程組．面面平行，根據(jù)兩平面的法向量平行，建立方程組．考點(diǎn)05空間中直線、平面垂直關(guān)系的證明【典例10】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，證明：．

【答案】證明見詳解【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出的坐標(biāo)，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示證明即可.【詳解】證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

因為正方體棱長為1，分別是的中點(diǎn)，所以，所以，所以，由，所以，即.【典例11】（2022·高二課時練習(xí)）如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求證：平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）通過中位線得到線線平行，利用判定定理可證或利用法向量證明線面平行；（2）利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，結(jié)合線面垂直的判定可證或利用直線的方向向量與平面的法向量平行可證.【詳解】（1）解法一：證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，，由三角形中位線性質(zhì)可得且，又因為且，所以且，所以是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．

解法二：證明：因為平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以．如圖，以為原點(diǎn)，以，，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則．因為，易知為平面的一個法向量．

因此，所以．又平面，所以平面．（2）解法一：證明：因為，，，所以，所以．因為平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以．又，平面，所以平面．解法二：由（1）可得，，．設(shè)平面的一個法向量，則，取，得，所以是平面的一個法向量．因此，所以平面．【典例12】（2023春·江蘇·高二階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，面，在四邊形中，，點(diǎn)在上，.求證：(1)CM面；(2)面面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，由法向量與方向向量的關(guān)系即可證明線面平行，（2）根據(jù)空間向量垂直可證明線面垂直，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的判斷定理即可求證.【詳解】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.設(shè)為平面的一個法向量，由得令，得，，則，又平面，平面.（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，則..又，，又平面,平面，又平面，平面平面【總結(jié)提升】利用向量法證垂直問題的類型及常用方法（1）線線垂直問題：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零（2）線面垂直問題：直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直（3）面面垂直問題：兩個平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）[方法一]：幾何法因為，所以．又因為，，所以平面．又因為，構(gòu)造正方體，如圖所示，過E作的平行線分別與交于其中點(diǎn)，連接，因為E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，所以是BC的中點(diǎn)，易證，則．又因為，所以．又因為，所以平面．又因為平面，所以．[方法二]【最優(yōu)解】：向量法因為三棱柱是直三棱柱，底面，，，，又，平面．所以兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．，．由題設(shè)（）．因為，所以，所以．2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；（1）證明：在直三棱柱中，平面，且，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、，則，易知平面的一個法向量為，則，故，平面，故平面.一、單選題1．（2023秋·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知，分別是平面的法向量，若，則（

）A． B． C．1 D．7【答案】B【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解【詳解】因為，分別是平面的法向量，且，所以，即，解得故選：B2．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考階段練習(xí)）如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且四個頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)，下列結(jié)論：①平面；②平面平面；③；④平面平面，正確命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)題意，以正八面體的中心為原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及法向量，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】以正八面體的中心為原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正八面體的邊長為,則所以，,設(shè)面的法向量為，則，解得，取，即又，所以，面，即面，①正確；因為，所以，又，面，面，則面，由，平面，所以平面平面，②正確；因為，則，所以，③正確；易知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，因為，所以平面平面，④正確；故選：D3．（2023春·河北承德·高二承德市雙灤區(qū)實(shí)驗中學(xué)校考開學(xué)考試）在正方體中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，下列結(jié)論中，錯誤的是（

）A． B．平面C． D．【答案】A【分析】建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量與線面關(guān)系即可判斷.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，，，，，，因為，所以與不垂直，A錯誤；因為平面//平面，且平面，所以平面，B正確；，，，，，因為，所以，C正確；，，，，所以，D正確.故選：A.4．（2023秋·北京西城·高二統(tǒng)考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則（

）A．直線坐標(biāo)平面 B．直線坐標(biāo)平面C．直線坐標(biāo)平面 D．直線坐標(biāo)平面【答案】C【分析】求出及三個坐標(biāo)平面的法向量，根據(jù)與法向量的關(guān)系判斷．【詳解】，坐標(biāo)平面的一個法向量是，坐標(biāo)平面的一個法向量是，坐標(biāo)平面的一個法向量是，這三個法向量與都不平行，但，點(diǎn)均不在坐標(biāo)平面上，因此與坐標(biāo)平面平行，故選：C．二、多選題5．（2023春·河南南陽·高二社旗縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知向量是平面的一個法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則下列點(diǎn)也在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】記選項中的四個點(diǎn)依次為A，B，C，D，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算驗證，，，是否與垂直即可．【詳解】記選項中的四個點(diǎn)依次為A，B，C，D，則，，，，又，，故與不垂直，故A錯誤；，故與垂直，故B正確；，故與垂直，故C正確；，故與垂直，故D正確；故選：BCD.三、填空題6．（2022秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）若平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，且，則，．【答案】【分析】根據(jù)兩個平面平行，可得其法向量也平行，由共線向量定理，列方程求解得答案.【詳解】因為平面，所以其法向量，故，所以，解得.故答案為：①；②.7．（2023春·江蘇南京·高二金陵中學(xué)校考期中）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BC、的中點(diǎn)，P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面AEF，點(diǎn)P的軌跡長度為．【答案】/【分析】利用坐標(biāo)法，根據(jù)線面平行和面面平行的判定及性質(zhì)找出的軌跡，根據(jù)軌跡特點(diǎn)可求答案.【詳解】如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則;所以,,;故，即，又平面，平面，所以平面，同理可得平面，又平面，所以平面平面；因為P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），平面AEF，所以點(diǎn)P必在線段MN上，即點(diǎn)P的軌跡為MN，所以點(diǎn)P的軌跡長度為．故答案為：.四、解答題8．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，求證：.【答案】證明見解析.【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運(yùn)算，計算判斷與共線即可推理作答.【詳解】（方法1）因為M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，則有，又，兩式相加得：，因此與共線，而直線與不重合，所以.（方法2）因為M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，，因此與共線，而直線與不重合，所以.9．（2022秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，M，N，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，連接．(1)證明：平面；(2)證明：E，F(xiàn)，N，M四點(diǎn)共面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量平行的性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)空間共面定理進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）設(shè)正方體的棱長為2，如圖建立空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，，，則，，，則有，故，因為平面，平面，則有平面；（2），，，則有，則向量、、共面，必有E，F(xiàn)，N，M四點(diǎn)共面10.（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，已知空間幾何體的底面ABCD是一個直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD與底面成角．

(1)若，求該幾何體的體積；(2)若AE垂直PD于E，證明：；(3)在（2）的條件下，PB上是否存在點(diǎn)F