1第二章

經典單方程計量經濟學模型：

一元線性回歸模型

線性回歸的基本思想：

雙變量模型2線性回歸的基本思想：雙變量模型回歸分析概述參數(shù)估計模型檢驗模型預測回歸分析構成計量經濟學的方法論基礎3線性回歸的基本思想：雙變量模型

本節(jié)課的內容回歸分析的含義總體回歸函數(shù)樣本回歸函數(shù)總體回歸模型回歸分析的目的樣本回歸模型隨機誤差項的性質二、參數(shù)估計一、回歸分析概述最小二乘原理OLS下如何進行參數(shù)估計4一、回歸分析的含義變量間的關系回歸分析的含義回歸分析的主要內容線性回歸分析的“特殊”含義從雙變量到多變量的線性回歸5變量間的關系6確定性關系或函數(shù)關系統(tǒng)計依賴或相關關系經濟變量之間的關系相關分析回歸分析線性關系非線性關系變量間的關系7相關分析(correlationanalysis):對稱地對待任何（兩個）變量，兩個變量都被看作是隨機的回歸分析

(regressionanalysis):對變量的處理方法存在不對稱性，即區(qū)分應變量（被解釋變量）和自變量（解釋變量）：前者是隨機變量，后者不是回歸分析/相關分析研究一個變量對另一個（些）變量的統(tǒng)計依賴關系，但它們并不意味著一定有因果關系被解釋變量（因變量）解釋變量（自變量）回歸分析情況下隨機變量非隨機變量因果關系的判定或推斷必須建立在經實踐檢驗的相關理論基礎之上8是用于研究一個變量與另一個（些）變量的具體依賴關系的計算方法和理論。被解釋變量（因變量）Y解釋變量（自變量）X1、X2、……目的：在于通過自變量的已知或設定值，去估計和（或）預測因變量的（總體）均值。估計預測農作物的產量示例：回歸分析(regressionanalysis)的含義9“線性”回歸的特殊含義變量線性參數(shù)線性應變量的條件均值是自變量的線性函數(shù)應變量的條件均值是參數(shù)的線性函數(shù)，變量之間并不一定是線性的線性回歸是指參數(shù)線性的回歸（即參數(shù)僅以一次方的形式出現(xiàn)在模型中），而解釋變量并不一定是線性的。2023/10/15計量經濟學講義10“線性”的含義“線性”可作為兩種解釋：對變量的線性和對參數(shù)的線性。本課“線性”回歸一詞總是指對參數(shù)

為線性的一種回歸（即參數(shù)只以它的1次方出現(xiàn)）。2023/10/15計量經濟學講義11線性回歸的特殊含義:2023/10/15計量經濟學講義126.6:“線性”特殊含義：一解釋變量的線性:是被解釋變量y與解釋變量x之間為線性關系，即解釋變量x僅以一次方的形式出現(xiàn)在模型之中。用數(shù)學語言表示為：二是被解釋變量x與參數(shù)之間為線性關系，即參數(shù)僅以一次方的形式出現(xiàn)在模型之中。用數(shù)學語言表示為：在經濟計量學中，我們更關心被解釋變量y與參數(shù)之間的線性關系。因為只要被解釋變量y與參數(shù)之間2023/10/15計量經濟學講義13為線性關系，即使被解釋變量y與解釋變量x之間不為線性關系，我們也可以通過變量替換方便地將其化為線性。例如，模型就屬于被解釋變量y與解釋變量x之間不為線性關系的情形，如果我們令，此時非線性模型就變成線性模型了。三、一元線性回歸模型中隨機項的假定在給定樣本觀測值（樣本值），1,2,3,…,n后，為了估計（2.1.5）式的參數(shù)和，必須對隨機項做出某些合理的假定。這些假定通常稱為古典假設。

2023/10/15計量經濟學講義14“線性”的含義Y=

1+

2X+u是線性的！lnY=

1+

2lnX+u也是線性的！Y=

1ln(

2X+u）不是線性的！15從雙變量回歸到多元線性回歸16（1）根據(jù)自變量的取值，估計應變量的均值。即根據(jù)樣本觀察值對經濟計量模型參數(shù)進行估計，求得回歸方程；（2）對回歸方程、參數(shù)估計值進行顯著性檢驗；（3）根據(jù)樣本外自變量的取值，預測應變量的均值。即利用回歸方程進行分析、評價及預測。

回歸分析的主要內容估計檢驗預測17例2.1：背景介紹

SAT是ScholasticAptitudeTest，是美國高中生的所謂“高考”，在高中的最后兩年，大部分美國學生都要參加這一考試，但能否讀四年制大學并不取決于一個SAT分數(shù)。SAT由美國的CollegeBoard舉辦，在美國領土上每年舉辦7次，其它地方每年6次。考試用英語。SAT包括三種測試:1、CriticalReading：閱讀；2、Math：數(shù)學；3、Writing：寫作。二、總體回歸函數(shù)18例2.1：假定我們感興趣的是學生的家庭年收入與其數(shù)學分數(shù)有怎樣的關系。家庭年收入X數(shù)學分數(shù)Y70000~80000美元20000~30000美元30000~40000美元40000~50000美元<10000美元50000~60000美元60000~70000美元10000~20000美元80000~90000美元>100000美元收入變量X分為10組19一個家庭年收入5000美元的學生，其數(shù)學分數(shù)為460，X=5000，Y1=460;另一家庭年收入為5000美元的學生，其數(shù)學分數(shù)為470，X=5000，Y1=470……。這10個家庭收入為5000美元的學生，其數(shù)學平均分數(shù)為452。20Y1|X=5000=460；Y2|X=5000=470；Y3|X=5000=460；Y4|X=5000=420；Y5|X=5000=440；Y6|X=5000=500；Y7|X=5000=420；Y8|X=5000=410；Y9|X=5000=450；Y10|X=5000=490E(Y|X1=5000)=452同理：E(Y|X2=15000)=475同理：E(Y|X3=25000)=478同理：E(Y|X4=25000)=478同理：E(Y|X5=35000)=488……………同理：E(Y|X10=150000)=552（家庭收入、數(shù)學分數(shù)的條件均值）（家庭收入，數(shù)學分數(shù)值）做散點圖21圖2-1家庭年收入與數(shù)學S.A.T分數(shù)學分數(shù)值數(shù)學分數(shù)的條件均值總體回歸線：條件均值的連線22由于圖2-1的總體回歸線近似線性，因此可表達為一線性函數(shù)：其中，

0，

1是未知參數(shù)，稱為回歸系數(shù)（regressioncoefficients）。總體回歸函數(shù)

1是斜率，它表示X每變動一個單位，Y（條件）均值的變化率。例：如果1=0.001，表示家庭收入每增加1千美元，預期數(shù)學平均分會提高1分。確定性非隨機總體回歸函數(shù)23這意味著Y依賴于X，也稱為Y對X的回歸。即給定X的條件下，Y分布的均值；或者說，總體回歸線穿過Y的條件期望值。因此，嚴格地說，回歸分析是條件回歸分析，關注的是在給定自變量取值條件下應變量的變化。24三、總體回歸模型（總體回歸函數(shù)的統(tǒng)計或隨機設定）如何解釋個體學生分數(shù)與收入的關系呢？個體數(shù)學分數(shù)=這一組的平均分+（-）某個值隨機誤差項總體回歸函數(shù)的統(tǒng)計或隨機設定總體回歸模型如何理解該式？是一隨機變量，其值無法先驗確定，通常用概率分布描述隨機變量25系統(tǒng)或確定性成分非系統(tǒng)或確定性隨機成分系統(tǒng)或確定性成分（452）非系統(tǒng)或隨機成分（18）（528）（-28）26表示在給定收入水平X下，該組學生的數(shù)學平均分。表示由于誤差項的存在，個人數(shù)學分數(shù)在均值附近是如何變動的。確定或非隨機總體回歸函數(shù)（總體回歸函數(shù)）隨機或統(tǒng)計總體回歸函數(shù)（總體回歸模型）27總體回歸函數(shù)說明在給定的收入水平Xi下，該組的數(shù)學平均分。但對該組某一個別的學生，其數(shù)學分數(shù)可能與該組平均分數(shù)有偏差。稱

i為觀察值Yi圍繞它的期望值E(Y|Xi)的離差（deviation），是一個不可觀測的隨機變量，又稱為隨機干擾項（stochasticdisturbance）或隨機誤差項（stochasticerror）。記四、隨機誤差項281）在解釋變量中被忽略的因素的影響；如個人健康狀況、居住區(qū)域、學校開設的數(shù)學課程等因素。2）變量觀測值的觀測誤差的影響；3）即使模型中包含了所有解釋變量，但其內在隨機性不可避免，這是做任何努力都無法解釋的。因為，人類的行為存在內在隨機性；4）其它隨機因素的影響。奧卡姆剃刀原則。即模型是現(xiàn)實的簡化，描述應盡可能簡單，只要不遺漏重要的信息。隨機誤差項主要包括下列因素的影響：29如何得到總體回歸函數(shù)中呢？五、樣本回歸函數(shù)（SRF）如果已知表2-1的全體數(shù)據(jù)，則很容易得到總體回歸線如果僅僅有來自總體的一個樣本，則可根據(jù)樣本信息估計總體回歸函數(shù)30五、樣本回歸函數(shù)（SRF）31實際中很少能獲得整個總體的數(shù)據(jù)，通常，僅僅有來自總體的某一個樣本。問題：能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？五、樣本回歸函數(shù)（SRF）32根據(jù)表2-2、表2-3的數(shù)據(jù)做散點圖（scatterdiagram)：樣本回歸線K個不同的樣本可得到K條不同的樣本回歸線33

記樣本回歸線的函數(shù)形式為：稱為樣本回歸函數(shù)（sampleregressionfunction，SRF）五、樣本回歸函數(shù)（SRF）34

這里將樣本回歸線看成總體回歸線的近似替代則

注意：五、樣本回歸函數(shù)（SRF）35同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機形式：

由于方程中引入了隨機項，成為計量經濟模型，因此也稱為樣本回歸模型（sampleregressionmodel）。

六、樣本回歸函數(shù)的隨機形式/樣本回歸模型36

根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF即，根據(jù)

估計七、回歸分析的目的PRFSRF估