學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2016-2017學年福建省廈門六中高二（下）期中數學試卷（理科）一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的）1．若復數z=(x2﹣1）+(x﹣1）i為純虛數，則實數x的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或12．利用反證法證明：“若x2+y2=0，則x=y=0"時，假設為(）A．x,y都不為0 B．x≠y且x，y都不為0C．x≠y且x，y不都為0 D．x，y不都為03．甲、乙兩人獨立地對同一目標各射擊一次，命中率分別為0。6和0。5，現已知目標被擊中，則它是被甲擊中的概率為（）A．0.45 B．0。6 C．0。65 D．0。754．設a=，b=﹣，c=﹣,則a,b，c的大小關系是()A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．由曲線y=，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為（）A． B．4 C． D．66．用數歸納法證明“當n為正奇數時，xn+yn能被x+y整除”，在第二步時，正確的設法是（）A．設n=k（k∈N＊）正確，再推n=k+1時正確B．設n=k(k∈N＊）正確，再推n=2k+1時正確C．設n=k（k∈N*）正確，再推n=k+2時正確D．設n=2k+1（k∈N＊）正確，再推n=2k﹣1時正確7．在二項式的展開式中存在常數項，則n的值不可能為（）A．12 B．8 C．6 D．48．一個壇子里有編號為1，2，…,12的12個大小相同的球，其中1到6號球是紅球，其余的是黑球，若從中任取兩個球，則取到的都是紅球，且至少有1個球的號碼是偶數的概率是(）A． B． C． D．9．某企業有4個分廠，新培訓了一批6名技術人員，將這6名技術人員分配到各分廠，要求每個分廠至少1人,則不同的分配方案種數為(）A．1080 B．480 C．1560 D．30010．5的展開式中，x5y2的系數為（)A．10 B．20 C．30 D．6011．A、B兩籃球隊進行比賽，規定若一隊勝4場則此隊獲勝且比賽結束（七局四勝制)，A、B兩隊在每場比賽中獲勝的概率均為，ξ為比賽需要的場數,則Eξ=(）A． B． C． D．12．若函數f(x）=x（lnx﹣ax）在區間（0，e)上有兩個不同的極值點,則實數a的取值范圍是（）(e是自然對數的底數）A． B． C． D．二、填空題:（本大題共4小題,每小題5分，共20分）13．復數的共軛復數是．14．3位男生和3位女生共6位同學站成一排,若3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是．15．已知曲線在x=0處的切線與曲線g（x）=﹣lnx相切，則實數a=．16．計算，可以采用以下方法：構造恒等式，兩邊對x求導，得，在上式中令x=1，得．類比上述計算方法，計算=．三、解答題：（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）甲、乙兩個袋子中，各放有大小、形狀和個數相同的小球若干．每個袋子中標號為0的小球為1個，標號為1的2個,標號為2的n個．從一個袋子中任取兩個球,取到的標號都是2的概率是．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）從甲袋中任取兩個球，已知其中一個的標號是1的條件下,求另一個標號也是1的概率．18．（12分）在的展開式中，前三項的系數成等差數列．(Ⅰ）求展開式中含有x的項的系數；（Ⅱ）求展開式中的有理項．19．（12分）已知2件次品和3件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區分,每次隨機一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束．（Ⅰ）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（Ⅱ)已知每檢測一件產品需要費用100元，設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位：元）,求X的分布列和均值（數學期望)20．（12分)已知f(x)=xlnx+mx,g（x）=﹣x2+ax﹣3．(1）若函數f(x）在（1，+∞）上為單調函數,求實數m的取值范圍;（2）若當m=0時，對任意x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立,求實數a的取值范圍．21．（12分)某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲，乙兩個抽獎方案供員工選擇．方案甲：員工最多有兩次抽獎機會，每次抽獎的中獎率均為，第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結束，若中獎，則通過拋一枚質地均勻的硬幣，決定是否繼續進行第二次抽獎,規定：若拋出硬幣,反面朝上,員工則獲得500元獎金，不進行第二次抽獎；若正面朝上，員工則須進行第二次抽獎，且在第二次抽獎中，若中獎，則獲得1000元；若未中獎，則所獲得獎金為0元．方案乙：員工連續三次抽獎,每次中獎率均為,每次中獎均可獲得獎金400元．（Ⅰ）求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X（元）的分布列；（Ⅱ)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎，哪個方案更劃算？22．（12分）已知函數．（1）當時，如果函數g（x）=f（x）﹣k僅有一個零點，求實數k的取值范圍；(2）當a=2時，試比較f(x）與1的大小；(3)求證：（n∈N*）．

2016—2017學年福建省廈門六中高二（下)期中數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題意要求的）1．若復數z=(x2﹣1)+（x﹣1）i為純虛數，則實數x的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1【考點】A2:復數的基本概念．【分析】復數z=（x2﹣1）+（x﹣1)i為純虛數，復數的實部為0，虛部不等于0，求解即可．【解答】解:由復數z=（x2﹣1）+（x﹣1）i為純虛數,可得x=﹣1故選A．【點評】本題考查復數的基本概念，考查計算能力，是基礎題．2．利用反證法證明：“若x2+y2=0，則x=y=0”時，假設為（)A．x，y都不為0 B．x≠y且x，y都不為0C．x≠y且x，y不都為0 D．x，y不都為0【考點】R9：反證法與放縮法．【分析】根據用反證法證明數學命題的方法，應先假設要證命題的否定成立，求得要證命題的否定，可得答案．【解答】解：根據用反證法證明數學命題的方法,應先假設要證命題的否定成立,而要證命題的否定為“x，y不都為0"，故選D．【點評】本題主要考查用反證法證明數學命題的方法和步驟，求一個命題的否定，屬于基礎題．3．甲、乙兩人獨立地對同一目標各射擊一次,命中率分別為0。6和0.5，現已知目標被擊中，則它是被甲擊中的概率為（)A．0.45 B．0。6 C．0。65 D．0。75【考點】CM：條件概率與獨立事件．【分析】根據題意，記甲擊中目標為事件A,乙擊中目標為事件B，目標被擊中為事件C，由相互獨立事件的概率公式,計算可得目標被擊中的概率，進而由條件概率的公式，計算可得答案．【解答】解：根據題意，記甲擊中目標為事件A，乙擊中目標為事件B,目標被擊中為事件C，則P（C）=1﹣P（）P（）=1﹣(1﹣0。6）(1﹣0。5)=0。8；則目標是被甲擊中的概率為P==0。75;故選D．【點評】本題考查條件概率的計算，是基礎題，注意認清事件之間的關系，結合條件概率的計算公式正確計算即可．4．設a=，b=﹣，c=﹣，則a，b，c的大小關系是（)A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考點】72：不等式比較大小．【分析】利用有理化因式和不等式的性質即可得出．【解答】解:=，．∵，∴，∴b＜c．∵=4，∴．即c＜a．綜上可得：b＜c＜a．故選：B．【點評】本題考查了有理化因式和不等式的性質，屬于基礎題．5．由曲線y=，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為（)A． B．4 C． D．6【考點】6G：定積分在求面積中的應用．【分析】利用定積分知識求解該區域面積是解決本題的關鍵，要確定出曲線y=，直線y=x﹣2的交點，確定出積分區間和被積函數，利用導數和積分的關系完成本題的求解．【解答】解：聯立方程得到兩曲線的交點（4,2），因此曲線y=，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為：S=．故選C．【點評】本題考查曲邊圖形面積的計算問題，考查學生分析問題解決問題的能力和意識,考查學生的轉化與化歸能力和運算能力，考查學生對定積分與導數的聯系的認識,求定積分關鍵要找準被積函數的原函數，屬于定積分的簡單應用問題．6．用數歸納法證明“當n為正奇數時，xn+yn能被x+y整除”，在第二步時，正確的設法是（）A．設n=k（k∈N*）正確，再推n=k+1時正確B．設n=k(k∈N*）正確，再推n=2k+1時正確C．設n=k（k∈N*）正確，再推n=k+2時正確D．設n=2k+1（k∈N＊）正確，再推n=2k﹣1時正確【考點】RG：數學歸納法．【分析】根據連續正奇數的差為2得出正確選項．【解答】解:由于連續正奇數相差為2,故在假設n=k成立時，應推導n=k+2成立即可．故選C．【點評】本題考查了數學歸納法的證明步驟,屬于基礎題．7．在二項式的展開式中存在常數項，則n的值不可能為（）A．12 B．8 C．6 D．4【考點】DB：二項式系數的性質．【分析】求出展開式的通項，化簡后，從x的指數分析解答．【解答】解：二項式的展開式通項為=,因為二項展開式中存在常數項，所以3n﹣4r=0成立,所以n的值不可能為6；故選：C．【點評】本題考查了二項展開式的特征項求法;關鍵是正確寫出展開式的通項，化簡后從字母的指數進行分析．8．一個壇子里有編號為1,2,…，12的12個大小相同的球，其中1到6號球是紅球，其余的是黑球，若從中任取兩個球,則取到的都是紅球，且至少有1個球的號碼是偶數的概率是（）A． B． C． D．【考點】C7:等可能事件的概率．【分析】從中任取兩個球共有C122=66種取法,其中取到的都是紅球有C62種取法，至少有1個球的號碼是偶數的取法有C62﹣C32=12種取法，根據古典概型公式得到結果．【解答】解：從中任取兩個球共有C122=66種取法，其中取到的都是紅球，且至少有1個球的號碼是偶數的取法有C62﹣C32=12種取法，∴概率為，故選D．【點評】本題考查古典概型，理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，掌握列舉法,還要應用排列組合公式熟練，學會運用數形結合、分類討論的思想解決概率的計算問題．9．某企業有4個分廠，新培訓了一批6名技術人員，將這6名技術人員分配到各分廠，要求每個分廠至少1人，則不同的分配方案種數為（）A．1080 B．480 C．1560 D．300【考點】D3：計數原理的應用．【分析】先把6名技術人員分成4組,每組至少一人,再把這4個組的人分給4個分廠，利用乘法原理，即可得出結論．【解答】解：先把6名技術人員分成4組，每組至少一人．若4個組的人數按3、1、1、1分配，則不同的分配方案有=20種不同的方法．若4個組的人數為2、2、1、1，則不同的分配方案有?=45種不同的方法．故所有的分組方法共有20+45=65種．再把4個組的人分給4個分廠，不同的方法有65=1560種，故選：C．【點評】本題考查組合知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確分組是關鍵．10．(x2+x+y）5的展開式中，x5y2的系數為（）A．10 B．20 C．30 D．60【考點】DC：二項式定理的應用．【分析】利用展開式的通項，即可得出結論．【解答】解:（x2+x+y）5的展開式的通項為Tr+1=，令r=2,則（x2+x）3的通項為=，令6﹣k=5，則k=1,∴（x2+x+y）5的展開式中，x5y2的系數為=30．故選：C．【點評】本題考查二項式定理的運用，考查學生的計算能力，確定通項是關鍵．11．A、B兩籃球隊進行比賽，規定若一隊勝4場則此隊獲勝且比賽結束(七局四勝制）,A、B兩隊在每場比賽中獲勝的概率均為，ξ為比賽需要的場數，則Eξ=（)A． B． C． D．【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差．【分析】先確定比賽需要的場數ξ的取值，求出相應的概率，即可求得數學期望．【解答】解：由題設知，比賽需要的場數ξ為4，5，6，7．p(ξ=4)=(）4+(）4=；p（ξ=5）=2×=；p（ξ=6）=2=p（ξ=7）=2=∴Eξ=4×+5×+6×+7×=故選B．【點評】本題考查離散型隨機變量的數學期望，考查學生的運算能力,確定變量的取值,求出相應的概率是關鍵．12．若函數f（x)=x（lnx﹣ax)在區間（0，e）上有兩個不同的極值點,則實數a的取值范圍是（）(e是自然對數的底數）A． B． C． D．【考點】6D:利用導數研究函數的極值．【分析】求出函數的導數，通過導數判斷a的范圍，列出不等式組，即可求出實數a的取值范圍．【解答】解：令g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+1，則方程g（x）=0在(0，e）上有兩個不等實根，因為=0有解，故a＞0,從而，∴，解得．故選：D．【點評】本題考查函數的導數的應用,二次求導的應用,考查轉化思想以及計算能力．二、填空題：（本大題共4小題,每小題5分，共20分）13．復數的共軛復數是．【考點】A2:復數的基本概念．【分析】復數的分母實數化，然后求出共軛復數即可．【解答】解：因為復數===，它的共軛復數為:．故答案為:．【點評】他考查復數的基本概念的應用,復數的化簡,考查計算能力．14．3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是432．【考點】D9：排列、組合及簡單計數問題．【分析】從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A,剩下一名女生記作B,將A,B插入到3名男生全排列后所成的4個空中的2個空中，問題得以解決．【解答】解:從3名女生中任取2人“捆"在一起記作A，（A共有C32A22=6種不同排法)，剩下一名女生記作B，將A，B插入到3名男生全排列后所成的4個空中的2個空中，故有C32A22A42A33=432種,故答案為：432【點評】本題考查排列組合的運用,當題目中有限制的條件有兩個，注意解題時要分清兩個條件所指．15．已知曲線在x=0處的切線與曲線g（x）=﹣lnx相切，則實數a=．【考點】6H:利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】求出函數f（x)的導函數,得到f′（0）=a，再求得f（0)，寫出直線方程的點斜式，設切線切曲線g（x）=﹣lnx于點(x0，﹣lnx0），求出g′（x)，可得關于a，x0的方程組,求解得答案．【解答】解：由，得f′（x）=3x2+a，則f′（0）=a，又f(0)=,∴曲線在x=0處的切線方程為y﹣，即y=ax+．設直線y=ax+與曲線g（x）=﹣lnx的切點為（x0，﹣lnx0），由g′(x）=，得g′(x0）=,則，由①得,代入②得：,∴，則，∴a==．故答案為:．【點評】本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數在該點處的導數值,是中檔題．16．計算，可以采用以下方法：構造恒等式，兩邊對x求導，得，在上式中令x=1,得．類比上述計算方法,計算=n（n+1）?2n﹣2．【考點】F3：類比推理．【分析】對Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n(1+x)n﹣1，兩邊同乘以x整理后再對x求導，最后令x=1代入整理即可得到結論．【解答】解：對Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1，兩邊同乘以x得：xCn1+2Cn2x2+3Cn3x3+…+nCnnxn=n?x?（1+x）n﹣1，再兩邊對x求導得到：Cn1+22Cn2x+32Cn3x2+…+n2Cnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1+n（n﹣1）x(1+x）n﹣2在上式中令x=1,得Cn1+22Cn2+32Cn3+…+n2Cnn=n?2n﹣1+n（n﹣1)?2n﹣2=n（n+1）2n﹣2．故答案為：n（n+1）2n﹣2．【點評】本題主要考查二項式定理的應用．是道好題,解決問題的關鍵在于對Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1，兩邊同乘以x整理后再對x求導,要是想不到這一點,就變成難題了．三、解答題：（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．(10分）（2017春?思明區校級期中）甲、乙兩個袋子中，各放有大小、形狀和個數相同的小球若干．每個袋子中標號為0的小球為1個,標號為1的2個，標號為2的n個．從一個袋子中任取兩個球，取到的標號都是2的概率是．（Ⅰ)求n的值；（Ⅱ）從甲袋中任取兩個球，已知其中一個的標號是1的條件下，求另一個標號也是1的概率．【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．【分析】(Ⅰ）利用等可能事件概率計算公式列出方程，能求出n．（Ⅱ）從甲袋中任取兩個球，設“其中一個球的標號是1”為事件A，“另一個球的標號也是1”為事件B，先求出P(A，再求出P（AB）,由此利用條件概率計算公式能求出已知其中一個的標號是1的條件下,另一個標號也是1的概率．【解答】解:(Ⅰ)∵袋子中標號為0的小球為1個，標號為1的2個，標號為2的n個．從中任取兩個球，取到的標號都是2的概率是．∴=,解得n=2．（Ⅱ）從甲袋中任取兩個球，設“其中一個球的標號是1"為事件A，“另一個球的標號也是1"為事件B,P(A）==,P(AB)==，∴已知其中一個的標號是1的條件下，另一個標號也是1的概率：P（B｜A)===．故答案為：．【點評】本題考查概率的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意條件概率的計算公式的合理運用．18．（12分）（2017春?思明區校級期中）在的展開式中，前三項的系數成等差數列．（Ⅰ）求展開式中含有x的項的系數;（Ⅱ）求展開式中的有理項．【考點】DC：二項式定理的應用．【分析】（I)根據前三項系數成等差數列計算n，再根據通項得出答案;（II)根據通項判斷x的次數為整數時對應的r，得出對應的項．【解答】解：（I)的展開式的通項Tr+1=（）n﹣r??（）r=?x，∴展開式的前三項系數分別為1，，,∴1+=n，解得n=1（舍）或n=8．令=1得r=4．∴展開式中含有x的項的系數為?=．（II)Tr+1=x，∴當r=0時，=4,T1=x4=x4．當r=4時,=1，T5=x=x．當r=8時，=﹣2，T9=x﹣2=．∴展開式中的有理項為x4,x；．【點評】本題考查了二項式定理,屬于中檔題．19．（12分）（2015?安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區分，每次隨機一件產品，檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束．（Ⅰ）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每檢測一件產品需要費用100元,設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位:元），求X的分布列和均值（數學期望）【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差;CG：離散型隨機變量及其分布列．【分析】（Ⅰ）記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品"為事件A，利用古典概型的概率求解即可．(Ⅱ）X的可能取值為:200,300，400．求出概率,得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解:（Ⅰ）記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，則P（A)==．（Ⅱ）X的可能取值為：200，300,400P(X=200）==．P(X=300）==．P（X=400)=1﹣P（X=200)﹣P(X=300)=．X的分布列為：X200300400PEX=200×+300×+400×=350．【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，考查計算能力．20．(12分）（2017春?思明區校級期中)已知f（x）=xlnx+mx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．(1）若函數f(x）在（1，+∞)上為單調函數，求實數m的取值范圍；（2)若當m=0時，對任意x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．【考點】6E：利用導數求閉區間上函數的最值；6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）求出函數的導數，根據函數的單調性得到關于m的不等式，解出即可；（2）問題轉化為對一切x∈（0，+∞）恒成立,設，根據函數的單調性求出h（x)的最小值,從而求出a的范圍即可．【解答】解：（1）f（x)定義域為（0，+∞）,f'(x)=lnx+（1+m），因為f（x)在（1，+∞)上為單調函數，則方程lnx+（1+m)=0在（1，+∞)上無實根,故1+m≥0，則m≤﹣1．（2）2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，則對一切x∈（0，+∞）恒成立．設，則，當x∈（0，1),h'(x）＜0，h（x）單調遞減，當x∈（1，+∞)，h'（x）＞0,h（x）單調遞增，h（x）在(0，+∞）上，有唯一極小值h(1），即為最小值，所以h(x）min=h(1）=4，因為對任意x∈（0，+∞)，2f（x）≥g（x）恒成成立，故a≤4．【點評】本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題,是一道中檔題．21．（12分）(2017?合肥一模)某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲，乙兩個抽獎方案供員工選擇．方案甲:員工最多有兩次抽獎機會,每次抽獎的中獎率均為,第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結束,若中獎，則通過拋一枚質地均勻的硬幣，決定是否繼續進行第二次抽獎，規定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎金，不進行第二次抽獎；若正面朝上，員工則須進行第二次抽獎，且在第二次抽獎中，若中獎,則獲得1000元；若未中獎，則所獲得獎金為0元．方案乙：員工連續三次抽獎,每次中獎率均為，每次中獎均可獲得獎金400元．（Ⅰ）求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X（元）的分布列；（Ⅱ）試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎，哪個方案更劃算？【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差；CG：離散型隨機變量及其分布列．【分析】（I）利用相互獨立事