第二章2.3.2圓的一般方程課程標準1.掌握圓的一般方程及其特點;2.能將圓的一般方程化為圓的標準方程;3.能熟練地指出圓心的位置和半徑的大小;4.能根據某些具體條件,用待定系數法確定圓的方程,并能解決相關實際問題;5.了解二元二次方程、圓的標準方程和圓的一般方程之間的關系.基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測基礎落實·必備知識全過關知識點1圓的一般方程圓的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,限制條件是

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過關自診已知方程x2+y2+x+y+m=0表示一個圓,則實數m的取值范圍為

.D2+E2-4F>0解析

由已知得1+1-4m>0,得m<.知識點2方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圖形

條件圖形D2+E2-4F<0不表示任何圖形D2+E2-4F=0表示一個點D2+E2-4F>0表示以

為圓心,為半徑的圓名師點睛圓的一般方程的辨析(1)由圓的一般方程的定義,若D2+E2-4F>0成立,則表示圓,否則不表示圓.(2)將方程配方后,根據圓的標準方程的特征求解.過關自診[人教A版教材習題]判斷下列方程分別表示什么圖形,并說明理由:(1)x2+y2=0;(2)x2+y2-2x+4y-6=0.解

(1)方程x2+y2=0表示一個點(0,0).(2)方程x2+y2-2x+4y-6=0可化為(x-1)2+(y+2)2=11,故表示圓心坐標是(1,-2),半徑是

的圓.重難探究·能力素養全提升探究點一判斷圓的方程【例1】

[北師大版教材例題]討論方程λ(x2+y2)=(x-3)2+y2表示的是怎樣的圖形.解

將原方程整理為(λ-1)x2+(λ-1)y2+6x-9=0.①當λ=1時,方程①是一元一次方程6x-9=0,表示與x軸垂直的直線.當λ<0時,方程②無解,故原方程不表示任何圖形;規律方法

判斷方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圓的方法

變式訓練1[人教A版教材習題]判斷方程x2+y2+2ax-b2=0表示什么圖形,并說明理由.解

方程x2+y2+2ax-b2=0可化為(x+a)2+y2=a2+b2.當a2+b2≠0時,原方程表示圓心坐標是(-a,0),半徑是

的圓;當a2+b2=0,即a=0且b=0時,方程x2+y2+2ax-b2=0表示一個點(0,0).探究點二求圓的一般方程【例2】

已知點A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圓的一般方程;(2)若點M(a,2)在△ABC的外接圓上,求實數a的值.解

(1)設△ABC外接圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題意,得

故△ABC的外接圓的一般方程為x2+y2-8x-2y+12=0.(2)由(1)知,△ABC的外接圓的方程為x2+y2-8x-2y+12=0.∵點M(a,2)在△ABC的外接圓上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或a=6.變式探究若本例中將“點C(3,-1)”改為“圓C過A,B兩點且圓C關于直線y=-x對稱”,其他條件不變,如何求圓C的方程?規律方法

應用待定系數法求圓的方程時應注意的問題(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心坐標或半徑列方程,那么一般采用圓的標準方程,用待定系數法求出a,b,r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系,那么一般采用圓的一般方程,用待定系數法求出常數D,E,F.變式訓練2[北師大版教材習題]已知圓經過A(0,2),B(-1,1)兩點,且圓心在直線x+2y-1=0上,求圓的方程.所以圓的方程為x2+y2-2x-4=0.探究點三求動點的軌跡方程問題【例3】

如圖,已知線段AB的中點C的坐標是(4,3),端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動,求線段AB的端點B的軌跡方程.解

設點B的坐標是(x,y),點A的坐標是(x0,y0).因為點C的坐標是(4,3)且C是

把①代入②,得(8-x+1)2+(6-y)2=4,整理得(x-9)2+(y-6)2=4,所以點B的軌跡方程為(x-9)2+(y-6)2=4.規律方法

與圓有關的軌跡問題可結合圓的有關性質解決,解決的方法可以是直接法、定義法、相關點代入法等.(1)直接法:根據題設,建立適當的平面直角坐標系,設出動點坐標,并找出動點坐標所滿足的關系式;(2)定義法:當動點的軌跡符合圓的定義時,可利用定義寫出點的軌跡方程;(3)相關點代入法:若動點P(x,y)因為已知圓上的另一動點Q(x1,y1)而運動,且x1,y1可用x,y表示,則用x,y表示出x1,y1,并將點Q的坐標代入已知圓的方程,求得動點P的軌跡方程.變式訓練3已知點P在圓C:x2+y2-8x-6y+21=0上運動,求線段OP(O為坐標原點)的中點M的軌跡方程.解

(方法一)設點M(x,y),點P(x0,y0),(方法二)設點M的坐標為(x,y),連接OC,PC,取線段OC的中點A,連接MA.圓C的方程可化為(x-4)2+(y-3)2=4,圓心C(4,3),|CP|=2,則點A的坐標為如圖所示,在△OCP中,M,A分別是OP,OC的中點,則|MA|=|CP|,即|MA|=1.又當O,C,P三點共線時,|MA|=1,所以點M的軌跡是以A為圓心,1為半徑的圓,成果驗收·課堂達標檢測12341.若圓的一般方程為x2+y2+6x+6=0,則該圓的圓心坐標和半徑分別是(

)D12342.[2023江西萬載高一階段練習]直線l經過圓C:x2+y2-2x+2y+1=0的圓心C,A1234解析

整理圓的方程可得(x-1)2+(y+1)2=1,∴圓心C(1,-1).12343.若x2+y2-2x+y+k=0是圓的方程,則實數k的取值范圍是

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12344.經過點