第二篇經典專題突破?核心素養提升專題三立體幾何第3講立體幾何與空間向量空間向量是將空間幾何問題坐標化的工具，是常考的重點，作為求解空間角的有力工具，通常在解答題中進行考查，屬于中等難度．考情分析自主先熱身真題定乾坤核心拔頭籌考點巧突破自主先熱身真題定乾坤1．(2021·全國乙卷)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M為BC中點，且PB⊥AM.(1)求BC；(2)求二面角A－PM－B的正弦值．真題熱身【解析】

(1)連接BD，因為PD⊥底面ABCD，且AM?平面ABCD，則AM⊥PD，又AM⊥PB，PB∩PD＝P，PB，PD?平面PBD，所以AM⊥平面PBD，又BD?平面PBD，則AM⊥BD，所以∠ADB＋∠DAM＝90°，(2)因為DA，DC，DP兩兩垂直，故以點D為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示，【解析】(1)證明：在四邊形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因為CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，所以四邊形ABCD為等腰梯形，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD，因為PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD，又因為PA?平面PAD，所以BD⊥PA.(1)求A到平面A1BC的距離；(2)設D為A1C的中點，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值．(2)取A1B的中點E，連接AE，如圖，因為AA1＝AB，所以AE⊥A1B，又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，且AE?平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，由BC?平面A1BC，BC?平面ABC可得AE⊥BC，BB1⊥BC，又AE，BB1?平面ABB1A1且相交，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC，BA，BB1兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標系，如圖，4．(2022·全國乙卷)如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點．(1)證明：平面BED⊥平面ACD；(2)設AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．【解析】

(1)證明：因為AD＝CD，E為AC的中點，所以AC⊥DE；在△ABD和△CBD中，因為AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，又因為E為AC的中點，所以AC⊥BE；又因為DE，BE?平面BED，DE∩BE＝E，所以AC⊥平面BED，因為AC?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.5．(2022·浙江卷)如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F－DC－B的平面角為60°.設M，N分別為AE，BC的中點．(1)證明：FN⊥AD；(2)求直線BM與平面ADE所成角的正弦值．【解析】

(1)過點E、D分別做直線DC、AB的垂線EG、DH并分別交于點G、H.∵四邊形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB∥DC，CD∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，由平面幾何知識易知，DG＝AH＝2，∠EFC＝∠DCF＝∠DCB＝∠ABC＝90°，則四邊形EFCG和四邊形DCBH是矩形，∴DC⊥平面BCF，∠BCF是二面角F－DC－B的平面角，則∠BCF＝60°，∴△BCF是正三角形，由DC?平面ABCD，得平面ABCD⊥平面BCF，∵N是BC的中點，∴FN⊥BC，又DC⊥平面BCF，FN?平面BCF，可得FN⊥CD，而BC∩CD＝C，∴FN⊥平面ABCD，而AD?平面ABCD，∴FN⊥AD.1．立體幾何考查知識點突出立體、空間線線、線面關系及線面角，面面關系以及二面角展開，解答題考查空間中平行垂直問題，利用空間向量求空間角．2．解答題多出現在第18，19題的位置，考查空間中平行、垂直的證明，利用空間向量求空間角，難度中等．感悟高考核心拔頭籌考點巧突破設直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2).平面α，β的法向量分別為u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同).(1)線線夾角考點一利用空間向量求空間角(1)求證：PA⊥BC；(2)設點E為PC的中點，求直線AE與平面PBC所成角的正弦值．典例1考向2二面角

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝PA＝1，AD＝2.(1)求證：平面PCD⊥平面PAC；(2)求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．典例2(2)過點B作BM⊥AD于M，以M為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，1．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，且PD⊥AB.(1)從下列兩個條件中任選一個條件證明：AB⊥平面PAD.①O是AD的中點，且BO＝CO；②AC＝BD.【解析】(1)證明：選擇條件②，∵四邊形ABCD為平行四邊形，且AC＝BD，∴四邊形ABCD為矩形，AB⊥AD.又∵AB⊥PD，且AD∩PD＝D，故AB⊥平面PAD.選擇條件①，在平行四邊形ABCD中，設N是BC的中點，連接ON，如圖，因為O是AD的中點，所以AB∥ON.又BO＝CO，所以ON⊥BC.所以AB⊥BC，又在平行四邊形ABCD中，BC∥AD，所以AB⊥AD.又AB⊥PD，且PD∩AD＝D，AD?平面PAD，PD?平面PAD，故AB⊥平面PAD.以O為坐標原點，ON，OD，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則A(0，－2，0)，B(2，－2，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，與空間向量有關的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關系；另一類是探究線面角或二面角滿足特定要求時的存在性問題．處理原則：先建立空間直角坐標系，引入參數(有些是題中已給出)，設出關鍵點的坐標，然后探究這樣的點是否存在，或參數是否滿足要求，從而作出判斷．考點二利用空間向量解決探究性問題

如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面A1C1CA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，AC與BD交于點O，∠ABC＝60°，AB＝AA1＝AC1＝2.(1)求證：C1O⊥平面ABCD；典例3【解析】(1)證明：∵AA1＝AC1，AA1＝CC1，∴AC1＝CC1，又O是AC的中點，∴C1O⊥AC，∵平面A1C1CA⊥平面ABCD，平面A1C1CA∩平面ABCD＝AC，C1O?平面A1C1CA，∴C1O⊥平面ABCD.(2)∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，以O為原點，OB，OC，OC1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．【素養提升】正確分析空間幾何體的特征，建立合適的空間直角坐標系，是解決此類問題的關鍵．(1)求證：BE⊥平面ACB1；(2)求二面角D1－AC－B1的余弦值；(3)在棱A1B1上是否存在點F，使得直線DF∥平面ACB1？若存在，求A1F的長；若不存在，請說明理由．【解析】(1)證明：因為A1A⊥底面ABCD，所以A1A⊥AC.又因為AB⊥AC，AA1∩AB＝A，且AA1，AB