2021年高考數學真題試卷(新高考I卷)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。(共8題；共40分)

1.設集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},則AnB=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}

2.已知z=2-i,則(z(X+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

3.已知圓錐的底面半徑為V2,其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為()

A.2B.2>/2C.4D.4夜

.下列區間中，函數)單調遞增的區間是()

4f(x)=7sin八(O

c/7r\cl3TT,3TTn

A.(0,5)V

B.(-,JT)C.(,3)0.(yz2H

5.已知F/2是橢圓C：大+乃=1的兩個焦點，點M在C上，則|MFI||MF2|的最大值為()

94

A.13B.12C.9D.6

什sin0(l+sin2()),、

6.右tan0=-2,則-----------=()

sin0+cos°

C

A.--B.--1D.-

555

7?若過點(a,b)可以作曲線y二ex的兩條切線，貝(J()

A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

8.有6個相同的球，分別標有數字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次,每次取1個球，甲表示事件"第一次

取出的球的數字是1",乙表示事件“第二次取出的球的數字是2",丙表示事件“兩次取出的球的數字之和

是8",丁表示事件"兩次取出的球的數字之和是7",則()

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

二、選擇題：本題共4小題。每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。(共4題；共20分)

9.有一組樣本數據xi,X2,...,Xn,由這組數據得到新樣本數據yi,y2,.,yn,其中yi=Xi+c(i=l,2,...,n),c為非零

常數，則()

A.兩組樣本數據的樣本平均數相同

B.兩組樣本數據的樣本中位數相同

C.兩組樣本數據的樣本標準差相同

D.兩組樣本數據的樣本極差相同

10.已知。為坐標原點，點Pi(cosa,sina),P2(cosB，-sinB),P3(cos(a+B),sin(a+B)),A(l,0),則()

A-1OPil=lopzlB-lAPil=IAP2IC0A0P=OPi0P2OA?OR=ow?opj

11.已知點P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上，點A(4,0),B(0,2),則()

A.點P到直線AB的距離小于10

B.點P到直線AB的距離大于2

C.當NPBA最小時，|PB|=3遮

D.當NPBA最大時，|PB|=3V2

12.在正三棱柱ABC-&B1G中，AB=A&=1,點P滿足麗=2品+N西，其中入00,1],fi

￡[0,1]）則（）

A.當入=1時，△ABrP的周長為定值

B.當口=1時，三棱錐P-AiBC的體積為定值

C.當入=g時，有且僅有一個點P,使得&P1BP

D.當y=g時，有且僅有一個點P,使得4B,平面ABiP

三、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分（共4題；共20分）

13.已知函數f（x）=x\a-2x-2-x）是偶函數，貝ija=

14.已知。為坐標原點，拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為F,P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸

上一點，且PQ_LOP,若|FQ|=6,則C的準線方程為

15.函數f（x）=|2x-l|-2lnx的最小值為

16.某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現此紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折。規格為20dmxl2dm

的長方形紙.對折1次共可以得到lOdmx2dm、20dmx6dm兩種規格的圖形，它們的面積之和Si=240

dm2,對折2次共可以得5dmxl2dm,lOdmx6dm,20dmx3dm三種規格的圖形，它們的面積之和

2

S2=180dmo以此類推.則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為；如果對折n次，那么

Sk=isk=dm.

四、解答題：本題共6小題，共70分。（共6題；共70分）

17.已知數列｛即｝滿足的=1,限1計+十1,：n為奇數

而+2,n為偶數

（1）記刈=。2我，寫出b，b2>并求數列｛%｝的通項公式；

（2）求｛an｝的前20項和

18.某學校組織“一帶一路"知識競賽，有A,B兩類問題?每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇類并從

中隨機抽U又一個問題I可答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一

個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0

分：B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分。

己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6.且能正確回答問題的概率與

回答次序無關。

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列：

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由。

19.記AABC的內角AB,C的對邊分別為a.,b.,c,已知b2=ac,點D在邊AC上，BDsinZABC=asinC.

（1）證明：BD=b：

(2)若AD=2DC.求coszABC.

AB=AD.O三棱錐A-BCD中.平面ABD_L平面BCD,AB=AD.O為BD的中點.

(1)證明：OAJLCD：

(2)若AOCD是邊長為1的等邊三角形.點E在棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小為45。，求三棱

錐A-BCD的體積.

.在平面直角坐標系中,己知點&(-點滿足.記的軌

21xOyV17,0),F2(V17,0),M|MFt|-|MF2|=2M

跡為C.

(1)求C的方程；

(2)設點T在直線x上，過T的兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點，且|TA|-|TB|=|TP|-|TQ|,

求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和

22.已知函數f(x)=x(1-lnx)

(1)討論f(x)的單調性

(2)設a,b為兩個不相等的正數，且blna-alnb=a-b證明：2〈。工

答案解析部分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。

1.B

【考點】交集及其運算

解：根據交集的定義易知ACB是求集合A與集合B的公共元素，即{2,3},

故答案為：B

【分析】根據交集的定義直接求解即可.

2.C

【考點】復數的基本概念，復數代數形式的混合運算

解:z(z+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i

故答案為：C

【分析】根據復數的運算，結合共挽復數的定義求解即可.

3.B

【考點】旋轉體(圓柱、圓錐、圓臺)

解：根據底面周長等于側面展開圖弧長，設母線為I,底面半徑為r,則有2”r=翳-x2n|

解得Z=2r=2V2

故答案為：B

【分析】根據底面周長等于側面展開圖弧長，結合圓的周長公式與扇形的弧長公式求解即可.

4.A

【考點】正弦函數的單調性

解：由一三+2knWx—三W三+2k冗得一三+2/c五<x<—4-2kn，kWZ,當k=0時，

26233

是函數的一個增區間，顯然(0,當,

\2)33

故答案為：A

【分析】根據正弦函數的單調性求解即可.

5.C

【考點】基本不等式在最值問題中的應用，橢圓的定義

22

解：由橢圓的定義可知a=9,b=4,|MFi|+|MF2|=2a=6,

則由基本不等式可得IMF1IIMF2KlMF1||M尸2|W曰)=9，

當且僅當|MFi|=|MFz|=3時，等號成立.

故答案為：C

【分析】根據橢圓的定義，結合基本不等式求解即可.

6.C

【考點】二倍角的正弦公式，同角三角函數間的基本關系，同角三角函數基本關系的運用

sin0(sin20+2sin0cos0+cos20)_sin0(sin0+cos0)2

解：原式==sin0(sin04-cos。)

sin8+cos。sin8+cos。

__sin20+sin0cos0_tan20+tan0_2

sin2^+cos20tan20+l5

故答案為：c

【分析】根據同角三角函數的基本關系，結合二倍角公式求解即可.

7.D

【考點】極限及其運算，利用導數研究曲線上某點切線方程

解：由題意易知，當x趨近于-8時，切線為X=O,當X趨近于+8時，切線為y=+8,因此切線的交點必位

于第一象限，且在曲線丫=0、的下方.

故答案為：D

【分析】利用極限，結合圖象求解即可.

8.B

【考點】相互獨立事件，相互獨立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率計算公式

解:設甲乙丙丁事件發生的概率分別為P(A),P(B),P(C),P(D),

則P(4)=P(B)=]P(C)=^=gP(0)=白=*,

對于A,P(AC)=O；

對于B,P(4D)=Wi

36

對于c,P(BC)=2=9

對于D,P(CD)=O.

若兩事件X,Y相互獨立，則P(XY)=P(X)P(Y),

故B正確.

故答案為：B

【分析】根據古典概型，以及獨立事件的概率求解即可

二、選擇題：本題共4小題。每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.C,D

【考點】眾數、中位數、平均數，極差、方差與標準差

解：對于A,元=2耳*，y=%=%+-:…+與+c=元+c,因為CWO,所以元力歹

故A錯誤；

對于B,若X1,X2,……,Xn的中位數為Xk,因為y產Xi+c,因為CNO,所以yiM,……M的中位數為

yk=Xk+cHXk,故B錯誤；

對于C,yizy2z……,yn的標準差為%=j—+G2—丫產+…(%—=

：+C)-叵+c)]2+[(%2+c)—叵+c)]2+???[On+c)-叵+C)]2

=；J(%1-y)2+(%2—3)2+…(Xn-y)2

sx,故c正確;

對于D,設樣本數據X1,X2,......,Xn中的最大為Xn,最小為X1,因為yi=Xi+C,所以y丫2,……心中的最大為

yn，最小為yi,

極差為yn-yi=(Xn+C)-(Xl+C)=Xn-Xl,故D正確.

故答案為：CD

【分析】根據平均數，中位數，標準差的定義求解即可.

10.A,C

【考點】平面向量數量積的坐標表示、模、夾角，平面向量數量積的運算，兩角和與差的余弦公式，兩角

和與差的正弦公式

22

解：|OPi|=A/COS2a+sin2a=1,\0P2\=-Jcos^+sin^=1，故A正確；

因為|ZPi|=J(cosa-1尸+sin2a=72—2cosa,\AP2\=J(cos0-]尸+si/。=J2—2cosB，故

B錯誤；

因為。4-0P3=1xcos(a+0)+0xsin(a+.)=cos(a+0),

OPi,0P2=cosacosjS-sinasinS=cos(a+夕),

所以&-0P3=oh.0P2

故C正確；

因為。4?OP】=1xcosa4-0xsina=cosa，

0P2?0P3=(cos/?,—sin/?)?(cos(a+°),sin(a+/?))=cos/?xcos(a+/?)+(—sin/?)xsin(a+/?)=

cos(a+2￡),

所以D錯誤

故答案為：AC.

【分析】根據向量的數量積，及向量的求模直接求解即可.

11.A,C,D

【考點】直線的截距式方程，點到直線的距離公式，直線與圓的位置關系

解：直線AB為：2+：=1，即x+2y-4=0,

設點P(5+4cos0,5+4sin。)，則點P到直線AB的距離為d=忖+切”乎+產的-留=11+4V號(e+a),則

11-4遍?

dmax=-<1°，^min

所以A正確B錯誤；

又圓心0為(5,5),半徑為4,則|0B|=J(5—0尸+(5—2]=V34，

所以當直線PB與圓相切時，NPBA取得最值，此時，\PB\=y/\OB\2-r2=V34-16=3VI

所以CD正確

故答案為：ACD.

【分析】根據直線的截距式，利用點到直線的距離公式，以及直線與圓的位置關系求解即可.

12.B,D

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積，直線與平面垂直的判定

解：由點P滿足PB=ABC+〃西可知點P在正方形BCCiBi內，

對于A,當入=1時，可知點P在CJ（包括端點）上運動，如下圖所示，ZkABiP中，ABX-y/2,AP-

4+〃2,B]P=Jl+（l-〃）2,

因此周長L=AB+AP+BiP不為定值，故A錯誤.

對于B,當n=l時，可知點P在BiCi（包括端點）上運動，如下圖所示,

易知BiCi〃平面AiBC,即點P到平面AiBC的距離處處相等，

△AiBC的面積是定值，所以三棱錐P-AiBC的體積為定值，故B正確；

B

對于C,當4=3時，分別取線段BB1,CC1的中點M,N,可知點P在線段DD1（包括端點）上運動，如

卜圖所示,

B

很顯然若點P與D,Di重合，均滿足題意，故C正確；

對于D,當4=1時，分別取線段BBi,CCi的中點D,Di,可知點P在線段DDi（包括端點）上運動,

如下圖所示，

此時，有且只有點P與點N重合時，滿足題意，故D正確.

故答案為：BD

【分析】根據三角形的周長，棱錐的體積的求法，利用特殊點進行判斷AB即可，根據線線垂直及線面垂直

的判定定理，利用特殊點進行判斷CD即可.

三、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.1

【考點】函數奇偶性的判斷，函數奇偶性的性質

解:設gM=a-2x-2-x，則題意可知函數g(x)為奇函數，則虱0$2。-2—,故a=l

故答案為：1

【分析】根據函數的奇偶性的判定，結合奇函數的性質求解即可.

x=--

14.2

【考點】直線的點斜式方程，拋物線的定義

解：由題意可設P?,p),=2,KQP=-i

因此直線PQ的方程為：y-p=—

令y=0,得x=|p

因此|FQI=|「-3=2P=6

則p=3

因此拋物線C的準線方程為：x=-^=-|

【分析】根據拋物線的定義及幾何性質，結合直線的方程求解即可.

15.1

【考點】利用導數研究函數的單調性，利用導數求閉區間上函數的最值，分段函數的應用

解：①當時，f(x)=2x-l-2lnx,則/'，(x)=2-|=與艾，

當X>1時，f'(X)>0,當g<X<l時，f'(X)<0,所以f(X)min=f(1)=1；

②當時，f(x)=l-2x-2lnx,則/>'(x)=-2-：=一^^<0,

此時函數f(x)=l-2x-2lnx在(0,j上為減函數，則f(x)min=fQ)=21n2>1,

綜上，f(x)min=l

故答案為：1

【分析】根據分段函數的定義，分別利用導數研究函數的單調性與最值，并比較即可求解

n+3

16.5；720-240--

【考點】數列的求和，類比推理

解：對折3次有2.5x12,6x5,3x10,20x1.5共4種,面積和為3=4x30=120dm2;

2

對折4次有1.25x12,2.5x6,3x5,1.5x10,20x0.75共5種，面積和為S4=5xl5=75dm;

對折n次有n+1中類型，S.=察⑺+1),

因此再=240.((+尹?..+噤),轉&=240.償+套+…+第，

上式相減，得”*=2處(1+專+專+…+/—裝勻=240(|一普)

則宓=240(3-詈)=720-240-

故答案為：5,720-240—

n

【分析】根據類比推理可求對折4次及對折n次的圖形種數，運用錯位相減法可求2S,.

k-1

四、解答題：本題共6小題，共70分。

17.(1)2n為偶數,

則a2n+l=a2n+2>?2n+2=a2n+l+1'

aa

2n+2=2n+3,即bn+1=bn+3,且瓦==a1+1=2,

???｛bn｝是以2為首項，3為公差的等差數列，

：?b]—2,/)2=5,bn~~371—1.

(2)當九為奇數時，an=an+1—1,

???｛冊｝的前20項和為

%+02----a2Q

=(%+Q3+…+Q19)+(@2++…+。20)

=[(a2-1)+(。4-1)■1----*■(。20-1)]+(。2+----1■。20)

=2(。2+@4+…+。20)—I。.

由(1)可知，

10x9

+…+a2o=瓦+與+…+bio=2X104---X3=155.

｛an｝的前20項和為2X155-10=300.

【考點】等差數列，等差數列的通項公式，數列的求和

【分析】(1)根據等差數列的定義及通項公式即可求解；

(2)運用分組求和法，結合項之間的關系即可求解.

18.(1)X的取值可能為0,20,100,

P(X=0)=1-0.8=0.2,

P(X=20)=0.8X(1-0.6)=0.32,

P(X=100)=0.8X0.6=0.48,

???X的分布列為

X020100

P0.20.320.48

(2)假設先答B類題，得分為丫，

則y可能為o,so,wo,

p(y=0)=1-0.6=0.4,

P(y=80)=0.6x(1-0.8)=0.12,

P(y=100)=0.6X0.8=0.48,

丫的分布列為

Y080100

P0.40.120.48

E(y)=0X0.4+80x0.12+100x0.48=57.6,

由(1)可知E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4,

???E(y)>E(X),

應先答B類題.

【考點】相互獨立事件的概率乘法公式，離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差

【分析】(I)根據獨立事件的概率，并列出X的分布列即可；

(2)根據獨立事件的概率，并列出丫的分布列，根據期望公式求得E(X),E(Y)并比較即可判斷.

19.(1)在4ABe中，

sin^ABCsinC

vBDsin^ABC=asinC,

...肚=-5—(2)

sinCsin^ABC'

聯立?②得翌=小，即ac=b?BO,

BDQ

vb2=ac,

:.BD=b.

(2)若4。=2DC,

△ABC中，cosC=az+'d③,

2ab

一a2+(1)2-b2

△BCD中，COSC=—④，

2a-

3

???(g)=@,

(a2+b2-c2)=3[a2+(1)2-b2],

整理得a2+b2~c2=3a2+--3b2,

3

2a2-—b2+c2=0,

3

vb2=ac，

QO

:.6a2—llac+3c2=0,即。=孑或。=鼻。，

若a=：時，b2=ac=^,

,“2”2f2^-+C2-lC27人

則cos^ABC=-------(舍)，

=——=T72="

2ac-c2-c6

若Q=|c，Z?2=ac=|c2,

a2+c2-b2沁/-

則cos^ABC1/=2=L

2ac3c2-3c212

【考點】正弦定理的應用，余弦定理的應用

【分析】(1)根據正弦定理求解即可;

(2)根據余弦定理，結合方程思想和分類討論思想求解即可.

20.(1)AB=AD,0為BD中點，

AO1BD,

???4。u面ABD,

面ABD1面BCD且面ABDn面BCD=BD,

■-■4。1面BCD,

：.AO1CD.

(2)以0為坐標原點，。。為y軸，。力為z軸，垂直OD且過。的直線為x軸,

設。弓1,0),。(0,1,0),8(0,-1,0),4(0,0?,,

??,EB=(O,,~BC=(y,|,0),

設西=Qi，yi，Zi)為面EBC法向量，

麗?元=-，-|吟-0

{BC-n7=yX1+|yx=0

2yl4-mz1=0

+y/3y1=0'

2

令％=1，**,zi=—~?%i=-V3?

**?五=(—V3,1,—?),

面BCD法向量為OA=(0,0,m)

cosgOQ=\—r=\=y,解得m=l,

m14+港

:.OA=1,

S?ABD=axBDxOA=-x2xl=l,

匕-BCD-1^1=7-

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積，平面與平面垂直的性質，與二面角有關的立體幾何綜合題，用空間向

量求平面間的夾角

【分析】（1）根據面面垂直的性質定理，結合等腰三角形的性質求解即可；

（2）利用向量法，結合二面角的平面角求得m=l,再根據棱錐的體積公式直接求解即可.

21.（1）???IMF/-\MF2\=2,

二軌跡C為雙曲線右半支，=17,2a=2,

:.a2=1,b2=16,

：?x2--=1（%>0）.

（2）設TCpn）,

設AB：y—n=fc1fx--）,

y-n=/c1（x-1）

聯立｛2產

x2---=1

16

2222

A（16-）x4-（fcx2-2左述）％—[ki—n4-hn-16=0,

%2-2kn

：?X+X1

t2的2-16

22

加+n-/c1n+16

%1+不

IC]2—16

|771|=Jl+ki2（/一｝，

|叫="+自2（打一｝，

（層+12）（1+七2）

\TA\■\TB\=（1+kr2）（X]_｝（X2一》

ki2-16

設PQ：y-n=k2（x-^）,

（九七2）

同理\TP\'\TQ\=2+12）（1+

2

k2-16

-\TA\-\TB\=\TP\-