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文檔簡介
主要內容第四節矩陣相似的條件引理矩陣相似的條件一、引理在求一個數字矩陣A的特征值和特征向量時曾出現過
-矩陣E-A，我們稱它為A的特征矩陣.這一節的主要結果是證明兩個n
n數字矩陣A和B相似的充分必要條件是它們的特征矩陣E-A和E-B
等價.為了證明這一結論，先來證明下面兩個引理.引理1
如果有n
n數字矩陣P0,Q0
使E-A=P0(E-B)Q0，(1)則A與B相似.證明因P0(E-B)Q0=
P0Q0-P0BQ0，它又與E-A相等，進行比較后應有P0Q0=E，P0BQ0=A.由此Q0=P0-1，而A=P0BP0-1.故A與B相似.引理2
對于任何不為零的n
n數字矩陣A和
-矩陣U(
)與V(
)，一定存在
-矩陣Q(
)與R(
)以及數字矩陣U0和V0使U(
)=(
E-A)
Q(
)+U0，(2)V(
)=R(
)(
E-A)
+V0，(3)證明把U(
)
改寫成U(
)=D0
m+D1
m-1+…+Dm-1
+Dm
.這里D0,D1,…,Dm都是n
n數字矩陣，而且
D00.如m=0，則令Q(
)=0及U0=D0，它們顯然滿足引理2要求.設m>0，令Q(
)=Q0
m-1+Q1
m-2+…+Qm-2
+Qm-1.這里Qj
都是待定的數字矩陣.于是(E-A)Q(
)=Q0
m+(Q1-AQ0)
m-1+...+(Qk-AQk-1)
m-k+...+(Qm-1-AQm-2)
-AQm-1.要想使等式U(
)=(E-A)Q(
)+U0成立，只需取Q0=D0，Q1=D1+AQ0，Q2=D2+AQ1，…………Qk
=Dk+AQk-1，…………Qm-1
=Dm-1+AQm-2，U0=Dm+AQm-1.就行了.用完全相同的辦法可以求得R(
)和V0.證畢二、矩陣相似的條件定理7設A,B是數域P上兩個n
n矩陣.A與B相似的充分必要條件是它們的特征矩陣E-A和E-B等價.證明由可知E-A與E-B等價就是有可逆的
-矩陣U(
)和V(
)
使E-A=U(
)(E-B)V(
)
.(4)先證必要性設A與B相似，即有可逆矩陣T使A=T-1BT.于是E-A=E
-T-1BT=T-1(E-B)T，從而E-A與E-B等價.再證充分性設E-A與E-B等價，即有可逆的
-矩陣U(
)和V(
)
使E-A=U(
)(E-B)V(
)(4)成立.由存在
-矩陣Q(
)和R(
)
以及數字矩陣U0和V0使U(
)=(E-A)Q(
)+U0，(5)V(
)=R(
)(E-A)+V0，(6)成立.把E-
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