2022-2023學年福建省福州市長樂第二中學高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.現有一半球形原料，若通過切削將該原料加工成一正方體工件，則所得工件體積與原料體積之比的最大值為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】設球半徑為R，正方體邊長為a，由題意得當正方體體積最大時：=R2，由此能求出所得工件體積與原料體積之比的最大值．【解答】解：設球半徑為R，正方體邊長為a，由題意得當正方體體積最大時：=R2，∴R=，∴所得工件體積與原料體積之比的最大值為：==．故選：A．2.設函數，其中，若僅存在兩個正整數x0使得，則a的取值范圍是（

）A．

B.

C.

D.參考答案：A3.

函數f(x)、g(x)的圖像如圖:

則函數y=f(x)·g(x)的圖像可能是:

（

）參考答案：A4.某校畢業典禮由6個節目組成，考慮整體效果，對節目演出順序有如下要求：節目甲必須排在前三位，且節目丙、丁必須排在一起，則該校畢業典禮節目演出順序的編排方案共有（）A．120種 B．156種 C．188種 D．240種參考答案：A【考點】排列、組合的實際應用．【分析】根據題意，由于節目甲必須排在前三位，對甲的位置分三種情況討論，依次分析乙丙的位置以及其他三個節目的安排方法，由分步計數原理可得每種情況的編排方案數目，由加法原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，由于節目甲必須排在前三位，分3種情況討論：①、甲排在第一位，節目丙、丁必須排在一起，則乙丙相鄰的位置有4個，考慮兩者的順序，有2種情況，將剩下的3個節目全排列，安排在其他三個位置，有A33=6種安排方法，則此時有4×2×6=48種編排方法；②、甲排在第二位，節目丙、丁必須排在一起，則乙丙相鄰的位置有3個，考慮兩者的順序，有2種情況，將剩下的3個節目全排列，安排在其他三個位置，有A33=6種安排方法，則此時有3×2×6=36種編排方法；③、甲排在第三位，節目丙、丁必須排在一起，則乙丙相鄰的位置有3個，考慮兩者的順序，有2種情況，將剩下的3個節目全排列，安排在其他三個位置，有A33=6種安排方法，則此時有3×2×6=36種編排方法；則符合題意要求的編排方法有36+36+48=120種；故選：A．【點評】本題考查排列、組合的應用，注意題目限制條件比較多，需要優先分析受到限制的元素．5.若A是不等式組表示的平面區域，則當實數a從－2連續變化到1時，動直線

掃過A中的那部分面積為

（

）

A．

B．1

C．

D．5參考答案：C6.已知函數與的圖象上存在關于y軸對稱的點，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.log2sin+log2sin+log2sinπ=(

)A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3參考答案：A【考點】二倍角的正弦；對數的運算性質；任意角的三角函數的定義．【專題】計算題；函數思想；函數的性質及應用；三角函數的求值．【分析】利用對數的運算法則以及誘導公式，二倍角的正弦函數化簡求解即可．【解答】解：log2sin+log2sin+log2sinπ=log2（sinsinsinπ）=log2（cossinsinπ）=log2（cossinπ）=log2（sinπ）=log2=﹣3．故選：A．【點評】本題考查二倍角公式以及誘導公式，對數運算法則的應用，考查計算能力．8.已知，符號表示不超過的最大整數，若函數有且僅有3個零點，則的取值范圍是（

）A.

B.C.

D.參考答案：B試題分析：解：由，得；①若，設，則當，，此時當，此時，此時；當，此時，此時；當，此時，此時；當，此時，此時，作出函數圖象，要使有且僅有三個零點，即函數有且僅有三個零點，則由圖象可知；②若，設，則當，，此時，此時；當，，此時，此時；當，，此時，此時；當，，此時，此時；當，，此時，此時；作出函數圖象，要使有且僅有三個零點，即函數有且僅有三個零點，則由圖象可知，所以的取值范圍，故答案為B.考點：函數的零點與方程的根關系.9.在等邊中，,且D,E是邊BC的兩個三等分點，則等于A.

B.

C.

D.參考答案：B【知識點】向量的數量積.

F3解析：因為,所以==，故選B.【思路點撥】把所求數量積中的兩向量，用已知模和夾角的兩向量表示.

10.已知角x的終邊上一點坐標為，則角x的最小正值為A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設變量，滿足則變量的最小值為?

．參考答案：略12.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的結果S=

▲

．參考答案：略13.由直線x=﹣，x=，y=0與曲線y=cosx所圍成的封閉圖形的面積為．參考答案：【考點】定積分在求面積中的應用．【分析】根據余弦函數的對稱性，用定積分表示出封閉圖形的面積，再進行計算即可．【解答】解：根據余弦函數的對稱性可得，直線，，y=0與曲線y=cosx所圍成的封閉圖形的面積為2=2sinx=故答案為：14.在的展開式中，的系數是，則實數__________.參考答案：答案：15.平面向量的單位向量是

參考答案：16.設平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a//b，則y=_____________.參考答案：-4略17.能說明“設a，b為實數，若，則直線與圓相切”為假命題的一組a，b的值依次為__．參考答案：1,1【分析】根據條件求出命題為真命題時等價的a，b的關系式，由關系式可得到命題為假命題時a，b的一組取值。【詳解】設a，b為實數，若，則直線與圓相切，若為真命題，可得，即為，若為假命題，只要，要說明“設a，b為實數，若，則直線與圓相切”為假命題的一組a，b的值依次可為1，1．故答案為：1，1．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.函數y=﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（﹣，））的一條對稱軸為x=，一個對稱中心為（，0），在區間[0，]上單調．（1）求ω，φ的值；（2）用描點法作出y=sin（ωx+φ）在[0，π]上的圖象．參考答案：【考點】五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象；正弦函數的圖象．【分析】（1）由條件利用三角形函數的周期，對稱軸，對稱中心，即可ω，φ．（2）用五點法作函數y=Asin（ωx+φ）在一個周期[0，π]上的圖象．【解答】解：（1）由題意得：，即，解得又ω＞0，k∈Z，所以ω=2，x=為對稱軸，2×+φ=kπ+，所以φ=kπ﹣，又φ∈（﹣，），∴φ=﹣，（2）由（1）可知f（x）=sin（2x﹣），由x∈[0，π]，所以2x﹣∈[﹣，]，列表：2x﹣﹣0πx0πf（x）﹣010﹣1畫圖：19.已知函數.（Ⅰ）解不等式.（Ⅱ）記函數的值域為，若，證明.參考答案：（Ⅰ）依題意，得，于是得，或，或，解得.即不等式的解集為.（Ⅱ），當且僅當時，取等號，∴.原不等式等價于.∵，∴，.∴.∴.20. 已知直線的參數方程為為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸 建立極坐標系，圓C的極坐標方程為．

（I）判斷直線與圓C的位置關系；

（Ⅱ）若點P（x，y）在圓C上，求x+y的取值范圍．參考答案：(1)直線，圓，圓心到直線的距離，相交…………5’（2）令為參數），的取值范圍是……….10’略21.已知函數g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x），其中h′（x）是函數h（x）的導函數．（Ⅰ）當a=0時，求f（x）的極值；（Ⅱ）當﹣8＜a＜﹣2時，若存在x1，x2∈[1，3]，使得恒成立，求m的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的極值．【分析】（Ⅰ）把a=0代入函數f（x）的解析式，求其導函數，由導函數的零點對定義域分段，得到函數在各區間段內的單調性，從而求得函數極值；（Ⅱ）由函數的導函數可得函數的單調性，求得函數在[1，3]上的最值，再由恒成立，結合分離參數可得，構造函數，利用導數求其最值得m的范圍．【解答】解：（I）依題意h′（x）=，則，x∈（0，+∞），當a=0時，，，令f′（x）=0，解得．當0＜x＜時，f′（x）＜0，當時，f′（x）＞0．∴f（x）的單調遞減區間為，單調遞增區間為．∴時，f（x）取得極小值，無極大值；（II）=，x∈[1，3]．當﹣8＜a＜﹣2，即＜＜時，恒有f′（x）＜0成立，∴f（x）在[1，3]上是單調遞減．∴f（x）max=f（1）=1+2a，，∴|f（x1）﹣f（x2）|max=f（1）﹣f（3）=，∵x2∈[1，3]，使得恒成立，∴＞，整理得