2024屆湖北省黃梅縣第二中學高一數學第一學期期末經典試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.a，b大小不確定2．為了鼓勵大家節約用水，北京市居民用水實行階梯水價，其中每戶的戶年用水量與水價的關系如下表所示：分檔戶年用水量（立方米）水價（元/立方米）第一階梯0-180（含）5第二階梯181-260（含）7第三階梯260以上9假設居住在北京的某戶家庭2021年的年用水量為200m3，則該戶家庭A.1800元 B.1400元C.1040元 D.1000元3．已知函數，下列結論正確的是（）A.函數圖像關于對稱B.函數在上單調遞增C.若，則D.函數的最小值為4．從數字中隨機取兩個不同的數，分別記為和，則為整數的概率是（）A. B.C. D.5．與角的終邊相同的最小正角是（）A. B.C. D.6．函數的最小正周期為，若其圖象向左平移個單位后得到的函數為奇函數，則函數的圖象（）A.關于點對稱 B.關于點對稱C.關于直線對稱 D.關于直線對稱7．設，，，則下列大小關系表達正確的是（）A. B.C. D.8．把長為的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是（）A. B.C. D.9．已知，若，則（）A. B.C. D.10．設全集為，集合，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知實數x，y滿足條件，則的最大值___________.12．已知函數．若關于的方程，有兩個不同的實根，則實數的取值范圍是____________13．若（）與（）互為相反數，則的最小值為______.14．若數據的方差為3，則數據的方差為__________15．某班有39名同學參加數學、物理、化學課外研究小組，每名同學至多參加兩個小組.已知參加數學、物理、化學小組的人數分別為26，15，13，同時參加數學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參見數學和化學小組有多少人__________.16．某高中校為了減輕學生過重的課業負擔，提高育人質量，在全校所有的1000名高中學生中隨機抽取了100名學生，了解他們完成作業所需要的時間（單位：h），將數據按照0.5,1，1,1.5，1.5,2，2,2.5，2.5,3，3,3.5，分成6組，并將所得的數據繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.由圖中數據可知a=___________；估計全校高中學生中完成作業時間不少于3h的人數為三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在某單位的食堂中，食堂每天以元/斤的價格購進米粉，然后以4.4元/碗的價格出售，每碗內含米粉0.2斤，如果當天賣不完，剩下的米粉以2元/斤的價格賣給養豬場.根據以往統計資料，得到食堂某天米粉需求量的頻率分布直方圖如圖所示，若食堂某天購進了80斤米粉，以（單位：斤）（其中）表示米粉的需求量，（單位：元）表示利潤.(Ⅰ)計算當天米粉需求量的平均數，并直接寫出需求量的眾數和中位數；(Ⅱ)將表示為的函數；（Ⅲ）根據直方圖估計該天食堂利潤不少于760元的概率.18．已知函數的圖象過點，.（1）求函數的解析式；（2）若函數在區間上有零點，求整數k的值；（3）設，若對于任意，都有，求m的取值范圍.19．設函數的定義域為A，集合.（1）；（2）若集合是的子集，求實數a的取值范圍.20．已知函數（1）求的最小正周期；（2）求的單調遞增區間21．如圖，在平面直角坐標系中，為單位圓上一點，射線OA繞點O按逆時針方向旋轉后交單位圓于點B，點B的縱坐標y關于的函數為.（1）求函數的解析式，并求；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】根據作差比較法可得解.【題目詳解】解：因為，所以故選：B.2、C【解題分析】結合階梯水價直接求解即可.【題目詳解】由表可知，當用水量為180m3時，水費為當水價在第二階段時，超出20m3，水費為則年用水量為200m3，水價為故選：C3、A【解題分析】本題首先可以去絕對值，將函數變成分段函數，然后根據函數解析式繪出函數圖像，最后結合函數圖像即可得出答案.【題目詳解】由題意可得：，即可繪出函數圖像，如下所示：故對稱軸為，A正確；由圖像易知，函數在上單調遞增，上單調遞減，B錯誤；要使，則，由圖象可得或、或，故或或，C錯誤；當時，函數取最小值，最小值，D錯誤，故選：A【題目點撥】本題考查三角函數的相關性質，主要考查三角函數的對稱軸、三角函數的單調性以及三角函數的最值，考查分段函數，考查數形結合思想，是難題.4、B【解題分析】先計算出從數字中隨機取兩個不同的數，共有種情況，再求出滿足為整數的情況，即可求出為整數的概率.【題目詳解】解：從數字中隨機取兩個不同的數，則有種選法，有種選法，共有種情況；則滿足為整數的情況如下：當時，或有種情況；當時，有種情況；當或時，則不可能為整數，故共有種情況，故為整數的概率是：.故選：B.5、D【解題分析】寫出與角終邊相同的角的集合，即可得出結論.【題目詳解】與角終邊相同角的集合為，當時，取得最小正角為.故選：D.6、C【解題分析】求得，求出變換后的函數解析式，根據已知條件求出的值，然后利用代入檢驗法可判斷各選項的正誤.【題目詳解】由題意可得，則，將函數的圖象向左平移個單位后，得到函數的圖象，由于函數為奇函數，則，所以，，，則，故，因為，，故函數的圖象關于直線對稱.故選：C.7、D【解題分析】利用中間量來比較三者的大小關系【題目詳解】由題.所以.故選：D8、D【解題分析】先得到兩個正三角形面積之和的表達式，再對其求最小值即可.【題目詳解】設一個正三角形的邊長為，則另一個正三角形的邊長為，設兩個正三角形的面積之和為，則，當時，S取最小值.故選：D9、C【解題分析】設，求出，再由求出.【題目詳解】設，因為所以，又，所以，所以.故選：C.10、B【解題分析】先求出集合B的補集，再根據集合的交集運算求得答案.【題目詳解】因為，所以，故，故選:B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】利用幾何意義，設，則k可看作圓上的動點P到原點的連線的斜率，而相切時的斜率為最大或最小值，即可求解.【題目詳解】由題意作出如下圖形：令，則k可看作圓上的動點P到原點的連線的斜率，而相切時的斜率為最大或最小值，當直線與圓相切時，在直角三角形OAB中，,∴，∴.故答案為：12、【解題分析】作出函數的圖象，如圖所示，當時，單調遞減，且，當時，單調遞增，且，所以函數的圖象與直線有兩個交點時，有13、2【解題分析】有題設得到，利用基本不等式求得最小值.【題目詳解】由題知，，則，，則，當且僅當時等號成立，故答案為：214、12【解題分析】所求方差為，填15、【解題分析】設參加數學、物理、化學小組的同學組成的集合分別為，、，根據容斥原理可求出結果.【題目詳解】設參加數學、物理、化學小組的同學組成的集合分別為，、，同時參加數學和化學小組的人數為，因為每名同學至多參加兩個小組，所以同時參加三個小組的同學的人數為，如圖所示：由圖可知：，解得，所以同時參加數學和化學小組有人.故答案為：.16、①.0.1②.50【解題分析】利用頻率之和為1可求a，由圖求出完成作業時間不少于3h的頻率，由頻數=總數×【題目詳解】由0.5×2a+0.3+0.4+0.5+0.6=1可求a=0.1；由圖可知，全校高中學生中完成作業時間不少于3h的頻率為0.5×0.1=0.05故答案為：0.1；50三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)平均數為75.5，眾數為75，中位數為75.(2).(3)該天食堂利潤不少于760元的概率為0.65.【解題分析】由頻率分布直方圖的數值計算可得平均數，眾數，中位數由題意，當時，求出利潤，當時，求出利潤，由此能求出關于的函數解析式設利潤不少于元為事件，利潤不少于元時，即，再根據直方圖利用概率計算公式求出對應的概率【題目詳解】(Ⅰ)由頻率分布直方圖知,故中位數位于（70.，80）設為x,則（x-70）所以平均數為75.5，眾數為75，中位數為75.(Ⅱ)一斤米粉的售價是元.當時，當時，故（Ⅲ）設利潤不少于760元為事件，利潤不少于760元時，即.解得，即.由直方圖可知，當時，故該天食堂利潤不少于760元的概率為0.65.【題目點撥】本題主要考查了樣本估計總體和事件與概率，只要能讀懂條形統計圖，然后進行計算即可，較為基礎18、（1）；（2）的取值為2或3；（3）.【解題分析】（1）根據題意，得到，求得的值，即可求解；（2）由（1）可得，得到，設，根據題意轉化為函數在上有零點，列出不等式組，即可求解；（3）求得的最大值，得出，得到，設，結合單調性和最值，即可求解.【題目詳解】（1）函數的圖像過點，所以，解得，所以函數的解析式為.（2）由（1）可知，，令，得，設，則函數在區間上有零點，等價于函數在上有零點，所以，解得，因為，所以的取值為2或3.（3）因為且，所以且，因為，所以的最大值可能是或，因為所以，只需，即，設，在上單調遞增，又，∴，即，所以，所以m的取值范圍是.【題目點撥】已知函數的零點個數求解參數的取值范圍問題的常用方法：1、分離參數法：一般命題的情境為給出區間，求滿足函數零點個數的參數范圍，通常解法為從中分離出參數，構造新的函數，求得新函數的最值，根據題設條件構建關于參數的不等式，從而確定參數的取值范圍；2、分類討論法：一般命題的情境為沒有固定的區間，求滿足函數零點個數的參數范圍，通常解法為結合函數的單調性，先確定參數分類的標準，在每個小區間內研究函數零點的個數是否符合題意，將滿足題意的參數的各校范圍并在一起，即為所求的范圍.19、（1）；（2）.【解題分析】（1）由函數的定義域、指數函數的性質可得，，再由集合的并集運算即可得解；（2）由集合的交集運算可得，再由集合的關系可得，即可得解.【題目詳解】由可得，所以，，（1）所以；（2）因為，所以，所以，解得，所以實數a的取值范圍為.【題目點撥】本題考查了函數定義域及指數不等式的求解，考查了集合的運算及根據集合間的關系求參數，屬于基礎題.20、（1）（2）單調遞增區間是【解題分析】（1）根據公式可求函數的最小正周期；（2）利用整體法可求函數的增區間.【小問1詳解】∵，∴最小正周期【小問2詳