基于動態退化量分布的copula可靠性建模

0基于趨勢性能指標的分析科技的進步促進了更多產品的可得性和長期發展，但忽視了這些產品的可靠性、可用性、維護和安全性，通常是致命的結果。對于此類高可靠性、長壽命產品,利用傳統的壽命試驗,甚至是加速壽命試驗,通常難以在規定時間內獲取充分的壽命數據樣本,同時加速破壞型試驗易造成資源浪費、經濟損失,這就使得經典的壽命終態型可靠性方法失去功效。高長壽命產品的失效往往從強度衰減、功能退化、經衍生發展,直至破壞,呈現疲勞、磨耗、腐蝕、老化等多種退化特征;表現為裂紋萌生、擴展、至疲勞斷裂;點蝕、促進氧化、腐蝕斷裂或是磨合、穩定磨損、至急劇磨損階段等失效過程。那么在某一試驗期間對該類產品的趨勢性能指標(如裂紋長度、腐蝕深度、磨耗程度等)數據收集,經分析研究提煉其趨勢特征,再預測其發展,便成為一種有效且節約成本的可靠性評估方法。高長壽命產品,尤其是機械、機電設備的組件存在的多種故障模式往往彼此互動相關。如對于傳動齒輪表現的齒面點蝕、齒面磨損、齒面膠合和塑性變形、齒根彎曲、折斷等故障形式,由于密封失效、潤滑不當、零件的表面質量差等因素,使得齒面點蝕的存在,提高了齒面腐蝕磨損和磨料磨損的速率,進而促進齒面膠合、塑性變形的發生,也增大了齒輪折斷的概率;反過來,齒面膠合、長期重復載荷作用萌生裂紋,封閉在裂紋中的潤滑擠壓作用使得裂紋擴大,也誘導齒輪點蝕。多故障模式相關性失效的產品可靠性計算是可靠性工程的難題,發展極不成熟。自DITLEVSEN等基于相關系數,考慮兩兩故障模式之間相關性,提出上下窄界理論,為國內外學者所接受。但隨著失效模式數增加,計算冗繁。周金宇等基于Nataf變換建立載荷相關系統共因失效概率定量分析模型,給出將聯合失效概率轉化成一維標準正態積分的乘積的較實用方法,但各元件安全裕量之間線性相關系數的反解較困難。李貴杰等利用鞍點逼近方法和Nataf變換相結合來實現多故障模式的多維響應功能函數聯合密度的近似,前提也是基于各故障模式在設計點的線性化。對于相關性失效的研究,文獻[3,8-14]從相關系數的角度入手,但相關系數對變量相關性的刻畫極具片面性(僅適用于線性關系,不足以反映故障模式變量之間的正相關性;同時相關系數的使用無法克服變量數增大帶來的“維數煩惱”。本文依據極大似然估計、確定性趨勢組合時序模型、條件期望預測等統計理論方法,分析處理高長壽命產品的性能退化數據,以確定性能退化量的動態發展分布。考慮產品各類故障模式的相關性互動影響,基于Copula理論,分別給出相對失效閾值、隨機失效閾值—退化量相干作用下的多故障模式相關性失效的綜合可靠性評估模型。1多故障模式相關結構的相關分析對于多故障模式高長壽命產品的可檢測性能(如裂紋長度、腐蝕深度、磨耗程度等指標)進行檢測試驗,取得可靠性數據樣本,假設如下。(1)有n個試樣進行試驗檢測,選擇等距相同的檢測時刻t0,t1,…,tm。(2)產品有p種故障模式,其性能退化特征量記為X1,X2,…,Xp。顯然當任意一種退化量達到其相應的失效閾值,產品便失效。(3)各退化量Xk(k=1,2,…,p)的相對失效閾值為skf,kth故障模式td時刻的邊緣失效概率為隨機失效閾值為變量Sk,其密度函數記為分布函數記為隨機失效閾值下相關性干涉的邊緣失效概率記為(4)ith試樣的tj時刻p種退化特征量檢測數據樣本為(5)檢測時刻tj的kth故障模式退化特征量Xk的概率密度函數為fXk(x,βXk(tj)),相應的分布函數為FXk(x,βXk(tj));βXk(tj)是分布特征參數,在常見于多種工況的正態分布下,βXk(tj)=(mXk(tj),sXk(tj))。顯然,在動載荷長時間作用下,βXk(tj)多呈現確定趨勢性。(6)對于既定工況下的高長壽命產品,設其多故障模式性能退化特征矢量(X1,X2,…,Xp)的相關結構為CopulaCq(u1,u2,…,up),q是相關性程度參數。產品各故障模式之間的正相關作用體現為對任意(x1,x2,…,xp)∈Rp,有對應的相關結構Copula映射為在不考慮各類故障模式的相干作用,即退化特征量相互獨立的理想條件下,顯然Sklar定理保證了任意n維隨機矢量(X1,X2,…,Xn)之間相關結構CopulaCuf071的存在性、唯一性。定理1令(X1,X2,…,Xn)是n維隨機矢量,其邊緣分布函數分別是F1(·),F2(·),…,Fn(·),那么存在著一個n維CopulaC(u1,u2,…,un),使得對任意有若Fi(·)連續,則C唯一;否則在上被唯一確定。不同工況下,不同產品的多故障模式相關結構CopulaC(u1,u2,…,up)和其相關程度參數θ均不盡相同。(7)對于既定的kth故障模式,產品的隨機失效閾值Sk與退化量Xk之間的負相關結構設為Copulauf061k則為兩者負相關程度參數。2模型和參數估算的分類2.1退化量xkt特征時序估計依據檢測時刻tj的退化數據樣本xik(tj),i=1,2,…,n,針對kth種故障模式的對應性能退化特征量Xk(k=1,2,…,p),采用極大似然估計法,估計出tj(j=0,1,…,m)點處的Xk分布特征參數矢量βXk(tj)。不妨選擇具有代表性的正態分布來表述,其極大似然估計的似然函數求解關于參數矢量(μXk(tj),σXk(tj))的對數似然方程組,從而得到kth故障模式產品性能退化量Xk分布的特征參數的時序估計樣本為鑒于產品的性能退化響應,退化量Xk分布參數矢量時序βXk(t)呈確定性趨勢特征,采用確定性趨勢平穩組合時序模型擬合其動態響應。式中,分別是參數的時間趨勢項,服從自回歸滑動平均模型,自回歸系數矢量φi=(fi,1,fi,2,…,fi,pi),i=1,2。均值參數μ(t)=(mXk,t-1,mXk,t-2,…,mXk,t-p1)和均方差參數σ(t)=(sXk,t-1,sXk,t-2,…,sXk,t-p2)分別為p1、p2階回歸序時矢量;滑動平均系數矢量ηi=(1,ηi,1,ηi,2,…,ηi,qi),i=1,2。iq階白噪聲序時基于估計出的退化量分布特征參數序時樣本遵從經典趨勢性時間序時的處理步驟完成參數矢量的時序建模。在上述確定性趨勢平穩組合模型確立基礎上,依條件期望原理,運用差分方程形式實現對退化量Xk的特征參數的預測。如對截尾觀測點tm后延遲h期的動態時刻td=tm(h)處故障模式退化量Xk的特征參數的分量μXk(tm(h))的預測形式為顯然,在h>q1時,式(7)中滑動平均項全部為零。同理,完成對的預測。如此便確定了td時刻產品kth故障模式退化量Xk的分布密度2.2各參數族的估計序對于多故障模式性能退化量之間的相關性刻畫,先后完成相關結構定性擬合到相關程度度量的統計過程。首先根據高長壽命產品的n個試樣在tj(j=0,1,…,m)的p種故障模式退化量檢測值(xi1(tj),xi2(tj),…,xip(tj))的兩兩分量之間的散點圖或是經驗密度曲面,選擇相關結構吻合的p維阿基米德CopulaCqt(u1,u2,…,up)參數族映射p維退化量之間的正相關性;而(X1,X2,…,Xp)的相關程度參數qt往往隨工作時間t單調不減,在退化量分布特征參數估計值確定的基礎上,采用二階段極大似然估計法實現其動態響應的估計序時樣本{θt}=(θt0,θt1,…,θtm)。θtj的似然函數為對數似然函數求解關于的對數似然方程以確定對時序進行確定性趨勢時序分析,以預測既定時刻td處的故障模式退化矢量(X1,X2,(43),Xp)之間相關程度參數的估計值3相關失敗的綜合可靠性模型3.1失效閾值綜合評估高長壽命產品的失效分析中,當其中某一故障模式的性能退化量Xk首先達到或是超過其額定的失效閾值,產品便發生失效。如GaAs激光器在80℃下的失效閾值為工作電流達到10%;疲勞裂紋擴展的裂級失效閾值為1.6。文獻[16-18]多是針對某單一特定失效模式進行可靠性分析計算,但實際工程中,高長壽命產品,尤其是機械、機電零構件在不同工況下,受到多種外載荷長期作用(如疲勞、侵蝕、溫度、磨耗、老化等),存在多種失效途徑,且彼此失效相關,對此類產品的可靠性進行整體性的綜合評估十分必要。根據第2.1節中確定的產品各故障模式性能退化量Xk的動態概率分布與對應相對失效閾值skf(k=1,2,…,p)的干涉作用,易算出產品在未來時刻td處的邊緣失效概率在第2.2節中確定的各故障模式退化矢量之間相關結構Copula的基礎上,完成對該產品相對失效閾值下的綜合可靠性評估,其計算為式中是退化量Xk在td處的分布函數,依據多故障模式退化矢量(X1,X2,…,Xp)之間的失效正相關性Copula特征式(2),得特別說明,不考慮各故障模式相關性影響下的高長壽命產品可靠性計算結果偏于保守,而只考慮單一故障模式下的可靠度則太過開放,不利于安全性的正確預警。產品的實際可靠度不僅依賴于其各初始強度和強度衰減速率及失效閾值;還依賴于實際工況中的各故障模式相關結構和相關程度。3.2退化量xk與隨機失效閾值sk的相關性分析性能退化高長壽命產品的可靠性計算基于退化量Xk與失效閾值的干涉模型,多數關于退化失效的研究針對于既定失效閾值。實際工程中,因影響機械零件強度的參數:材料性能、試件尺寸、表面質量、熱處理方式等均為隨機變量,造成產品的個體差異;以及受不同工況條件的外載荷影響等諸因素,均可導致其性能退化失效閾值亦為一隨機變量Sk。另一方面,由于零件尺寸參數、材料性質、內部缺陷、表面質量、應力集中等因素,既影響著退化量Xk的取值,同時也影響著零件的失效閾值;溫度、濕度等外載荷作用亦然;這就導致退化量Xk與隨機失效閾值Sk之間呈負相關性。零件在綜合因素作用下退化性能衰減速率越大(即td時刻Xk趨大),而其失效閾值Sk趨小。從而退化量隨機過程{Xk(t)|t∈T}與隨機失效閾值Sk之間的相關性干涉模型更具普適性。設td處退化量Xk(td)與失效閾值Sk的負相關結構為Copulauf061k是兩者負相關程度參數,則隨機失效閾值下相關性干涉的kth故障模式的邊緣失效概率進一步若也不考慮失效閾值的隨機性,即Sk=skf,則結果與式(11)一致。需要說明的是,傳統的相對失效閾值下的零件可靠性計算,僅是忽略失效閾值隨機性、忽略退化量-失效閾值相干作用下的一種理想簡化的結果。退化量Xk(td)與Sk兩者之間的負相關程度ak是一待估修正參數,可依據補充的終態失效時刻樣本完成參數估計。其對應似然式中,sik(t-f)是產品i在失效時刻t-f因k故障模式而發生失效的退化量實際檢測樣本值;是失效時刻的預測結果;是依前期檢測數據,軌跡預測的產品退化量Xk在失效時刻的取值。4模式相關失效綜合可靠性評估結果某航空發動機的轉軸是用來支承旋轉部件或傳遞動力和旋轉運動的重要構件,在支承傳輸動力作用下,處于高溫甚至腐蝕性環境中,呈現有疲勞失效、磨損失效、腐蝕失效、變形失效4種故障模式,假設在掌握該軸4類故障模式退化量充分樣本數據的基礎上,試計算該類軸在飛行20000h后的零件可靠性。因文中缺少對該類轉軸進行試驗檢測的退化量數據樣本,僅給出本文提出的多故障模式相關性失效綜合可靠性評估部分過程。設在完成對各退化量Xk(k=1,2,3,4)檢測樣本數據的時序統計分析基礎上,得到飛行20000h正態分布特征參數矢量(μt,σt)的估計如表1所示。假設各故障模式性能退化的隨機失效閾值分布的特征參數如表2所示。各失效模式下的轉軸性能退化量Xk與對應隨機失效閾值Sk的負相關結構選擇服從ClaytonCopula族根據式(14),在相關程度參數uf061k估計的條件下,得到各邊緣失效概率,見表3。進一步評估軸零件的綜合可靠度,根據各類故障模式之間的正相關特征,選擇GumbelCopula擬合性能退化矢量間的相關結構。依據檢測點處退化特征量數據樣本,采用二階段極大似然估計法得到(X1,X2,…,Xp)之間的相關程度參數θ的估計序時以差分方程形式實現其動態發展預測則轉軸在時刻td(飛行20000h后)的綜合可靠度預計下圖反映了轉軸綜合可靠度隨故障模式相關程度參數的動態變化。在不考慮多故障模式的失效相關性條件下,轉軸的綜合可靠度為圖下界針對單一故障模式的最薄弱環節計算法得到的轉軸可靠度為圖上界顯然,前者過于保守,而后者對轉軸可靠度估算過高,不利于對該類高可靠性長壽命產品的經濟化使用和正確的安全評估。5多故障模式可靠性模型與模型的應用(1)時間序時的統計理論方法是進行高長壽命產品可靠性分析的有效手段,其通過研究產品的性能退化規律,預測其發展趨勢,進而與對應失效閾值相干作用,達到定量可靠性評估的目的,克服了缺乏終態失效數據的不足。(2)本文基于Copula的相關性理論、時序統計方法,給出了多故障模式相關性失效的綜合可靠度計算方法。該方法既考慮了產品多故障模式退化量之間的正相關性,又蘊含了