1/1不等式的證明方法經(jīng)典例題不等式的證明方法

不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，證明方法多種多樣，近幾年高考消失較為形式較為活躍，證明中常常需與函數(shù)、數(shù)列的學(xué)問綜合應(yīng)用，敏捷的把握運(yùn)用各種方法是學(xué)好這部分學(xué)問的一個(gè)前提，下面我們將證明中常見的幾種方法作一列舉。

留意abba22

2

≥+的變式應(yīng)用。常用2

222b

aba+≥

+(其中+∈Rba,)來解決有關(guān)根式不等式的問題。

一、比較法

比較法是證明不等式最基本的方法，有做差比較和作商比較兩種基本途徑。1、已知a,b,c均為正數(shù)，求證：

a

ccbbacba+++++≥++111212121二、綜合法

綜合法是依據(jù)題設(shè)條件與基本不等式的性質(zhì)等，運(yùn)用不等式的變換，從已知條件推出所要證明的結(jié)論。

2、a、b、),0(∞+∈c，1=++cba，求證：

31222≥

++cba

3、設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，求證：)(4

4

4

cbaabccba++>++4、知a,b,cR∈，求證:

)(22

2

2

2

2

2

cbaac

cb

ba

++≥++

++

+

5、),0(∞+∈yx、且1=+yx，證：9

)1

1)(11(≥++yx。

6、已知.9

111111,,≥?????+?????

+

=+∈+

babaRba求證：三、分析法

分析法的思路是“執(zhí)果索因”：從求證的不等式動(dòng)身，探究使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式。

7、已知a、b、c為正數(shù)，求證：

)3(3)2(

23

abccbaabba-++≤-+

8、),0(∞+∈cba、、且1=++cba，求證3≤++cba。

四、換元法

換元法實(shí)質(zhì)上就是變量代換法，即對(duì)所證不等式的題設(shè)和結(jié)論中的字母作適當(dāng)?shù)淖儞Q，以達(dá)到化難為易的目的。9、

1

b>c,求證：

.4

11c

ac

bba-≥-+-12、已知1≤x2＋y2≤2，求證：2

1≤x2－xy＋y2

≤3．

13、已知x2

－2xy＋y2

≤2，求證：|x＋y|≤10．14、解不等式15+-

-xx＞2

1

15、－1≤2

1x-－x≤2．

五、增量代換法

在對(duì)稱式(任意互換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變)和給定字母挨次(如a＞b＞c)的不等式，常用增量進(jìn)行代換，代換的目的是削減變量的個(gè)數(shù)，使要證的結(jié)論更清楚，思路更直觀，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡．

16、已知a，b∈R，且a＋b=1，求證：(a＋2)2

＋(b＋2)2

≥2

25．六、利用“1”的代換型

17、.

91

11,1,,,≥++=++∈+cbacbaRcba求證：且已知

七、反證法

反證法的思路是“假設(shè)→沖突→確定”，采納反證法時(shí)，應(yīng)從與結(jié)論相反的假設(shè)動(dòng)身，推出沖突的過程中，每一步推理必需是正確的。

18、若p＞0，q＞0，p3

＋q3

=2，求證：p＋q≤2．證明：反證法

19、已知a、b、∈c（0，1），求證：ba)1(-，cb)1(-，ac)1(-，不能均大于41

。

20、已知a,b,c∈（0，1），求證：（1－a）b,（1－b）c,（1－c）a不能同時(shí)大于

4

1

。21、a、b、Rc∈，0>++cba，0>++cabcab，0>??cba，求證：a、b、c均為正數(shù)。八、放縮法

放縮時(shí)常用的方法有：1去或加上一些項(xiàng)2分子或分母放大（或縮小）3用函數(shù)單調(diào)性放縮4用已知不等式放縮

22、已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證：1＜cbab++＋dcbc

++＋adcd++＋

b

ada++＜2．

23、

*

Nn∈，求證：

1

213

12

11)11(2-0時(shí)，則|x|axa。

注:這里利用實(shí)數(shù)肯定值的幾何意義是很簡單理解上式的，即|x|可看作是數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)P(x)到原點(diǎn)的距離。3．常用的同解