第三章不等式3.3.2簡單的線性規劃問題如果若干年后的你成為某工廠的廠長，你將會面對生產安排、資源利用、人力調配的問題……【引例】：某工廠用A、B兩種配件生產甲、乙兩種產品，每生產一件甲產品使用4個A配件并耗時1h，每生產一件乙產品使用4個B配件并耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計算，該廠所有可能的日生產安排是什么？

數據分析表：日生產滿足402乙產品041甲產品B配件（個）A配件（個）每件耗時（h）應用舉例248642【優化條件】：若生產一件甲產品獲利2萬元，生產一件乙產品獲利3萬元，采用哪種生產安排獲得利潤最大？M(4,2)應用舉例zmax=2×4+3×2=14線性規劃：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題可行解：滿足線性約束條件的解(x，y)叫可行解；可行域：由所有可行解組成的集合叫做可行域；最優解：使目標函數取得最大或最小值的可行解叫線性規劃問題的最優解。解線性規劃問題的步驟：

2、在線性目標函數所表示的一組平行線中，用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線；

（注意y的系數“+，-”）

3、通過解方程組求出最優解；4、作出答案。

1、畫出線性約束條件所表示的可行域；畫移求答解線性規劃應用問題的一般步驟：

1、理清題意，列出表格； 2、設好變元，列出線性約束條件（不等式組）與目標函數； 3、準確作圖； 4、根據題設精確度計算。例1營養學家指出，成人良好的日常飲食應該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質，0.14kg脂肪，花費28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質，0.07kg脂肪，花費21元。為了滿足營養專家指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物A和食物B多少kg？食物／kg碳水化合物／kg蛋白質/kg脂肪／kgAB分析：將已知數據列成表格0.1050.1050.070.140.140.07日常飲食含量0.0750.060.06解：設每天食用xkg食物A，ykg食物B，

總成本為z，那么目標函數為：z＝28x＋21y作出二元一次不等式組所表示的平面區域，即可行域把目標函數z＝28x＋21y變形為xyo5/75/76/73/73/76/7

它表示斜率為隨z變化的一組平行直線系

是直線在y軸上的截距，當截距最小時，z的值最小。M

如圖可見，當直線z＝28x＋21y經過可行域上的點M時，截距最小，即z最小。M點是兩條直線的交點，解方程組得M點的坐標為：所以zmin＝28x＋21y＝16由此可知，每天食用食物A143g，食物B約571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費最低，最低成本為16元。解：設需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張約束條件是作出可行域見課本圖3.3-12目標函數是z=x+y此問題中，鋼板張數為整數，在一組平行直線x+y=t中（t為參數），經過的整點是B(3,9)和C(4,8),它們是最優解雖然直線經過點A時，與原點距離最近，經過可行域內的整點（橫坐標和縱坐標都是整數的點）且與原點距離最近的直線是x+y=12,但是由得即點A(,)坐標不是整點，不合題意答：要截得所需三種規格的鋼板，且使所截兩種鋼板的張數最少的方法有兩種，第一種截法是截第一種鋼板3張、第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張，截第二種鋼板8張.兩種方法都最少要截兩種鋼板共12張。練習1、一個化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料，生產1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t、硝酸鹽18t；生產1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t、硝酸鹽15t。現庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t，在此基礎上生產這兩種混合肥料。列出滿足生產條件的數學關系式，并畫出相應的平面區域。并計算生產甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產生最大的利潤？解：設x、y分別為計劃生產甲、乙兩種混合肥料的車皮數，于是滿足以下條件：xyo解：設生產甲種肥料x車皮、乙種肥料y車皮，能夠產生利潤Z萬元。目標函數為Z＝x＋0.5y，可行域如圖：把Z＝x＋0.5y變形為y＝－2x＋2z，它表示斜率為－2，在y軸上的截距為2z的一組直線系。

xyo由圖可以看出，當直線經過可行域上的點M時，截距2z最大，即z最大。

故生產甲種、乙種肥料各2車皮，能夠產生最大利潤，最大利潤為3萬元。M容易求得M點的坐標為（2，2），則Zmin＝3練習2.某廠擬生產甲、乙兩種適銷產品，每件銷售收入分別為3000元、2000元，甲、乙產品都需要在A、B兩種設備上加工，在每臺A、B上加工1件甲所需工時分別為1h、2h，A、B兩種設備每月有效使用臺數分別為400h和500h。如何安排生產可使收入最大？

解

設每月生產甲產品x件，生產乙產品y件，每月收入為z，目標函數為Z＝3x＋2y，滿足的條件是Z＝3x＋2y

變形為

它表示斜率為的直線系，Z與這條直線的截距