1/1太原五中2022-2023學年度第一學期階段性檢測高二數學(理)密

學校班級

姓名學號

密封線內不得答題

太原五中2022-2023學年度第一學期階段性檢測

高二數

學（理）

出題人、校對人：陰瑞玲、閆曉婷、王澤宇（2023.10.17）

一、選擇題（每小題4分,共40分,

每小題只有一個正確答案）1.下列命題正確的是()

A.

棱柱的側面都是長方形B.棱柱的全部面都是四邊形C.棱柱的側棱不肯定相等

D.—個棱柱至少有五個面

2.假如一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45?，上底為1腰梯形，那么原平面圖形的面積是()A.

2

B.C.D.3.已知兩條不同的直線mn、，和平面α，下列結論正確的是()①//,mnnα⊥，則mα⊥；②//,//mn

αα，則//mn；

③,mn

αα⊥⊥，則//mn；

④m與平面α所成角的大小等于n與平面α所成角的大小，則//mn.A.①③B.①②

C.②③

D.①④

4.三棱錐P-ABC三條側棱兩兩垂直，三個側面面積分別為2，則該三棱錐的外接球的表面積為()

A.4π

B.6π

C.8π

D.10π

5.在正方體1111ABCDABCD-中，E是棱1BB的中點，用過點

1AEC、、的平面截去該正方體的下半部分，則剩余幾何體的正視圖（也稱主視圖）是()

A．

B．

C．

D．

6.如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點M為線段PB的中點．現有結論：①BC⊥PC；②OM//平面APC；③點B到平面PAC的距離等于線段BC的長．其中正確的是()

A．①②

B．①②③

C．①

D．②③

7.在《九章算術》中，將有三條棱相互平行且有一個面為梯形的五面體稱為“羨除”，現有一個羨除如圖所示，DA⊥平面ABFE，四邊形ABFE，CDEF均為等腰梯形，AB//CD//EF，AB=AD=4，EF=8，EF到平面ABCD的距離為6，則這個“羨除”體積是()A．96

B．72

C．64

D．58

8.在平面四邊形ABCD中，AC⊥BC，BC=1，AB=2，將△ABC沿對角線AC所在的直線折起，使平面ABC⊥平面ACD，則直線AB與平面ACD所成角為(

)A．

3

πB．

6

πC．

56

π

D

．

23

π9.如圖，平面四邊形ABCD中，EF、是ADBD、的中點，=2ABADCD==，

BD=，90BDC∠=，將△ABD沿對角線BD折起至△ABD'，使平面ABD'⊥

平面BCD，則四周體ABCD'-中，下列結論不正確的是()

A．EF//平面ABC'

B．異面直線CD與AB'所成的角為90°

C．異面直線EF與AC'所成的角為60°

D．直線AC'與平面BCD所成的角為30°10.如圖,直三棱柱111ABCABC-中,側棱長為2，=1ACBC=，

=90ACB?

∠，D是11AB的中點，F是1BB上的動點，1ABDF、交于點E.

要使1AB⊥平面1CDF，則線段1BF的長為()

A．12

B．1

C．3

2

D．2

二、填空題（每小題4分，共20分）

14.如圖，在正三棱柱111ABCABC-中，2AB=，1AA，DF、分別是棱AB、1AA的中點，E為棱AC上的動點，則△DEF的周長的最小值為.

15.在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA=SB32=，二面角S-AB-C的大小為120°，則此三棱錐的外接球的半徑為.

三、解答題（每小題10分，共40分）

16.(10分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E、F分別是A1C1、BC的中點.

(1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證:C1F∥平面ABE.

17.（10分）如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°,E是CD的中點,PA⊥底面ABCD，PA=(1)求證:BE⊥平面PAB；(2)求二面角

A-BE-P的大小.

18.（10分）在棱長為3的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別在棱AB、CD上，且AE＝CF＝1

.

(1)求異面直線

A1E與C1F所成角的余弦值；(2)求四周體EFC1A1的體積．

19.（10分）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，ABPC⊥，ADBC，ADCD⊥，且2PCBCAD=

=2CD==2PA=．(1)PA⊥平面ABCD；

(2)在線段PD上，是否存在一點M

，使得二面角M-AC-D大小為60°？假如存在，求

的值；假如不存在，請說明

理由．

1

AA

B

密

學校班級

姓名學號

密封線內不得答題

太原五中2022-2023學年度第一學期階段性檢測

高二數學（理）

出題人、校對人：陰瑞玲、閆曉婷、王澤宇（

2023.10.17）

一、選擇題（每小題4分,共40分,每小題只有一個正確答案）1.

下列命題正確的是()

A.棱柱的側面都是長方形

B.

棱柱的全部面都是四邊形C.棱柱的側棱不肯定相等D.

—個棱柱至少有五個面【答案】D

A不對，側面都是平行四邊形，不肯定都是長方形；

B不對，三棱柱的底面是三角形；

C不對，棱柱的側棱肯定相等；

D對，三棱柱的面最少，三個側面兩個底面共

5個面，其他棱柱都多余5個面,故選

D.2.假如一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45?，上底為1腰梯形，那么原平面圖形的面積是()A.

2

B.

C.D.【答案】C

依題意，四邊形ABCD是一個底角為，上底為，腰為的等腰梯形，

過C,D分別做

，

，

則和為斜邊長為的等腰直角三角形，所以AE=DE=BF=1，又

EF=CD=1，梯形ABCD的面積：

在斜二測畫直觀圖時，直觀圖的面積與原圖的面積之比為：

即：.故選C.

3.已知兩條不同的直線mn、，和平面α，下列結論正確的是()①//,mnnα⊥，則mα⊥；②//,//mnαα，則//mn；③,mnα

α⊥⊥，則//mn；

④m與平面α所成角的大小等于n與平面α所成角的大小，則//mn.A.①③B.①②C.②③D.①④

【答案】A②不對，由于直線

可能平行可能相交也可能異面；

④不對，線m,n可能平行可能相交也可能異面；故選A.4.三棱錐P-ABC三條側棱兩兩垂直，三個側面面積分別為222

，，，則該三棱錐的外接球的表面積為(

)

A.4π

B.6π

C.8π

D.10π【答案】B

三棱錐P?ABC的三條側棱PA、PB、PC兩兩相互垂直，它的外接球就是它擴展為長方體的外接球，設PAaPBbPCc===，，，則

111222abbcca===

，

解得,1,abc=

===所以球的半徑長R，則球的表面積S=4πR2

=6π，故選B.5.在正方體1111ABCDABCD-中，E是棱1BB的中點，用過點1AEC、、的平面截去該正方體的下半部分，則剩余幾何體的正視圖（也稱主視圖）是

()

A．

B．

C．

D．

【答案】A

剩余部分的直觀圖如圖：則該幾何體的正視圖為圖中粗線部分，故選A．

6.如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點M為線段PB的中點．現有結論：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③點B到平面PAC的距離等于線段BC的長．其中正確的是()A．①②B．①②③C．①D．②③【答案】B

對于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.

∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC，又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴BC⊥PC.

對于②，∵點M為線段PB的中點，∴OM∥PA，∵PA?平面PAC，OM?平面PAC，∴OM∥平面PAC.對于③，由①知BC⊥平面PAC，

∴線段BC的長即是點B到平面PAC的距離，故①②③都正確．故選B.7.在《九章算術》中，將有三條棱相互平行且有一個面為梯形的五面體稱為“羨除”，現有一個羨除如圖所示，DA⊥平面ABFE，四邊形ABFE，CDEF均為等腰梯形，AB//CD//EF，AB=AD=4，EF=8，EF到平面ABCD的距離為6，則這個“羨除”體積是()

A．96

B．72

C．64

D．58

【答案】C

如圖所示，多面體切割為兩個三棱錐E﹣AGD，F﹣HBC和一個

直三棱柱GAD﹣HBC，

由于

，且到平面ABCD的距離為

6，

，

所以這個“羨除”體積為

．故選C．

8.在平面四邊形ABCD中，AC⊥BC，BC=1，AB=2，將△ABC沿對角線AC所在的直線折起，使平面ABC⊥平面ACD，則直線AB與平面ACD所成角為()A．

3

π

B．

6

πC．

56

π

D．

23

π【答案】B

，則AC=

，平面

平面

，

交線為

AC

，

BC

AC，

所以BC

面ACD，所以

即為直線與平面所成角，cos=，

所以

=

，故選B.

9.如圖，平面四邊形ABCD中，EF、是ADBD、的中點，=2ABADCD==，

BD=90BDC∠=，將△ABD沿對角線BD折起至△ABD'，使平面ABD'⊥

密

學校班級

姓名

學號

密封線內不得答題

平面BCD，則四周體ABCD'-中，下列結論不正確的是()

A．EF//平面ABC'

B．異面直線CD與AB'所成的角為90°

C．異面直線EF與AC'所成的角為60°

D．直線AC'與平面BCD所成的角為30°【答案】C由于，

分別為

和兩邊中點，所以

，

即

平面

，A正確；由于平面平面，交線為

，且

，所以

平面

，

即，故B正確；取邊中點

，連接

，，則，

所以為異面直線

與

所成角，又，

，，即

，故C錯誤；由于平面平面

，連接

，則

，所以

平面

，

連接FC，所以為異面直線

與所成角，

又

，∴

，

又

，sin

，∴

，D

正確；故選C．

10.如圖,直三棱柱111ABCABC-中,側棱長為2，=1ACBC=，=90ACB?

∠，D是11

AB的中點，F是1BB上的動點，1ABDF、交于點E.要使1AB⊥平面1CDF，則線段1BF的長為()

A．

12

B．1

C．

32

D．2

【答案】A

設B1F=x,由于AB1⊥平面C1DF,DF?平面C1DF,

所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1=,設Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h,

則DE=h.

又2×=h,所以h=,DE=.在Rt△DB1E中,B1E==.

由面積相等得×=x,得x=.

二、填空題（每小題4分，共20分）

11.兩個球的體積之比是8:27，那么兩個球的表面積的比為.【答案】4:9

12.三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，過點P作平面ABC的垂線，垂足為O，則點O是

ABC的心.【答案】外心

13.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，MD＝1

3

DD1，NB＝1

3BB1，那么正方體過點M，N，C

1的截面圖形是邊形.

【答案】選在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱

DD1和BB1上的點，MD＝13DD1，NB＝1

3BB1.如圖，延長

C1M交C

D的延長線于點P，延長C1N交CB的延長線于點Q，連接PQ交

AD于點E，AB于點F，連接NF

，ME，則正方體過點M，N，C1的截面圖形是五邊形．

14.如圖，在正三棱柱111ABCABC-中，2AB

=，1AA，D

F、分別是棱AB

、1AA的中點，E為棱AC上的動點，則△DEF的周長的最小值為.

【答案】

15.在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為3

的等邊三角形，SA=SB32=，二面角S-AB-C的大小為120°，則此三棱錐的外接球的半徑為.【答案】

2

三、解答題（每小題10分，共40分）

16.(10分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱垂直于

底

面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E、F分別是A1C1、BC的中點.(1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證:C1F∥平面ABE.

ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又由于AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥

平面B1BCC1.

AB的中點G,連接EG,FG,如圖.

由于E,F分別是A1C1,BC的中點,所以FG∥AC,且FG

由于AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四邊形FGEC1為平行四邊形.所以C1F∥EG.

又由于EG?平面ABE,C1F?平面ABE,所以C1

F∥平面ABE.

17.（10分）如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°,E是

CD的中點,PA⊥底面ABCD，PA=(1)求證:BE⊥平面PAB；(2)求二面角A-BE-P的大小.【答案】

,連接BD,由ABCD是菱形,

且

∠

BCD=60

°知,△BCD是等邊三角形.

由于E是CD的中點,所以BE⊥CD.

密

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密封線內不得答題

又AB∥CD,所以BE⊥AB.又由于PA⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,

所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.

(1)知BE⊥平面PAB,PB?平面PAB,所以PB⊥BE.又AB⊥BE,

所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA∠PBA=60°,

故二面角A-BE-P的大小是60°.

∵EF?平面EFC1，A1N?平面EFC1，∴A1N∥平面EFC1，

∴VA1－EFC1＝VN－EFC1＝VE－NFC1＝31