第18講雙曲線離心率常考題型總結【知識點梳理】橢圓的離心率，【題型目錄】題型一：利用雙曲線的定義、幾何性質求離心率的值題型二：雙曲線的離心率范圍范圍問題題型三：橢圓和雙曲線共焦點離心率之間的關系（利用定義或者焦點三角形面積公式）題型四：利用中點弦公式（點差法）求離心率【典型例題】題型一：利用雙曲線的定義、幾何性質求離心率的值【例1】（2022·安徽省臨泉第一中學高二期末）已知雙曲線的兩個焦點分別為，，是雙曲線上一點，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據雙曲線的定義及幾何性質結合向量的數量積直接可得離心率.【詳解】，則，又因為，，即，所以，，所以，則，故選：B.【例2】（云南省三校2023屆高三上學期高考備）已知雙曲線的左、右焦點為，，過且垂直于軸的直線交于，兩點，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】由題可得，從而可建立方程，即可得出雙曲線的離心率.【詳解】由題可得，代入雙曲線，解得，又，∴，即，，，，，.故選：A【例3】（2022·陜西省安康中學高三階段練習（文））設雙曲線的左?右焦點分別為為坐標原點，若雙曲線上存在點滿足，則雙曲線的離心率為（

）A．6 B．3 C． D．【答案】C【分析】判斷M點位置，過點作軸的垂線，垂足為A，可得，，設，利用勾股定理表示出，可得，結合雙曲線定義可得，即可求得a,c的關系，進而求得離心率.【詳解】因為,則，M在雙曲線右支上，過點作軸的垂線，垂足為A，則A為的中點，所以，，設，則，故在中，.在Rt中，，則，即.因為，則，所以，即，所以，故選：C.【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知，分別為雙曲線（）的左、右焦點，，是右支上的兩點，且直線經過點．若，以為直徑的圓經過點，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由以為直徑的圓經過點得，結合雙曲線的定義及勾股定理可得解.【詳解】由題意得，設，則，，，，在中，由勾股定理得，解得，則，，在中，由勾股定理得，化簡得，所以的離心率，故選：A.【例5】（2022·全國·長垣市第一中學高三開學考試（理））設雙曲線的左?右焦點分別為，過點作斜率為的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】結合向量運算、雙曲線的定義建立等量關系式，利用直線的斜率列方程，化簡求得雙曲線的離心率.【詳解】如圖，設為的中點，連接.易知，所以，所以.因為為的中點，所以.設，因為，所以.因為，所以.所以.因為是的中點，，所以.在Rt中，；在Rt中，.所以，解得.所以.因為直線的斜率為，所以，所以，，所以離心率為.故選：A【點睛】求雙曲線離心率的方法有：（1）直接法：利用已知條件將求出，從而求得離心率；（2）方程法：利用已知條件列出關于或的方程，化簡求得離心率.【例6】（2022·江蘇南通·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，、是雙曲線上關于原點對稱的兩點，，四邊形的面積為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知四邊形為矩形，利用勾股定理結合雙曲線的定義可得出，利用三角形的面積公式可求得的值，即可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】由已知，所以，，，所以，，可得，由勾股定理可得，由雙曲線的定義可得，所以，，由雙曲線的對稱性可知，四邊形為矩形，所以，，所以，，故該雙曲線的離心率為.故選：A.【例7】（2022·陜西安康·高二期末（理））已知雙曲線C：（，）的左，右焦點分別為，，A為C的左頂點，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于P，Q兩點，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圓的對稱性，并聯立漸近線方程求、坐標，結合已知易得，根據得到齊次方程求參數關系，即可得離心率.【詳解】設以為直徑的圓的方程為，且、關于原點對稱，由，解得或，∴，．∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴．故選：D【例8】（2022·遼寧·高三期中）已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點.若＝0，則C的離心率為（

）A． B．＋1 C．3 D．2【答案】D【分析】本題首先可結合題意繪出圖像，結合已知條件得出、以及直線的方程為，然后聯立直線的方程與漸近線方程，求出點坐標，再然后根據得出，最后根據以及離心率計算公式即可得出結果.【詳解】如圖，結合題意繪出圖像：因為，，是中點，所以是中點，，，，因為直線是雙曲線的漸近線，所以，，直線的方程為，聯立，解得，則，整理得，因為，所以，，故選：D.【例9】（2022·浙江·溫嶺中學高二期末多選）設雙曲線的左右焦點分別為，以的實軸為直徑的圓記為，過作圓的切線與交于?兩點，且，則的離心率可以為（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】當直線與雙曲線交于兩支時，設過的切線與圓相切于點，從而可求得，過點作于點，由中位線的性質求得，在中，可求得，利用雙曲線的定義可得的關系，再由離心率公式求解即可，當直線與雙曲線交于同一支時，同理可求得離心率【詳解】當直線與雙曲線交于兩支時，設過的切線與圓相切于點，則，因為，所以，過點作于點，所以∥，因為為的中點，所以，，因為，為銳角，所以，所以，所以，所以，因為，所以，化簡得，所以，所以離心率為，當直線與雙曲線交于一支時，記切點為，連接，則，過作于，則，所以，因為，所以為銳角，所以，所以，，所以,所以，化簡得，所以，所以離心率為，綜上，雙曲線的離心率為或，故選：BD【例10】（2022·江西南昌·三模（理））已知雙曲線：的左、右焦點分別是，，是雙曲線右支上一點，且，和分別是的內心和重心，若與軸平行，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由重心坐標求得I的坐標，再利用圓的切線長定理和雙曲線的定義得到G的坐標，再根據與軸平行，由求解.【詳解】解：如圖所示：由題意得：，則，由圓的切線長定理和雙曲線的定義得，所以，則，因為與軸平行，所以，即，則，即，解得，故選：B【題型專練】1.（2022·福建·泉州市城東中學高二期中）已知雙曲線的右頂點為，若以點為圓心，以為半徑的圓與的一條漸近線交于，兩點，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過圖形，利用圓、雙曲線的幾何性質，根據題設得到的等量關系，算出雙曲線的離心率．【詳解】過點作于點，則點為線段的中點，因為點為，漸近線方程為，所以點到漸近線的距離為，在中，，在中，，因為，所以，所以，即，所以離心率．故A，B，D錯誤.故選：C．2.（2022·河北保定·高一階段練習）已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據雙曲線的定義及條件，表示出，結合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：B3.（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，一條漸近線為，過點且與平行的直線交雙曲線于點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由雙曲線定義可得，根據平行關系可知，由余弦定理可構造齊次方程求得離心率.【詳解】設，則點位于第四象限，由雙曲線定義知：，；設過點且與平行的直線的傾斜角為，則，，；在中，由余弦定理得：，即，整理可得：，.故選：C.4.（2023·全國·高三專題練習）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線C有一個交點P，設的面積為S，若，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．2【答案】C【分析】根據給定條件，利用直角三角形勾股定理及面積公式列式，再結合雙曲線定義即可計算作答.【詳解】依題意，，令，，則有，由得：，即有，而，所以.故選：C【點睛】思路點睛：雙曲線上一點與兩焦點構成的三角形，稱為雙曲線的焦點三角形，與焦點三角形有關的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的關系．5.（2023·全國·高三專題練習）如圖，雙曲線的左?右焦點分別為為雙曲線右支上一點，直線與圓相切于點，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知結合雙曲線定義可得，在中利用勾股定理即可求出.【詳解】由題可得，因為，所以，則在中，，即，即.故選：A.6．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知雙曲線

=1的右焦點，過點F作一條漸近線的垂線垂足為M，若與另一條漸近線交于點，且滿足5，則該雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作圖，利用圖中的直角三角形和雙曲線的幾何關系求出a與b的關系即可.【詳解】設坐標原點為O，M點在第一象限，則，則，漸近線的方程為，，運用點到直線的距離公式，，因為，∴，∴，，，因為x軸平分∠MON，

所以，又因為，所以，即，得，設C的離心率為e，則，所以；故選：A.7．（2022·河南·高三開學考試（文））設雙曲線的左?右焦點分別為，過的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點，且，則雙曲線的離心率為___________.【答案】【分析】根據已知條件作出圖形，設為的中點，連接，再根據向量的線性運算以及兩向量垂直數量積為得出為等腰直角三角形，再利用雙曲線的定義列出方程組，求出、和的長，進而利用幾何關系列出關于離心率的齊次式求得雙曲線的離心率.【詳解】如圖，設為的中點，連接，易知，，，又為的中點，，，，為等腰直角三角形，設，由雙曲線的定義知，解得，，又，.在中，，，，化簡得，即，又，.故答案為：.8．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線垂直于雙曲線的一條漸近線，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，若，則雙曲線的離心率為______．【答案】【分析】聯立直線方程可得點，的坐標，結合，可得，進而可得離心率.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線為，若過的直線與直線垂直，垂足為，直線與直線交于，，因為，所以在，之間，如圖所示，直線的方程為，由，得，由，得，由，可得，所以，所以，所以雙曲線的離心率．同理，過的直線與直線垂直時，雙曲線的離心率．綜上所述，雙曲線的離心率為，故答案為：.9．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，已知雙曲線的右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關于原點的對稱點為，滿足，且，則雙曲線的離心率是________．【答案】【分析】連接，，結合雙曲線定義及余弦定理解三角形，可得離心率.【詳解】設雙曲線的左焦點為，連接，，由條件可得，則，，，所以，即，即，所以雙曲線的離心率為：，故答案為.10．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預測）已知點，是雙曲線的左?右頂點，過點作傾斜角為的直線交于點，點是線段的中點.若，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】先由中位線結合求得，進而求出點坐標，代入雙曲線的方程，求得，即可求出離心率.【詳解】易得是線段的中點，又點是線段的中點，則，又，則，作軸于點，又，則，則，代入可得，解得，故離心率為.故選：A.題型二：雙曲線的離心率范圍范圍問題【例1】設雙曲線的中心為點，若有且只有一對相較于點、所成的角為的直線和，使，其中、和、分別是這對直線與雙曲線的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是A．B．C．D．【答案】A【解析】設雙曲線的焦點在軸上，則由作圖易知雙曲線的漸近線的離心率必須滿足，∴，，既有，又雙曲線的離心率為，∴．【例2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線（，）的左右焦點分別為，，O為坐標原點，點P為雙曲線C中第一象限上的一點，的平分線與x軸交于Q，若，則雙曲線的離心率范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據角平分線的性質得出，，利用三角形的三邊關系以及雙曲線的性質即可求解.【詳解】設雙曲線的半焦距為，離心率為，由，則，，因為是的平分線，所以,又因為，所以，所以，解得，即，所以雙曲線的離心率取值范圍為.故選：B【例3】（2022四川成都七中高三開學考試（理））已知雙曲線，，是實軸頂點，F是右焦點，是虛軸端點，若在線段BF上（不含端點）存在不同的兩點，使得構成以為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率e的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】將題意轉化為以，為直徑的圓與線段BF有兩個不同的交點，再數形結合列不等式化簡求解即可.【詳解】以，為直徑的圓與線段BF有兩個不同的交點，所以，，解得；且圓心到直線BF：的距離，化簡得，所以，，又，解得，所以雙曲線離心率的取值范圍是．故選：B【例4】（2022河南高三開學考試（文））已知，分別為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線左支上的任意一點，若的最小值為，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由雙曲線定義，變形后由基本不等式得最小值，從而得，再利用雙曲線中的范圍有，由此結合可得離心率的范圍．【詳解】，是左、右焦點，為雙曲線左支上的任意一點，所以，代入得，當且僅當時取等號，即，又點是雙曲線左支上任意一點，所以，即，.故選：C．【例5】（2022·湖南·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線上存在點（點不與左、右頂點重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為（

）A． B． C． D．2【答案】BC【分析】由可得，記∠PF1F2=α，利用正弦定理結合雙曲線及離心率的定義，利用分比定理以及三角恒等變換公式化簡離心率.然后利用余弦函數的性質得到離心率的取值范圍，進而做出判定.【詳解】∵，則離心率，則排除A；記，，，則，由正弦定理結合分比定理可知：，則，所以B，C是正確的，D不正確.故選：BC.【題型專練】1．2022·江西上饒·高二期末（文））已知雙曲線的焦距為為其左右兩個焦點，直線l經過點且與漸近線平行，若l上存在第一象限的點P滿足，則雙曲線C離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據題意分析滿足的點的軌跡，再根據此軌跡與直線l有交點，結合漸近線的性質求解即可；【詳解】因為滿足的所有點在以為焦點，長軸長為，短軸長為的雙曲線，即上.故若l上存在第一象限的點P滿足，則雙曲線與直線l有交點即可.又直線，數形結合可得，當或的經過一象限的漸近線的斜率即可，兩種情況均有，故，故離心率故選：A2.（2022·全國·高二專題練習）設雙曲線：的右焦點為，雙曲線的一條漸近線為，以為圓心的圓與交于點，兩點，，為坐標原點，，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．【答案】【分析】取直線的方程為，過點作于，則有，為等腰直角三角形，所以,,,由，可得，即可得，即可得出離心率的取值范圍.【詳解】解：由題可知，點，如圖所示，不妨取直線的方程為，過點作于，則到直線的距離，，且，為等腰直角三角形，，，，，，，，即，離心率，令，，則，即]，．故答案為：.3.（2022·全國·模擬預測（文））已知點F為雙曲線的右焦點，過F作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為A．若△OAF（點O為坐標原點）的面積為4，雙曲線的離心率，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據△OAF的面積得到，然后利用離心率的取值范圍得到關于的不等式，求解即可.【詳解】取雙曲線的一條漸近線為，即.則到漸近線的距離即，，，即.又，，易得，即，解得.故選：B.4.（2022·山西·模擬預測（理））雙曲線的右頂點為在軸上，若上存在一點（異于點）使得，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，則由已知可得點的軌跡方程為，與雙曲線方程聯立可求出點橫坐標，由題意知點在雙曲線的右支上，，化簡可得，從而可求出離心率的取值范圍【詳解】設，∵，點的軌跡方程為.聯立得，解得（舍去），，由題意知點在雙曲線的右支上，即，故，化簡得，因為，所以，故選：D.5.（2022·廣西·昭平中學高二階段練習（理））已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過作軸的垂線與雙曲線交于，兩點，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是__________.【答案】【分析】表達出，兩點坐標，進而利用向量數量積列出不等式，求出離心率的取值范圍.【詳解】當時，，解得：，不妨設，則，即，不等式兩邊同除以得：，解得：故答案為：6．（2022·全國·高二課時練習）設橢圓與雙曲線的離心率分別為，，雙曲線的漸近線的斜率小于，則的取值范圍為______，的取值范圍為______．【答案】

【分析】由雙曲線的漸近線的斜率小于，即可得出,由此即可求出、的取值范圍.【詳解】設橢圓和雙曲線的焦距分別為，，由題意，得雙曲線的漸近線方程為，所以，則，所以，．故答案為：；題型三：橢圓和雙曲線共焦點離心率之間的關系（利用定義或者焦點三角形面積公式）【例1】（2022·天津市西青區楊柳青第一中學高二期末）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線離心率倒數之和的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據雙曲線和橢圓的性質和關系，結合余弦定理即可得到結論．【詳解】設橢圓的長半軸為，雙曲線的實半軸為，半焦距為，由橢圓和雙曲線的定義可知，設，，，橢圓和雙曲線的離心率分別為，，因是它們的一個公共點，且，則由余弦定理可得：……①在橢圓中，由定義知，①式化簡為：……②在雙曲線中，由定義知，①式化簡為：……③由②③兩式消去得：，等式兩邊同除得，即，由柯西不等式得，.故選：B【例2】（2022·全國·高二課時練習）（多選）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率為，橢圓的上頂點為M，且，雙曲線和橢圓有相同的焦點，且雙曲線的離心率為，為曲線與的一個公共點．若，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】先由條件得出為等腰直角三角形，即可得出橢圓長半軸長，短半軸，長半焦距的關系，從而得出橢圓的離心率；然后在焦點三角形中，利用余弦定理得出雙曲線實半軸長為，半焦距為的關系，從而得出雙曲線的離心率，依次對選項驗證即可。【詳解】因為，且，所以為等腰直角三角形．設橢圓的半焦距為，則，所以，則．在中，，設，，雙曲線的實半軸長為，則（在中，由余弦定理可得），故，故，又，所以，即，故，，，，選BD．故選：BD【題型專練】1.（2022·全國·高二專題練習多選）已知橢圓與雙曲線有共同的左右焦點，，設橢圓和雙曲線其中一個公共點為P，且滿足，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則關于和，下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】假設點P在第一象限，橢圓的長半軸長和雙曲線的實半軸長分別為，半焦距為c，根據定義可知，進而解出，再由勾股定理得到間的關系，進而求得答案.【詳解】根據橢圓和雙曲線的對稱性，不妨設點P在第一象限，設橢圓與雙曲線的半焦距為，橢圓的長半軸長和雙曲線的實半軸長分別為，根據題意，，聯立方程組解得：,而，則，于是，由基本不等式，易知，所以.故選：AC.2.（2022·全國·高二專題練習多選）已知橢圓與雙曲線，有公共焦點（左焦點），（右焦點），且兩條曲線在第一象限的交點為，若△是以為底邊的等腰三角形，，的離心率分別為和，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】A由已知共焦點及橢圓、雙曲線參數的關系判斷；B、C由橢圓、雙曲線的定義可得，而，即可判定；D記，應用余弦定理可得，由已知及B、C分析，即可判斷.【詳解】設，的焦距為，由，共焦點知：，故A正確；△是以為底邊的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故B錯；由且，易得，故C正確；在△中，記，根據定義．由余弦定理有．整理得，兩邊同時除以，可得，故．將代入，得．故D正確故選：ACD．3．（2022·河南洛陽·模擬預測（理））已知F是橢圓：（）的右焦點，A為橢圓的下頂點，雙曲線：（，）與橢圓共焦點，若直線與雙曲線的一條漸近線平行，，的離心率分別為，，則的最小值為______．【答案】【分析】根據直線與的一條漸近線平行，得到，再結合雙曲線與橢圓共焦點得到，再利用基本不等式求解.【詳解】解：設的半焦距為c（），則，又，所以，又直線與的一條漸近線平行，所以，所以，所以，所以，所以