第二十六章反比例函數

26.1反比例函數26.1.1反比例函數的意義綠色圃中小學教育網http://www.L綠色圃中學資源網http://cz.L綠色圃中小學教育網http://www.L綠色圃中學資源網http://cz.L2.能判斷一個函數是否為反比例函數，

1.理解反比例函數的概念.3.能根據實際問題中的條件確定反比例函數的解析式.

下列問題中，變量間的對應關系可以用怎樣的函數關系表示？這些函數有什么共同特點？1.京滬鐵路全程為1463km，某次列車的平均速度v（km/h）隨此次列車的全程運行時間t（h）的變化而變化.【解析】

1463v=t綠色圃中小學教育網http://www.L綠色圃中學資源網http://cz.L綠色圃中小學教育網http://www.L綠色圃中學資源網http://cz.L2.某住宅小區要種植一個面積為1000m2的矩形草坪，草坪的長y(單位:m)隨寬x(單位:m)的變化而變化.【解析】或y·x=1000y=1000x3.已知北京市的總面積為1.68×104平方千米，人均占有的土地面積s(單位:平方千米/人)隨全市總人口n(單位:人)的變化而變化.【解析】或s·n=1.68×1041.68×104s=ns=1.68×104nv=1463ty=1000x1.由上面的問題我們得到這樣的三個函數2.上面的函數解析式形式上有什么的共同點?k都是的形式,其中k是常數.y=x3.反比例函數的定義４.反比例函數的自變量x的取值范圍是_________________

不等于０的一切實數

一般地，形如,k≠

的函數稱為反比例函數.

0)

(k為常數y=xk等價形式：（k≠0）y=kx-1xy=ky是x的反比例函數記住這三種形式y=32xy=3x-1y=2xy=3xy=13xy=x1練習：下列函數中哪些是反比例函數?哪些是一次函數?反比例函數一次函數綠色圃中小學教育網http://www.L綠色圃中學資源網http://cz.L綠色圃中小學教育網http://www.L綠色圃中學資源網http://cz.L下列解析式中的y是x的反比例函數嗎？如果是，比例系數k是多少？可以改寫成，所以y是x的反比例函數，比例系數k=1.y是x的反比例函數，比例系數k=4.不具備的形式，所以y不是x的反比例函數.可以改寫成所以y是x的反比例函數，比例系數k=(2)寫出這個反比例函數的解析式.【解析】∵y是x的反比例函數,(1)完成上表；2-41y例2y是x的反比例函數，下表給出了x與y的一些值把x=y=4代入上式得已知y與x2成反比例,當x=4時,y=4.寫出y與x的函數解析式:求當x=2時y的值.因為當x=4時y=4，所以有∴y與x的函數解析式為⑵把x=2代入得1.若函數y=(m+1)x|m|-2是反比例函數，則m的值為（）（A）-1（B）1（C）2或-2（D）-1或1【解析】選B.當|m|-2=-1，且m+1≠0時，即m=1時，函數為反比例函數.2.(桂林·中考)若反比例函數的圖象經過點（-3，2），則k的值為()(A)-6(B)6(C)-5(D)5【解析】選A.把（-3，2）代入中，得k=-3×2=-6.3.（威海·中考)下列各點中，在函數的圖象上的是()(A)（－2，－4）(B)（2，3）(C)（－6，1）(D)（－，3）【解析】選C.∵點在函數的圖象上，∴點的坐標應滿足xy=-6;滿足條件的是C.4.下列關系中是反比例函數的是()(A)(B)(C)(D)y=-1【解析】選C.∵B、D都不符合(k≠0)的形式,因而它們都不是反比例函數;A不一定是反比例函數,因為k可能為零;C是反比例函數,因為5.(衢州·中考)若點(4,m)在反比例函數(x≠0)的圖象上,則m的值是_______.【解析】將(4,m)代入得,m==2.答案：26.(陜西·中考)已知A（x1,y1），B（x2，y2）都在的圖象上.若x1x2=-3，則y1y2的值為______【解析】∵y1·y2=又∵x1·x2=-3，∴y1·y2==-12.答案：-12通過本課時的學習，需要我們1.掌握反比例函數的定義，并以此判斷是否是反比例函數.2.能根據實際問題中的條件或待定系數法確定反比例函數的解析式.26.1.2反比例函數的圖像與性質綜合運用（2）性質：當k>0時,兩支雙曲線分別位于第一,三象限內;當k<0時,兩支雙曲線分別位于第二,四象限內.k<0yx0y0k>0x雙曲線關于原點和直線y=±x對稱.雙曲線無限接近于x,y軸,但永遠達不到x,y軸.當k>0時,在每一象限內,y隨x的增大而減小;當k<0時,在每一象限內,y隨x的增大而增大.位置：增減性：漸近性：對稱性：回顧

練習1.已知k<0,則函數y1=kx,y2=在同一坐標系中的圖象大致是()xkxy0xy0xy0xy0(A)(B)(C)(D)D

練習2.已知k>0,則函數y1=kx+k與y2=在同一坐標系中的圖象大致是()xk(A)xy0xy0(B)(C)(D)xy0xy0COxyACOxyDxyoOxyB如圖函數在同一坐標系中的大致圖象是（）DP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx面積性質一P(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB面積性質二A.S1=S2=S3

B.S1<S2<S3

C.S3<S1<S2

D.S1>S2>S3

BA1oyxACB1C1S2A如圖所示，A（x1

，y1）、B（x2

，y2）、C（x3

，y3）是函數y=的圖象在第一象限分支上的三個點，且x1＜x2

＜x3

，過A、B、C三點分別作坐標軸的垂線，得矩形ADOH、BEON、CFOP，它們的面積分別為S1、S2、S3，則下列結論中正確的是()1A、S1<S2<S3

B、S3<S2<S1

C、S2<S3<S1

D、S1=S2=S3D如圖，點A是反比例函數圖象上的一點，自點A向y軸作垂線，垂足為T，已知S△AOT=3則此函數的表達式為______ACoyxPP(m,n)AoyxP/面積性質三A.S=2B.2<S<4C.S=4D.S>4ACoyxB解:由上述性質(3)可知,S△ABC=2|k|=4C

直線y=kx與反比例函數y=－的圖象相交于點A、B，過點A作AC垂直于y軸于點C，求S△ABC．6、正比例函數y=x與反比例函數y=的圖象相交于A、C兩點.AB⊥x軸于B,CD⊥y軸于D(如圖),則四邊形ABCD的面積為()

（A）1（B）（C）2（D）C考察函數的圖象,當x=-2時,y=___,當x<-2時,y的取值范圍是

_____;當y﹥-1時,x的取值范圍是

_________.-1-1<y<0-2<x<0或x>0如圖,已知一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象與

x軸.y軸分別交于A.B兩點,且與反比例函數

y=m/x(m≠0)的圖象在第一象限內交于C點,CD

垂直于x軸,垂足為點D,若OA=OB=OD=1.(1)求點A.B.D的坐標;(2)求一次函數和反比例函數的解析式DBACyxO

小試牛刀學以致用BACyxO解（1）A（-1，0）B（1，0）C（1，0）（2）把A（-1，1）B（1，0）代入ｙ=kx+b中得b=1-k+b=0∴k=1∴y=x+1當x=1時，y=1+1=2∴C(1,2)把C(1,2)代入y=m/x中2=m/1∴m=2∴y=2/x

如圖：一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數

y=交于M（2，m）

、N（-1，-4）兩點（1）求反比例函數和一次函數的解析式；（2）根據圖象寫出反比例函數的值大于一次函數的值的x的取值范圍。yxkx20-1N（-1，-4）M（2，m）（1）求反比例函數和一次函數的解析式；yx20-1N（-1，-4）M（2，m）解（1）∵點N（-1，-4）在反比例函數圖象上

∴k=4,∴y=

又∵點M（2，m）在反比例函數圖象上

∴m=2∴M（2，2）

∵點M、N都y=ax+b的圖象上

∴解得a=2，b=-2∴y=2x-2yx20-1N（-1，-4）M（2，m）（2）觀察圖象得：當x<-1或0<x<2時，反比例函數的值大于一次函數的值（2）根據圖象寫出反比例函數的值大于一次函數的值的x的取值范圍。

如圖所示，已知直線y1=x+m與x軸、y軸分別交于點A、B，與雙曲線y2=（k<0）分別交于點C、D，且C點坐標為（-1，2）．

(3）利用圖象直接寫出當x在什么范圍內取何值時，y1>y2．（2）求出點D的坐標；（1）分別求直線AB與雙曲線的解析式；AyOBx求（1）一次函數的解析式（2）根據圖像寫出使一次函數的值小于反比例函數的值的x的取值范圍。AyOBxMN超越自我AyOBxMNAyOBxMN23．（10分）如圖，已知正比例函數y=2x和反比例函數的圖象交于點A（m，－2）．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）觀察圖象，直接寫出正比例函數值大于反比例函數值時自變量的取值范圍；

（3）若雙曲線上點C（2，n）沿OA方向平移個單位長度得到點B，判斷四邊形OABC的形狀并證明你的結論．

23．（8分）如圖，點B（3，3）在雙曲線（x>0）上，點D在雙曲線（x<0）上，點A和點C分別在x軸，y軸的正半軸上，且點A，B，C，D構成的四邊形為正方形．（1）求的值；（2）求點A的坐標．xyEF……請談談你的收獲26.2實際問題與反比例函數(1)

問題1:某校科技小組進行野外考察,途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地,為了安全,迅速通過這片濕地,他們沿著前進路線鋪墊了若干塊木板,構筑成一條臨時通道,從而順利完成了任務.(1)請你解釋他們這樣做的道理.(2)當人和木板對濕地的壓力一定時,隨著木板面積S(㎡)的變化,人和木板對地面的壓強p()將如何變化?

答:在物理中,我們曾學過,當人和木板對濕地的壓力一定時,隨著木板面積S的增加,人和木板對地面的壓強P將減小.

(3)如果人和木板對濕地的壓力合計600N,那么:①用含S的代數式表示p,p是s的反比例函數嗎?②當木板面積為20㎡時,壓強是多少?③如果要求壓強不超過6000,木板面積至少要多大?④在直角坐標系中,作出相應函數圖象.⑤請利用圖象對②③做出直觀解釋.P是S的反比例函數.當S=0.2m2時,P=600/0.2=3000(Pa)當P≤6000時,S≥600/6000=0.1(m2)解:問題(2)是已知圖象上的某點的橫坐標為0.2,求該點的縱坐標;問題(3)是已知圖象上點的縱坐標不大于6000,求這些點所處位置及它們橫坐標的取值范圍.實際上這些點都在直線P=6000下方的圖象上.

(3)如果人和木板對濕地的壓力合計600N,那么:①用含S的代數式表示p,p是s的反比例函數嗎?②當木板面積為20㎡時,壓強是多少?③如果要求壓強不超過6000,木板面積至少要多大?④在直角坐標系中,作出相應函數圖象.⑤請利用圖象對②③做出直觀解釋.問題2：市煤氣公司要在地下修建一個容積為104m3的圓柱形煤氣儲存室.(1)儲存室的底面積S(單位:m2)與其深度d(單位:m)有怎樣的函數關系?解:(1)根據圓柱體的體積公式,我們有

s×d=104變形得：即儲存室的底面積S是其深度d的反比例函數.dS解:(2)把S=500代入,得：

答:如果把儲存室的底面積定為500,施工時應向地下掘進20m深.(2)公司決定把儲存室的底面積S定為500m2,施工隊施工時應該向下掘進多深?解得：解:(3)根據題意,把d=15代入,得：解得：S≈666.67答:當儲存室的深為15m時,儲存室的底面積應改為666.67才能滿足需要.(3)當施工隊按(2)中的計劃掘進到地下15m時,碰上了堅硬的巖石.為了節約建設資金,儲存室的底面積應改為多少才能滿足需要(保留兩位小數)?

隨堂練習1(1)已知某矩形的面積為20cm2,寫出其長y與寬x之間的函數表達式;(2)當矩形的長為12cm是,求寬為多少?當矩形的寬為4cm,其長為多少?(3)如果要求矩形的長不小于8cm,其寬至多要多少?1.某蓄水池的排水管每時排水8m3,6h可將滿池水全部排空.(1)蓄水池的容積是多少?解:蓄水池的容積為:8×6=48(m3).(2)如果增加排水管,使每時的排水量達到Q(m3),那么將滿池水排空所需的時間t(h)將如何變化?答:此時所需時間t(h)將減少.(3)寫出t與Q之間的函數關系式;解:t與Q之間的函數關系式為:你一定能夠解答想一想：1.某蓄水池的排水管每時排水8m3,6h可將滿池水全部排空.解:當t=5h時,Q=48/5=9.6m3.所以每時的排水量至少為9.6m3.(5)已知排水管的最大排水量為每時12m3,那么最少多長時間可將滿池水全部排空?解:當Q=12(m3)時,t=48/12=4(h).所以最少需4h可將滿池水全部排空.(6)畫出函數圖象,根據圖象請對問題(4)和(5)作出直觀解釋,并和同伴交流.(4)如果準備在5h內將滿池水排空,那么每時的排水量至少為多少?(3)寫出t與Q之間的函數關系式;解:t與Q之間的函數關系式為:例1：碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船裝載貨物，把輪船裝載完畢恰好用了8天時間.（1）輪船到達目的地后開始卸貨，卸貨速度v（單位：噸／天）與卸貨時間t（單位：天）之間有怎樣的關系？（2）由于遇到緊急情況，船上的貨物必須在不超過5日內卸完，那么平均每天至少要卸多少噸貨物？分析：（1）根據裝貨速度×裝貨時間＝貨物的總量，可以求出輪船裝載貨物的的總量；（2）再根據卸貨速度＝貨物總量÷卸貨時間，得到ｖ與ｔ的函數式。例2.某種工藝品，一名工人一天的產量約為5至8個，若每天要生產這種工藝品60個，那么需要工人多少人？

1.某商場出售一批進價為2元的賀卡，在市場營銷中發現此商品的日銷售單價x元與日銷售量y之間有如下關系：（1）根據表中的數據在平面直角坐標系中描出實數對（x,y）的對應點.（2）猜測并確定y與x之間的函數關系式，并畫出圖象；（3）設經營此賀卡的銷售利潤為w元，試求出w與x之間的函數關系式，若物價局規定此賀卡的銷售價最高不能超過10元／個，請你求出當日銷售單價x定為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤？X（元）3456Y（個）20151210練習

2.一輛汽車往返于甲、乙兩地之間，如果汽車以50千米／時的平均速度從甲地出發，則經過6小時可達到乙地.（1）甲、乙兩地相距多少千米？（2）如果汽車把速度提高到v（千米／時），那么從甲地到乙地所用時間t（小時）將怎樣變化？（3）寫出t與v之間的函數關系式；（4）因某種原因，這輛汽車需在5小時內從乙地到甲地，則此汽車的平均速度至少應是多少？（5）已知汽車的平均速度最大可達80千米／時，那么它從甲地到乙地最快需要多長時間？補充練習：1、（4）試著在坐標軸上找點D,使△AOD≌△BOC。（1）分別寫出這兩個函數的表達式。（2）你能求出點B的坐標嗎？你是怎樣求的？（3）若點C坐標是（–4，0）.請求△BOC的面積。2、如圖所示，正比例函數y=k1x的圖象與反比例函數y=的圖象交于A、B兩點，其中點A的坐標為（，2）。33k2xCD（4，0）下課啦！26.2實際問題與反比例函數（2）問題1：一定質量的二氧化碳氣體，其體積V（m3）是密度ρ（kg/m3）的反比例函數，請根據下圖中的已知條件求出當密度ρ=1.1kg/m3時，二氧化碳的體積V的值？ρV1.9859m3（kg/m3）（m3）回顧練習問題2：右圖描述的是一輛小轎車在一條高速公路上勻速前進的圖象，根據圖象提供的信息回答下列問題：（1）這條高速公路全長是多少千米？（2）寫出時間t與速度v之間的函數關系式；（3）如果2至3h到達，轎車速度在什么范圍？v(km/h)1502O100200t(h)300千米100至150（千米/小時）3由圖象得當2≤

t≤3時，

100≤v≤150（1）（2）（3）解：如圖，為了預防“非典”，某學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒。已知藥物燃燒時，室內每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時間x(min)成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例.

現測得藥物8min燃畢，此時室內空氣中每立方米的含藥量為6mg。請根據題中所提供的信息，解答下列問題：（1）藥物燃燒時，求y與x的關系式；（2）藥物燃燒完后，求y與x的關系式；（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6mg時學生方可進入教室，那么從消毒開始，至少經過多少min后，學生才能回到教室；（4）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3mg且持續時間不低于10min時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？請說明理由。

例1如圖，為了預防“非典”，某學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒。已知藥物燃燒時，室內每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時間x(min)成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例.（1）藥物燃燒時，求y與x的關系式；（2）藥物燃燒完后，求y與x的關系式；解：(1)當0≤x≤8時設函數式為∵函數圖象經過點（8，6）∴把（8，6）代入得∴當x≥8時設函數式為∵函數圖象經過點（8，6）∴把（8，6）代入得∴

例1（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6mg時學生方可進入教室，那么從消毒開始，至少經過多少min后，學生才能回到教室；（0≤x≤8）（x≥8）解：(3)當y=1.6時有答：至少經過30min后，學生才能回到教室；

例11.630（0≤x≤8）（x≥8）3（4）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3mg且持續時間不低于10min時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？請說明理由。(4)把y=3代入兩函數得416∴持續時間=16-4=12(min)>10(min)答：此次消毒有效。

例1

1、制作一種產品，需先將材料加熱，達到60℃后，再進行操作，據了解，該材料加熱時，溫度y℃與時間x（min）成一次函數關系；停止加熱進行操作時，溫度y℃與時間x（min）成反比例關系，如圖所示，已知該材料在操作加工前的溫度為15℃，加熱5min后溫度達到60℃。xy105106050403020152520（1）分別求出將材料加熱和停止加熱進行操作時y與x的函數關系式；（2）根據工藝要求，當材料溫度低于15℃時，必須停止操作，那么從開始加熱到停止操作，共經歷了多少時間？（0≤x≤5）（x>5）20min鞏固訓練2、氣球充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內的氣壓P(kPa)是氣球體積V的反比例函數。當氣球體積是0.8m3時，氣球內的氣壓為120kPa。（1）寫出這一函數表達式。（2）當氣體體積為1m3時，氣壓是多少？（3）當氣球內氣壓大于192kPa時，氣球將爆炸。為安全起見，氣球體積應小于多少？鞏固訓練下課啦！實際問題與反比例函數挑戰記憶創設情境合作探究（1）（2）自主嘗試（1）（2）（3）超越自我（1）反思提高實際問題與反比例函數（2）挑戰記憶:反比例函數圖象有哪些性質?

反比例函數是由兩支曲線組成,當K>0時,兩支曲線分別位于第一、三象限內，在每一象限內，y隨x的增大而減少；當K<0時,兩支曲線分別位于第二、四象限內,在每一象限內,y隨x的增大而增大.繁忙的碼頭123合作探究

碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物，把輪船裝載完畢恰好用了8天時間。（1）輪船到達目的地后開始卸貨，卸貨速度υ（單位：噸/天）與卸貨時間t（單位：天）之間的函數關系？（2）在實際運送過程中，卸貨速度、卸貨時間可能有哪些變化情況？合作探究

碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物，把輪船裝載完畢恰好用了8天時間。（3）由于遇到緊急情況船上的貨物必須在不超過5天內卸載完畢，那么平均每天至少要卸多少噸貨物？（4）如果碼頭工人先以每天30噸的速度卸載兩天，由于遇到緊急情況船上的貨物必須在不超過4天內卸載完畢，那么平均每天至少要卸多少噸貨物？做一做1、課本P61L22、某打印店要完成一批電腦打字任務，每天完成75頁，需8天，設每天完成的頁數為y，所需的天數為x.問:y與x是何種函數關系？若要求在5天內完成任務，每天至少要完成幾頁？3.某蓄水池的排水管每時排水8m3,6h可將滿池水全部排空.(1)蓄水池的容積是多少?解:蓄水池的容積為:8×6=48(m3).(2)如果增加排水管,使每時的排水量達到Q(m3),那么將滿池水排空所需的時間t(h)將如何變化?答:此時所需時間t(h)將減少.(3)寫出t與Q之間的函數關系式;解:t與Q之間的函數關系式為:練一練2.某蓄水池的排水管每時排水8m3,6h可將滿池水全部排空.(4)如果準備在5h內將滿池水排空,那么每時的排水量至少為多少?解:當t=5h時,Q=48/5=9.6m3.所以每時的排水量至少為9.6m3.(5)已知排水管的最大排水量為每時12m3,那么最少多長時間可將滿池水全部排空?解:當Q=12(m3)時,t=48/12=4(h).所以最少需5h可將滿池水全部排空.(6)畫出函數圖象,根據圖象請對問題(4)和(5)作出直觀解釋,并和同伴交流.練一練超越自我

某地上年度電價為每度0.8元，年用電量為1億度，本年度計劃將電價調整至0.55——0.75元之間，經測算電價調至x元，則本年度新增用電量y億度與（x-0.4）成反比例，且當x=0.65時y=0.8.求y與x之間的函數關系式.

若每度電成本價0.3元，則電價調至多少元時，本年度電力部門的收益將比上年度增加20％？〔收益=用電量×（實際電量-成本價）〕反思提高.通過本節課的學習,你有哪些收獲?利用反比例函數解決實際問題的關鍵:建立反比例函數模型.布置作業:

課本P63T6、7祝同學們學習進步！再見

圖形的相似大小不同的兩個足球問題：觀察下面的圖片，說說它們有什么相同和不同？同一底片洗出的不同尺寸的照片問題：觀察下面的圖片，說說它們有什么相同和不同？請觀察下面幾組圖片你從上述幾組圖片發現了什么？它們的大小不一定相等，形狀相同.全等圖形指能夠完全重合的兩個圖形，即它們的形狀和大小完全相同。形狀、大小都相同的圖形稱為全等圖形。注：全等圖形是相似圖形的特殊情況。1、相似圖形的概念：形狀相同的圖形叫做相似圖形。

注意：相似圖形的大小不一定相同。一些兩兩相似的幾何圖形例子3、圖形的相似具有傳遞性；圖形A圖形B圖形C如果圖形Ａ與圖形Ｂ相似，圖形Ｂ與圖形Ｃ相似，那么圖形Ａ與圖形Ｃ相似。相似知識的升華觀察下面的圖形（a）～（g），其中哪些是與（1）（2）或（3）相似的？（a）與（1）、（d）與（2）、（g）與（3）觀察下列圖形，哪些是相似形？（12）（13）⑴⑵⑶（7）（9）（8）？（14）⑷⑹⑸？（10）（11）1、在比例尺為1：10000000的地圖上，量得甲，乙兩地的距離是30cm，求兩地的實際距離。2、如圖所示的兩個三角形相似嗎？為什么？3、如圖，△ABC與△DEF相似，求未知邊x,y的長度。如圖所示的兩個五邊形相似，求未知邊a、b、c、d的長度。ABDF兩個相似的平面圖形之間有什么關系呢？為什么有些圖形是相似的，而有些不是呢？相似圖形有什么主要特征呢？合情猜測

如果兩個圖形相似，它們的對應邊、對應角可能存在某種關系.圖（1）中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的，觀察這兩個圖形，它們的對應角有什么關系？對應邊呢？對于圖（2）中的兩個相似的正六邊形，你是否也能得到類似的結論？對應角相等對應邊的比相等對應角相等對應邊的比相等

探索一

圖中兩個四邊形是相似形，仔細觀察這兩個圖形，它們對應邊之間存在怎樣的關系？對應角之間又有什么關系？探索二

再看看圖中兩個相似的五邊形，是否與你觀察所得到的結果一樣？形成認識：1.相似多邊形的特征：

對應邊成比例，對應角相等.符號語言（以四邊形為例）：∵四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′（相似多邊形的對應邊成比例，對應角相等）

形成認識2、兩個相似多邊形對應邊的比也叫做這兩個多邊形的相似比.3、相似多邊形的識別：如果兩個多邊形對應邊成比例，對應角相等，那么這兩個多邊形相似.下圖是兩個等邊三角形，找出圖形中的成比例線段，并用比例式表示.

兩個任意三角形是相似圖形嗎？兩個任意等腰三角形呢？例題如圖，四邊形ABCD和EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的長度x.24cmx解：∵四邊形ABCD和EFGH相似∴∠α=∠C=83°，∠A=∠E=118°118°又在四邊形ABCD中∠β=360°-（78°+83°+118°）=81°∵四邊形ABCD和EFGH相似∴即∴x=28(cm)

如圖矩形草坪長20m,寬10m,沿草坪四周有1m寬的環形小路,小路內外邊緣所成的矩形EFGH和矩形ABCD是否相似?AFEHGDCB∴不相似例2：如圖，點E、F分別是矩形ABCD的邊AD、BC的中點，若矩形ABCD與矩形EABF相似，AB=1，求矩形ABCD的面積.ABCDEF解：∵矩形ABCD∽矩形EABF

又∵F是BC的中點

基礎訓練填空：(1)等腰三角形兩腰的比是________；(2)直角三角形斜邊上的中線和斜邊的比是_________.1∶1

1∶2

基礎訓練口答：(3)如圖所示的兩個五邊形是否相似？基礎訓練口答：(4)如圖，正方形的邊長a=10，菱形的邊長b=5，它們相似嗎？請說明理由.

基礎訓練練習：⑴如圖1，則x=

，y=

，α=

；⑵如圖2，x=

.╯800╰650╯800╮1250α╭36xy圖135302015x圖22.5

1.5

90°22.5

相似圖形——相同形狀的圖形利用相似放大或縮小圖形判斷兩個圖形是否相似小結相似多邊形特征識別對應角相等對應邊成比例相似多邊形的特征和識別：相似三角形的判定（1）復習回顧1、相似多邊形的主要特征是什么？

2、在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形，

3、對于2中，如果k=1，這兩個三角形有怎樣的關系？探究猜想如圖，任意畫兩條直線l1,l2,再畫三條與l1,l2

相交的平行線l3l4l5.分別量度l3l4l5在l1上截得的兩條線段AB,BC和在l2

上截得的兩條線段DE,EF的長度,AB︰BC與DE︰EF相等嗎?任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的長度,AB︰BC與DE︰EF相等嗎?探究1:學生分組匯報探究的結論：匯總歸納所得結論，如下：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段的比相等。

平行線分線段成比例定理：

探究2：把平行線分線段成比例定理應用到三角形中，會出現下面的圖中的兩種情況，如上圖所示，

如圖（1）中，l1,l2兩條直線相交，交點A剛落到l3上，l4看成平行于△ABC的邊BC的直線；如圖（2）中，l1,l2兩條直線相交，交點A剛落到l4上，l3看成平行于△ABC的邊BC的直線。平行線分線段成比例定理推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊延長線），所得的對應線段的比相等。例：如圖，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.

例：如圖，EF∥BC，FD∥AB，AE=18，BE=12，CD=14，則BD=____________。

歸納總結1、“三角形相似的預備定理”。這個定理揭示了有三角形一邊的平行線，必構成相似三角形，因此在三角形相似的解題中，常作平行線構造三角形與已知三角形相似。2、相似比是帶有順序性和對應性的。布置作業

補充：1、在ABC中，DE∥BC，DE與AB相交于D，與AC相交于E。（1）已知AD=5,DB=3,AE=4，求EC的長。（2）已知AC=12,EC=4,DB=5求AD的長。（3）已知AD:BD=3:2,AC=10，求AE的長。2、如圖，已知，AB∥CD∥EF，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的長。相似三角形的判斷（2）新課導入思考：如何證明呢？如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，AC于點D，E，證明：△ADE與△ABC相似。

如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，AC于點D，E，證明：△ADE與△ABC相似。

判定三角形相似的（預備）定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊所在直線相交，所成的三角形與原來三角形相似。例：如圖，AB∥EF∥CD，圖中共有

對相似三角形，寫出來并說明理由。

例：如圖，小明在打網球時，使球恰好能打過網，而且落在離網5米的位置上，求球拍擊球的高度h。(設網球是直線運動)圖中有幾個相似三角形？重心的性質：三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到對邊中點的距離的兩倍。

鞏固練習1、如圖，在△ABC中，DE∥BC，AE=2，EC=3，DE=4，求BC的長。

2、如圖：BD∥AC，CE=3，CD=5，AC=5，求BD的長。

課堂小結談談本節課你有哪些收獲。

相似三角形的判斷（3）復習回顧回答：不需要，如SSSSASASAAAS。

（預備定理）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所成的三角形與原來三角形相似。復習提問：(1)兩個三角形全等有哪些判定方法？是否要判斷所有對應角相等且所有對應邊相等？

(2)我們學習過哪些判定三角形相似的方法？(3)相似三角形與全等三角形有怎樣的關系？

相似比k=1時，兩個相似三角形全等提出探討問題：1、如果要判定△ABC與△A’B’C’相似，是不是一定需要一一驗證所有的對應角和對應邊的關系？2、可否用類似于判定三角形全等的SSS方法，能否通過一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應的比相等，來判定兩個三角形相似呢？探究：任意畫一個三角形，再畫一個三角形，使它的各邊長都是原來三角形各邊長的k倍，度量這兩個三角形的對應角，它們相等嗎？這兩個三角形相似嗎？與同學交流一下，看看是否有同樣的結論。同學分成幾組，每組選定不同的K的值，探究后再統一匯總。三角形相似的判定方法1:

如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，

那么這兩個三角形相似．

提出探討問題：可否用類似于判定三角形全等的SAS方法，能否通過兩個三角形的兩組對應邊的比相等和它們對應的夾角相等，來判定兩個三角形相似呢？三角形相似的判定方法2：

兩個三角形的兩組對應邊的比相等，且它們的夾角相等，那么這兩個三角形相似。思考：（1）中兩個三角形相似比是少？

相似比為7/3或3/7

（2）中，要使兩三角形相似，不改變AC的長，A’C’的長應改為多少？AC的長度為24

練習：教材P451、2、3．思考:上圖中是否還有相似三角形?

思考:兩條直角邊對應成比例的兩個直角三角形是否相似?為什么?思考：等腰三角形ABC與等腰三角形DEF有一角相等,這兩個三角形是否相似?為什么?

B練習：1、一個直角三角形的兩邊長分別為3和6,另一個直角三角形的兩邊長分別為2和4,那么這兩個直角三角形（）相似。(A)一定(B)一定不(C)可能(D)無法判斷C三角形相似的判定方法1:

如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，

那么這兩個三角形相似．三角形相似的判定方法2：

兩個三角形的兩組對應邊的比相等，且它們的夾角相等，那么這兩個三角形相似。歸納小結：布置作業相似三角形的判斷

(4)復習回顧我們已學習過哪些判定三角形相似的方法？判定三角形相似的（預備）定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊所在直線相交，所成的三角形與原來三角形相似。三角形相似的判定方法1:

如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似．三角形相似的判定方法2:兩個三角形的兩組對應邊的比相等，且它們的夾角相等，那么這兩個三角形相似。如下圖，兩個三角形中有兩個角對應相等，這兩個三角形相似嗎？直觀上看這兩個三角形是相似的，如何證明呢？把小的三角形平移到大的三角形上，使得A與A’重合且角所在的邊是重合的，又∠B與∠B’相等，所以BC平移后所在的直線與直線B’C’平行，根據判定三角形相似的（預備）定理可知，這兩個三角形是相似的。三角形相似的判定方法3:

如果一個三角形的兩個角與另一個三角形兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．分析：要證PA?PB=PC?PD，需要證，則需要證明這四條線段所在的兩個三角形相似．由于所給的條件是圓中的兩條相交弦，故需要先作輔助線構造三角形，然后利用圓的性質“同弧上的圓周角相等”得到兩組角對應相等，再由三角形相似的判定方法3，可得兩三角形相似。思考：對于兩個直角三角形，我們還可以用“HL”判定它們全等。那么，滿足斜邊的比等于一組直角邊的比的兩個直角三角形相似？例：如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線，E是AC的中點，過E作MN交AD于M，交BC于N，⑴求證：AM=CN；⑵若∠CEN=90°，EN:AB=2:3，EC=3，求BC的長。課堂小結判定三角形相似的（預備）定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊所在直線相交，所成的三角形與原來三角形相似。三角形相似的判定方法1

如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似．三角形相似的判定方法2

兩個三角形的兩組對應邊的比相等，且它們的夾角相等，那么這兩個三角形相似。三角形相似的判定方法3

如果一個三角形的兩個角與另一個三角形兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．相似三角形應用舉例(1)

1、天安門的國旗旗桿的高度是多少？你有什么辦法測量？2、世界現存規模最大的金字塔位于哪個國家，叫什么金字塔？胡夫金字塔是埃及現存規模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇觀之一”

．塔的４個斜面正對東南西北四個方向，塔基呈正方形，每邊長約230多米．據考證，為建成大金字塔，共動用了10萬人花了20年時間．原高146.59米，但由于經過幾千年的風吹雨打，頂端被風化吹蝕，所以高度有所降低．在古希臘，有一位偉大的科學家叫泰勒斯．一天，希臘國王阿馬西斯對他說：“聽說你什么都知道，那就請你測量一下埃及金字塔的高度吧！”，這在當時條件下是個大難題，因為是很難爬到塔頂的．你知道泰勒斯是怎樣測量大金字塔的高度的嗎？旗桿的頂端、金字塔是很難爬不上去的！分組討論，借助什么手段可以測量出它們的高度。據史料記載，古希臘數學家、天文學家泰勒斯曾經利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構成的兩個相似三角形來測量金字塔的高度．例：如圖，如果木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO．

（思考如何測出OA的長？）

分析：根據太陽光的光線是互相平行的特點，可知在同一時刻的陽光下，豎直的兩個物體的影子互相平行，從而構造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性質，根據已知條件，求出金字塔的高度．測量高度可以借助太陽光和高度可測的木桿，構造相似三角形。課堂練習（見教材P50頁）1、在某一時刻，測得一根高為1.8米的竹竿的影長為3米，同時測得某一高樓的影長為90米，那么這棟高樓的高度是多少?問題：估算一條很難通過的河的寬度，你有什么好辦法嗎？思考：河面的寬度測量要借助什么呢？例:如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標P，在近岸取點Q和S，使點P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當的點T，確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R．如果測得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的寬度PQ．分析：設河寬PQ長為xm，由于此種測量方法構造了三角形中的平行截線，故可得到相似三角形，因此有，即．再解x的方程可求出河寬．

2、如圖，測得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河寬AB。

課堂小結

談談本節課你有哪些收獲．

利用自然界的太陽光、利用人類的視線，再借助于一些數學知識，解決實際中存在的問題，這是學習數學的目的。本節中，我們利用三角形的相似，可以解決一些不能直接測量的物體的高度或寬度的問題．在天文測量中，也大量運用了相似三角形，課后可以搜索一些資料，共同分享一下各自尋找的資料。

相似三角形應用舉例(2)求解實際問題

例：已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹根部的距離BD=5m．一個身高1.6m的人沿著正對這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進，當他與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看到右邊較高的樹的頂端點C？練習：如圖所示,假設學生座位到黑板的距離是5m,老師在黑板上寫字,究竟要寫多大,才能使學生望去時,同他看書桌上距離30cm的課本上的字感覺相同(即視角相同)?課堂練習：小明想利用樹影測量樹高，他在某一時刻測得長為1m的竹竿影長0.9m，但當他馬上測量樹影時，因樹在一個院子內，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上，如圖1，他先測得留在墻上的影高1.2m，又測得墻內地面部分的影長2.7m，你能幫組他求得的樹高是多少嗎？圖1圖3圖2圖1圖2圖3圖1圖2圖3圖1分組討論，制作簡單工具，分組展示。

圖2圖1學生工具展示：課堂小結：

1、相似三角形的應用主要有如下兩個方面（1）測高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)

（2）測距(不能直接測量的兩點間的距離)2、測高的方法測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長的比例”的原理解決3、測距的方法測量不能到達兩點間的距離,常構造相似三角形求解相似三角形的周長與面積新課導入思考：如果兩個三角形相似，它們的周長之間有什么關系？兩個相似多邊形呢？結論：相似三角形周長之比等于相似比。結論：相似多邊形周長之比等于相似比。結論：相似三角形對應高的比等于相似比．結論：相似三角形對應中線的比等于相似比．結論：相似三角形對應角平分線的比等于相似比．思考：如果兩個三角形相似，它們的面積之間有什么關系？結論：相似三角形面積的比等于相似比的平方．思考：如果兩個四邊形相似，它們的面積之間有什么關系？結論：相似四邊形面積的比等于相似比的平方．

推廣到任意多邊形，結論：相似多邊形面積的比等于相似比的平方．鞏固提高例：填空：（1）如果兩個相似三角形對應邊的比為3∶5，那么它們的相似比為________，周長的比為_____，面積的比為_____．（2）如果兩個相似三角形面積的比為3∶5，那么它們的相似比為________，周長的比為______．（3）連結三角形兩邊中點的線段把三角形截成的一個小三角形與原三角形的周長比等于____，面積比等于______．（4）兩個相似三角形對應的中線長分別是6cm和18cm，若較大三角形的周長是42cm，面積是12cm2，則較小三角形的周長為________cm，面積為_____cm．2課堂小結結論：相似三角形對應高的比等于相似比．結論：相似三角形對應中線的比等于相似比．結論：相似三角形對應角平分線的比等于相似比．結論：相似三角形面積的比等于相似比的平方．結論：相似四邊形面積的比等于相似比的平方．結論：相似多邊形面積的比等于相似比的平方．新課導入相似圖形這種相似有什么特征？相似圖形這種相似有什么特征？照相機把人物的影像縮小到底片上相似圖形這種相似有什么特征？在幻燈機放映圖片的過程中，這些圖片有什么關系？2.幻燈機在哪兒呢？3.我們能給這種有特殊位置的相似圖形一個名稱嗎？教學目標

了解位似圖形及其有關概念，了解位似與相似的聯系和區別，掌握位似圖形的性質。掌握位似圖形的畫法，能夠利用作位似圖形的方法將一個圖形放大或縮小。掌握直角坐標系中圖形的位似變化與對應點坐標變化的規律。知識與能力

經歷位似圖形性質的探索過程，進一步發展學生的探究、交流能力、以及動手、動腦、手腦和諧一致的習慣。過程與方法

利用圖形的位似解決一些簡單的實際問題，并在此過程中培養學生的數學應用意識，進一步培養學生動手操作的良好習慣。發展學生的合情推理能力和初步的邏輯推理能力。

情感態度與價值觀教學重難點

位似圖形的有關概念、性質與作圖。利用位似將一個圖形放大或縮小。直角坐標系中圖形的位似變化與對應點坐標的關系。

這樣放大或縮小，沒有改變圖形形狀，經過放大或縮小的圖形，與原圖是相似的。這些圖形相似嗎？觀察它們相似的共同點是什么？其中相似圖形的共同點是什么？

不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形（homotheticfigures），這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。知識要點位似圖形

位似是一種具有位置關系的相似。位似圖形是相似圖形的特殊情形。位似圖形必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形。兩個位似圖形的位似中心只有一個。兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的一側。注意

對應點與位似中心共線。不經過位似中心的對應邊平行。位似圖形上任意一對應點到位似中心的距離之比等于位似比。位似圖形的性質

位似的作用位似可以將一個圖形放大或縮小。

請以坐標原點O為位似中心，作□

ABCD的位似圖形，并把它的邊長放大3倍。小練習

分析：根據位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比，我們只要連結位似中心O和□

ABCD的各頂點，并把線段延長（或反向延長）到原來的3倍，就得到所求作圖形的各個頂點。1.連結OA，OB，OC，OD.2.分別延長OA，OB，OC，OD至G，C，E，F，使3.依次連結GC，CE，EF，FG.四邊形GCEF就是所求作的四邊形.如果反向延長OA，OB，OC，OD，就得到四邊形G’C’E’F’，也是所求作的四邊形.作法：使新圖形與原圖形對應線段的比是2∶1.ABGCEDF●P在原圖上取幾個關鍵點A,B,C,D,E,F,G;圖外任取一點P;作射線AP,BP,CP,DP,EP,FP,GP;在這些射線上依次取點A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,使PA′=2PA,PB′=2PB,PC′=2PC,PD′=2PD,PC′=2PC,PE′=2PE,PF′=2PF,PG′=2PG;B′A′C′D′E′F′G′順次連接點A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,所得到的圖形(向下的箭頭)就是符合要求的圖形。小練習

如果依次在射線上PA,PB,PC,PD,PE,PF,PG上取點A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′呢?結果是一個向上的箭頭.新圖形與原圖形是位似圖形，位似比是2∶1A′B′C′D′E′F′G′ABGCEDF●P你還有其它方法嗎?①確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇；

②確定原圖形的關鍵點，如四邊形有四個關鍵點，即它的四個頂點；

③確定位似比，根據位似比的取值，可以判斷是將一個圖形放大還是縮小；

④符合要求的圖形不唯一，因為所作的圖形與所確定的位似中心的位置有關，并且同一個位似中心的兩側各有一個符合要求的圖形。

位似變換的步驟小練習

如果兩個圖形不僅相似，而且每組對應頂點所在的直線都經過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。

位似多邊形ABCDEB1A1C1D1E1

在平面直角坐標系中，有兩點A（6，3），B（6，0）。以原點O為位似中心，相似比為，把線段AB縮小。觀察對應點之間坐標的變化，你有什么發現？探究△ABC三個頂點坐標分別為A（2，3），B（2，1），C（6，2），以點O為位似中心，相似比為2，將△ABC放大，觀察對應頂點坐標的變化，你有什么發現？探究

在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k，則像上的對應點的坐標為（kx，ky）或（－kx，－ky）。知識要點

對稱平移旋轉相似

圖形變換軸對稱中心對稱平移旋轉相似課堂小結1.位似圖形、位似中心、位似比：

如果兩個圖形不僅形狀相同,而且每組對應頂點所在的直線都經過同一個點,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形。這個點叫做位似中心。這時的相似比又稱為位似比.2.位似圖形的性質：

位似圖形上的任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比。以坐標原點為位似中心的位似變換有以下性質：若原圖形上點的坐標為（x，y），與原圖形的位似比為k，則像上的對應點的坐標為（kx，ky）或（―kx，―ky）。

畫出基本圖形。選取位似中心。根據條件確定對應點，并描出對應點。順次連結各對應點，所成的圖形就是所求的圖形。3.位似圖形的畫法：隨堂練習1.判斷下列各對圖形哪些是位似圖形，哪些不是.（1）五邊形ABCDE與五邊形A′B′C′D′E′（2）正方形ABCD與正方A′B′C′D′√×（3）等邊三角形ABC與等邊三角形A′B′C′√2.下面的說法對嗎?為什么?

（1）分別在△ABC的邊AB,AC上取點D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC縮小后的圖形。（2）分別在△ABC的邊AB,AC的延長線上取點D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的圖形。（3）分別在△ABC的邊AB,AC的反向延長線上取點D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC縮小后的圖形。ABCDEADEBCEDCBA√×√3．如圖P，E，F分別是AC，AB，AD的中點，四邊形AEPF與四邊形ABCD是位似圖形嗎？如果是位似圖形，說出位似中心和位似比.是位似圖形。位似中心是點A，位似比是1:2。4.哪些圖形是位似圖形并指出位似圖形的位似中心。OP(1)(3)(2)√×√位似中心是點O。位似中心是點P。5.作出一個新圖形，使新圖形與原圖形對應線段的比是2∶1。6.（1）如果在射線OA,OB,OC上分別取D,E,F,使OD=2OA,OE=2OB,OF=2OC,那么,結果會怎樣?DEFAOBC

結果會得到一個放大了的△DEF,且△DEF的三邊是△ABC三邊的2倍.即它們的位似比是2∶1。

（2）如果在射線AO,BO,CO上分別取點D,E,F使DO=OA,EO=OB,FO=OC,那么,結果又會怎樣?

結果會得到一個與△ABC全等的△DEF,.即它們的位似比是1∶1。DEFAOBCOABC7.任意畫一個三角形,將△ABC的三邊縮小為原來的一半。F●E●D●

8.如圖，已知△ABC和點O.以O為位似中心，求作△ABC的位似圖形，并把△ABC的邊長縮小到原來的一半。9.如圖，選取適當的一點為位似中心，適當的比為位似比，作該圖的位似圖形，使它和原圖形組成一幅軸對稱的圖形。習題答案相似比分別為，位似中心略.

略.

坐標分別為D（1，1）E（2，1）F（3，2）或

D（－1，－1）E（－2，－1）F（－3，－2）第二十八章銳角三角函數第一課時28.1銳角三角函數（1）

一、新課引入

一、新課引入1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，則AC=________.2、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm,則BC=

，理由是

.

.85cm在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半12二、學習目標

初步理解在直角三角形中一個銳角的對邊與斜邊的比值就是這個銳角的正弦的定義；能把實際中的數量關系表示為數學表達式.三、研讀課文

認真閱讀課本第74至77頁的內容，完成下面練習并體驗知識點的形成過程.三、研讀課文

知識點一正弦的定義問題為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設水管，在山坡上修建一座揚水站，對坡面的綠地進行噴灌.現測得斜坡與水平面所成角的度數是30°，為使出水口的高度為35m，那么需要準備多長的水管？分析：問題轉化為，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m,求AB.根據“在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半”，即可得AB=

=

.即需要準備70m長的水管2BC70m

三、研讀課文

結論:在一個直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值都等于

.知識點一正弦的定義三、研讀課文

知識點一正弦的定義思考任意畫一個Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，計算∠A的對邊與斜邊的比，你能得出什么結論？解：∵在Rt△ABC，∠C=90°，∠A=45°

∴Rt△ABC是等腰三角形根據勾股定理得，

.

∴AB=___BC.因此，=____=_______結論在直角三角形中，如果一個銳角等于45°時，不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值都等于________.三、研讀課文

知識點一正弦的定義探究任意畫Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，那么有什么關系，你能解釋一下嗎？分析：由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，，即

三、研讀課文

結論在直角三角形中，當銳角A的度數一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比都是一個固定值.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別記為a、b、c.我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做

，記作

，即：

.當∠A=30°時，sinA=sin30°=______；當∠A=45°時，sinA=sin45°=______.∠A的正弦