一、填空題1．描述微觀粒子運動狀態的量子數有_____;具有相同n的量子態，最多可以容納的電子數為_____個。【答案】2．力學量算符必須是_____算符，以保證它的本征值為_____.【答案】厄米；實數【解析】力學量的測量值必須為實數，即力學量算符的本征值必須為實數，而厄米算符的本征值為實數，于是量子力學中就有了一條基本假設——量子力學中所有力學量算符都是厄米算符.3．（1）自由粒子被限制在x和x+1處兩個不可穿透壁之間，按照經典物理.如果沒有給出其他資料，則粒子在x和x+1/3之間的概率是_____.A.025B.033C.011D.067（2）上題中，按照量子力學.處于最低能態的粒子在x和x+1/3之間被找到的概率是_____.A.019B.072C.033D.050【答案】（1）B【解析】按照經典力學，粒子處于空間的概率密度為常數，故概率與體積成正比，即所求概率為（2）A【解析】取x為原點，則有波函數為所求概率即4．不確定關系是微觀粒子_____性質的數學表述。【答案】波粒二象性5．一維諧振子升、降算符、a的對易關系式為_____;粒子數算符N與、a的關系是;哈密頓量H用N或、a表示的式子是_____；N（亦即H）的歸一化本征態為_____。【答案】6．—粒子的波函數為寫出粒子位于間的幾率的表達式_____。【答案】二、選擇題7．__________。【答案】8．設粒子處于態為歸一化波函數為歸一化的球諧函數，則系數的取值為_____的可能值為_____的平均值為_____。【答案】9．（1）_____；（2）_____。【答案】10．下面關于厄米算符的定義式中.正確的為（）.【答案】A【解析】量子力學中力學量對應的算符必須為厄米算符，這是因為力學量算符的本征值必須為實數.厄米算符定義式為11．量子諧振子的能量是（）.【答案】A【解析】由于諧振子的哈密頓算符為而本征值為n，于是諧振子能量為第4頁，共47頁12．設粒子處于態為歸一化的球諧函數，則的平均值為（）。【答案】B三、簡答題13．請用泡利矩陣定義電子的自旋算符，并驗證它們滿足角動量對易關系。【答案】電子的自旋算符其中，14．斯特恩—革拉赫實驗證明了什么？【答案】（1）半整數內稟角動量在存在。（2）空間量子化的事實。（3）電子自旋磁矩需引入2倍關系。15．寫出測不準關系，并簡要說明其物理含義。【答案】測不準關系物理含義：若兩個力學量不對易，則它們不可能同時有確定的測值。16．自發輻射和受激輻射的區別是什么？【答案】自發輻射是原子處于激發能級時，可能自發地躍遷到較低能級去，并發射出光子的過程；受激輻射是處于激發能級的原子被一個頻率為的光子照射，受激發而躍迀到較低能級同時發射出一個同頻率的受激光子的過程。受激輻射的光子是相干的，自發輻射是隨機的。17．寫出電子自旋的二本征值和對應的本征態。【答案】第5頁，共47頁18．自旋可以在坐標表象中表示嗎？【答案】自旋是內稟角動量，與空間運動無關，故不能在坐標空間表示出來。19．歸一化波函數是否可以含有任意相因子【答案】可以。因為如果對整個空間積分等于1，則對整個空間積分也等于1。即用任意相因子去乘以波函數，既不影響體系的量子狀態，也不影響波函數的歸一化。20．寫出電子在外電磁場中的哈密頓量。【答案】四、計算題21．已知厄米算符.滿足且求：（1）在A表象中算符的矩陣表示。（2）在B表象中算符的本征值和本征函數。（3）從A表象到B表象的么正變換矩陣S。【答案】（1）由于所以算符的本征值是因為在A表象中，算符的矩陣是對角矩陣，所以，在A表象中算符的矩陣是：設在A表象中算符的矩陣是利用得：由于所以：則有：由于是厄米算符，所以：則有：令其中為任意實常數，得在A表象中的矩陣表示式為：第6頁，共47頁（2）類似地，可求出在B表象中算符的矩陣表示為：在B表象中算符的本征方程為：即則有：α和β不同時為零的條件是上述方程的系數行列式為零，即則可得：對有：對有：所以，在B表象中算符的本征值是，本征函數為：和-（3）類似地，在A表象中算符的本征值是本征函數為：從A表象到B表象的么正變換矩陣就是將算符在A表象中的本征函數按列排成的矩陣，即：22．考慮兩個電子組成的系統。它們空間部分波函數在交換電子空間部分坐標時可以是對稱的或反對稱的。空間部分波函數是反對稱時對應總的自旋平方本征值為空間部分波函數對稱時對應總的自旋平方本征值為0。假設兩電子系統哈密頓量為分別針對空間部分波函數是反對稱和對稱兩種情形，求體系的能量。（提示：單電子自旋角動量平方算符的本征值為）。【答案】利用可知，空間部分波函數反對稱時：對應能量：空間部分波函數對稱時：對應能量：23．已知氫原子在t=0時如下處于狀態：其中，為該氫原子的第n個能量本征態。求能量及自旋z分量的取值概率與平均值，寫出t＞0時的波函數。第7頁，共47頁【答案】已知氫原子的本征值為：將t=0時的波函數寫成矩陣形式：利用歸一化條件：于是，歸一化后的波函數為：能量的可能取值為相應的取值幾率為：能量平均值為：自旋z分量的可能取值為相應的取值幾率為：自旋z分量的平均值為：f>0時的波函數為：24．設一維粒子的HamiltonianH，坐標算符為x.利用利用能量本征態的完全性關系，將用和E.，表出，其中是能量本征值為E.，的本征矢。【答案】利用可得于是即第8頁，共47頁25．（1）寫出全同粒子體系的態所滿足的交換對稱性以及隨時間演化的動力學方程；（2）考慮由2個全同費米子（）組成的體系，設可能的單粒子態為試用表示出體系可能的狀態。【答案】（1）全同粒子系的波函數：對稱性波函數；反對稱性波函數。其隨時間演化的動力學方程：（2）用表示出體系可能的狀態如下：26．設已知在，的共同表象中，算符的矩陣分別為試在取值為的本征態下求的可能取值和相應的概率及的平均值.【答案】可能取得的值有設的本征態矢為則由可以解得同理由可以解得時態矢為概率為態矢為概率為平均值為27．粒子在一維無限深勢阱中運動.設該體系受到的微擾作用。（1）利用微擾理論求第n能級的準至二級的近似表達式.（2）指出所得結果的適用條件.【答案】（1）一維無限深方勢阱：體系的零級近似波函數和零級近似能量求到二級，矩陣元一般形式則第n能級的二級近似能量第9頁，共47頁（2）結果適用的條件是：即28．設質量為m的粒子處于勢場中，K為非零常數.在動量表象中求與能量E對應的本征波函數【答案】顯然勢場不含時，屬于一維定態問題，而也屬于正冪次級數，故有定態方程式中：則I式可以化為：令上方程可化簡為式解得則其中C為歸一化常數。第10頁，共47頁量子力學考研核心題庫（二）一、填空題1．自旋為_____的微觀粒子稱為費米子，它們所組成的全同粒子體系的波函數具有_____,自旋為_____的微觀粒子稱為玻色子，它們所組成的全同粒子體系的波函數具有_____。【答案】的奇數倍；反對稱變換的整數倍；對稱變換2．一粒子的波函數則粒子位于間的幾率為_____。【答案】3．普朗克的量子假說揭示了微觀粒子_____特性，愛因斯坦的光量子假說揭示了光的_____性。【答案】粒子性；波粒二象性【解析】普朗克為解釋黑體輻射規律而提出量子假說愛因斯坦后來將此應用到了光電效應上，并因此獲得諾貝爾獎，二人為解釋微觀粒子的波粒二象性作出了重大貢獻，這為量子力學的誕生奠定了基礎.4．當對體系進行某一力學量的測量時.測量結果一般來說是不確定的.測量結果的不確定性來源于_____.【答案】測量的干擾【解析】當我們對物理量進行測量時，不可避免地對體系施加影響，而這影響將導致體系的波函數發生變化，這最終導致對物理量的測量的不確定性.5．總散射截面Q與微分散射截面的關系是_____。【答案】6．費米子組成的全同粒子體系的波函數具有_____，玻色子組成的全同粒子體系的波函數具有_____。【答案】對稱性；反對稱性二、選擇題7．對力學量進行測量.要能得到確定結果的條件是（）A.體系可以處于任一態B.體系必須處于宏觀態第11頁，共47頁C.力學量必須是守恒量D.體系必須處于的本征態【答案】D【解析】若對力學量的測量得到的是確定結果，則要求體系必須處于定態，而處于定態的條件即體系處于力學量對應的本征態.8．一維運動中，哈密頓量【答案】9．量子力學中的力學量用_____算符表示，表示力學量的算符有組成_____的本征函數。【答案】厄密；完全系10．假定角動量平方算符的本征值分別為和如果則可能是本征值的選擇為（）【答案】C11．類氫原子問題中，設原子核帶正電核為為原子的波爾半徑，對處于基態的電子，其出現幾率最大的徑向坐標位置是（）。A.B.C.D.E.【答案】B12．如果是厄米算符，并且則下列是厄米算符為（）。第12頁，共47頁【答案】C三、簡答題13．什么是量子躍遷？什么是選擇定則？線偏振光和圓偏振光照射下的選擇定則有什么區別？【答案】量子躍遷是指在某種外界作用下，體系在不同的定態之間躍遷。選擇定則：從一個定態到另一個定態之間的躍遷概率是否為零，也即躍遷是否是禁戒的。線偏振光選擇定則：圓偏光選擇定則：14．放射性指的是束縛在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出來，你認為這與什么量子效應有關？【答案】與量子隧穿效應有關。15．波函數是用來描述什么的？它應該滿足什么樣的自然條件？的物理含義是什么？【答案】波函數是用來描述體系的狀態的復函數，除了應滿足平方可積的條件之外，它還應該是單值、有限和連續的。表示在時刻附近體積元中粒子出現的幾率密度。16．反常塞曼效應的特點，引起的原因。【答案】原因如下：（1）堿金屬原子能級偶數分裂；（2）光譜線偶數條；（3）分裂能級間距與能級有關；（4）由于電子具有自旋。17．什么樣的狀態是定態，其性質是什么？【答案】定態是能量取確定值的狀態，其性質：定態之下不顯含時間的力學量的取值幾率和平均值不隨時間改變18．以能量這個力學量為例，簡要說明能量算符和能量之間的關系。【答案】在量子力學中，能量用算符表示，當體系處于某個能量的本征態時，算符對態的作用是得到這一本征值，即當體系處于一般態時，算符對態的作用是得到體系取不同能量本征值的幾率幅（從而就得到了相應幾率），即19．如果算符表示力學量那么當體系處于的本征態時，問該力學量是否有確定的值？【答案】是，其確定值就是在本征態的本征值。第13頁，共47頁20．坐標分量算符與動量分量算符的對易關系是什么？并寫出兩者滿足的測不準關系。【答案】對易關系為測不準關系為四、計算題21．已知分別為電子的軌道角動量和自旋角動量，為電子的總角動量。（）的共同本征態為證明是的本征態，并就兩種情況分別求出其相應的本征值。【答案】22．Q表緣的基矢有兩個：算符有如下性質：（1）求Q表象中的本征值和本征函數；（2）已知粒子狀態為求測量力學量的可能值及相應的概率和平均值.【答案】（1）先算出該算符在Q表象中的矩陣元.設其本證函數為則有由久期方程解得再代回可得對應本征函數為對應本征函數為（2）粒子的力學量可能取值即其本征值.第14頁，共47頁由題意時，相應概率為時，相應概率為23．取為試探波函數，應用變分原理估算粒子在勢場中的基態能量.以上表達式中均為常數，且【答案】試探波函數利用波函數的歸一化從而由可得，代入可得基態能量24．考慮相距2a、帶電為e和一e的兩個粒子組成的一個電偶極子，再考慮一個質量為m、帶電為e的入射粒子，其入射波矢k垂直于偶極子方向，見圖求在玻恩近似下的散射振幅，并確定微分散射截面取最大值的方向。圖【答案】電偶極子勢能為由波恩近似有散射振幅為散射微分截面為【積分未完成】式中此即所求表達式.25．設一維諧振子的初態為即基態與第一激發態疊加，其中為實參數.（1）求t時刻的波函數（2）求t時刻處于基態及第一激發態的概率.第15頁，共47頁（3）求演化成所需的最短時間【答案】（1）一維諧振子定態能量和波函數：任意時刻t的波函數可表示為已知t=0時刻的波函數是由得，在n=0，1的本征態的相應能量分別為：則任意時刻t的波函數可以表示為（2）t時刻處于基態的幾率為處于第一激發態的幾率（3）設時刻粒子的波函數是即可得解得所以當n=l時有最小時間，即26．分別在表象中，求出的矩陣表示，并求出由表象到表象的變換矩陣。【答案】（1）在表象中應為對角矩陣，對角元為的本征值，由知的本征值為±1，故：令因是厄米算符，有所以即a、d為實數，因此有：由有：可得：所以a=﹣a，即a=0；d=﹣d，即d=0。第16頁，共47頁由有：而所以取則：取則（比較在表象中，（2）在表象中，方法同上。先令再求得最后求得（3）下面求由表象到表象的變換矩陣。的本征值為：求的本征矢，對于本征值設其基矢為有：再歸一化，得：對于本征矢可得：所以，變換矩陣為：取有：27．平面轉子的轉動慣量為I，設繞z軸轉動，受到的微擾作用，求體系激發定態能量的一級近似。【答案】受到微擾之前，系統波函數為對應能量為對于所有激發態能級，其簡并度為二.設對應零級近似波函數為容易得到則第17頁，共47頁于是有方程再由久期方程解得:故體系激發態定態能量的一級近似為：即能級簡并消失了，每個激發態能級都分裂成了兩個能級。28．設是自旋為1/2的粒子的沿x、y與z軸的自旋算符，而是某一角度.（1）寫出粒子的自旋算符在表象中的的矩陣形式；（2）將述算符的乘積化簡為粒子自旋算符的線性組合.【答案】⑴?（2）由公式且令其中n為正整數，則上式即題中利用公式則第18頁，共47頁結合可得\第19頁，共47頁量子力學考研核心題庫（三）一、填空題1．對一個量子體系進行某一物理量的測量時，所得到的測量值肯定是_____當中的某一個，測量結果一般來說是不確定的.除非體系處于_____。【答案】本征值；定態【解析】物理量的測量值應該對應其本征值，對于非定態，由于它是各個本征態的混合態，這就導致物理量的測量值可以是它的各個本征值，測得各個本征值滿足一定概率分布，只有當體系處于定態，即位于該物理量對應的本征態，測得值才有可能為確定值.2．玻恩關于波函數統計解釋的基本論點是_____。【答案】物質的本源是粒子；波動性是指微觀粒子處于某一物理量值的統計幾率3．如圖所示，有一勢場為：，當粒子處于束縛態時，￡的取值范圍為_____。圖【答案】4．為氫原子的波函數（不考慮自旋），分別稱為_____量子數、_____量子數、_____量子數，它們的取值范分別為_____、_____、_____。【答案】主；角；磁；5．（1）體系處在用歸一化波函數描述的狀態.且此波函數可以按力學量A所對應的厄米算符的本征函數系展開.即認為是歸一的，則決定系數的表達式為_____。（2）題（1）中設是算符的本征值，則力學量A的平均值_____。（3）題（1）中當對體系進行力學量A測量時，測量結果一般來說是不確定的.但測量得到某一結果的概率為_____。【答案】（1）第20頁，共47頁【解析】由題意在上式兩邊乘以并積分得考慮到正交歸一化條件有（2）【解析】由平均值定義式以及正交歸一化條件有（3）為確定【解析】由題意在上式兩邊乘以并積分得考慮到正交歸一化條件有而概率應該為為定值.6．判別一個物理體系是經典體系還是量子體系的基本標準是_____。【答案】當物理體系的作用量與A相比擬時，該物理體系視為量子體系；當物理體系的作用量遠大于時，視為經典體系。二、選擇題7．量子力學中的力學量用_____算符來表示，量子力學中的力學量算符的矩陣是_____矩陣。【答案】厄米；厄米8．給出如下對易關系：【答案】9．如果算符表示力學量那么當體系處于的本征態時，力學量F有_____。這個值就是相應的_____。【答案】確定值；本征值10_________________________。【答案】第21頁，共47頁11．考慮個無相互作用的玻色子處在一維無限深勢阱中，粒子質量為勢阱范圍為則體系的基態能量是（）。【答案】E12．角動量算符滿足的對易關系為_____，坐標和動量的對易關系是_____。【答案】三、簡答題13．簡述波函數的統計解釋。【答案】波函數在空間某一點的強度（振幅絕對值的平方）和在該點找到粒子的幾率成正比。14．波函數是否描述同一狀態？【答案】與描寫的相對概率分布完全相同，描寫的是同一狀態。15．如果一組算符有共同的本征函數，且這些共同的本征函數組成完全系，問這組算符中的任何一個是否和其余的算符對易？【答案】不妨設這組算符為.完全系為依題意則對任意波函數有：可見，這組算符中的任何一個均和其余的算符對易。16．寫出在表象中的泡利矩陣。【答案】17．將描寫的體系量子狀態波函數乘上一個常數后，所描寫的體系量子狀態是否改變？【答案】不改變。根據對波函數的統計解釋，描寫體系量子狀態的波函數是概率波，由于粒子必定要在空間中的某一點出現，所以粒子在空間各點出現的概率總和等于1，因而粒子在空間各點出現概率只決定于波函數在空間各點的相對強度。18．非相對論量子力學的理論體系建立在一些基本假設的基礎上，試舉出二個以上這樣的基本假設，并簡述之。【答案】（1）微觀體系的狀態被一個波函數完全描述，從這個波函數可以得出體系的所有性質。第22頁，共47頁波函數一般應滿足連續性、有限性和單值性三個條件。（2）力學量用厄密算符表示。如果在經典力學中有相應的力學量，則在量子力學中表示這個力學量的算符，由經典表示式中將動量換為算符得出。表示力學量的算符組成完全系的本征函數。（3）將體系的狀態波函數用算符的本征函數展開：則在盔中測量力學量得到結果為的幾率是得到結果在范圍內的幾率是（4）體系的狀態波函數滿足薛定諤方程其中是體系的哈密頓算符。（5）在全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互調換不改變體系的狀態（全同性原理）。以上選三個作為答案。19．什么是隧道效應，并舉例說明。【答案】粒子的能量小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現象稱為隧道效應，如金屬電子冷發射和衰變現象都是隧道效應產生的。20．什么是定態？若系統的波函數的形式為問是否處于定態？【答案】體系能量有確定的不隨時間變化的狀態叫定態，定態的概率密度和概率流密度均不隨時間變化.不是，體系能量有E和-E兩個值，體系能量滿足一定概率分布而并非確定值.四、計算題21．在表象中，電子波函數可表示為簡要說明其物理意義。【答案】式中，代表（自旋向上）的狀態波函數，代表（自旋向下）的狀態波函數，代表自旋向上的概率，代表自旋向下的概率，歸一化表示為：22．三個自旋為的全同粒子，在一維位勢中運動。（1）給出這三個粒子體系的基態和第一激發態的能量及相應的本征矢（諧振子波函數以表示）。（2）它們的簡并度分別是多少？【答案】（1）第23頁，共47頁基態第一激發態：（2）基態二重簡并，第一激發態四重簡并。23．對于描述電子自旋的泡利矩陣（1）在表象中求的歸一化本征函數.（2）若為某一方向余弦，證明算符的本征值為±1，說明其物理意義.（3）對于兩個電子組成的體系，若用分別表示單電子自旋平方和自旋z分量的共同本征態，證明態矢量是體系總自旋平方的本征態.【答案】（1）在表象中，由和由的本征方程很容易求得的本征值與本征矢：（2）的本征方程第24頁，共47頁可得，故其物理意義即電子自旋的泡利算符，在空間任意一個方向的投影只能取兩個值：（3）在耦合角動量表象中，總自旋的共同本征態其中則題中故是的本征態.24．質量為m的粒子處于角頻率為的一維諧振子勢中.（a）寫出在坐標表象中的哈密頓算符，本征值及本征函數（可不歸一化）.（b）寫出在動量表象中的哈密頓算符.（c）證明在動量表象中，哈密頓算符的矩陣元為.【答案】（a）在坐標表象中一維諧振子的哈密頓算符為本征值和波函數（b）在動量表象中坐標算符可表示為則一維諧振子的勢能為則哈密頓算符為（c）在動量表象中哈密頓的矩陣元可表示為25．考慮一自旋量于救s=l的粒子，忽略空間自由度，并假定粒子處在外磁場中（為x軸的單位矢量），粒子的哈米頓算符為（1）若虬同本征矢為基，求自旋算符S的矩陣表示.第25頁，共47頁（2）如果初始時刻t=0粒子的態為求在t＞0后粒子的態？（3）發現粒子處在態的概率是多少?【答案】（1）由于故由于哈密頓量為則能量本征態對應于本征態.（2）由定態方程解得而故t＞0后粒子的態為（3）由于故所求概率為26．求電荷為q的一維諧振子在外加均勻電場E中的能級，哈密頓量為【答案】記則哈密頓量可時的哈密頓量相比，相差一常數，且x，p換為對易關系不變，而這不影響原有的能級，所以第26頁，共47頁27．對于一個限制在邊長為L的立方體中的自旋為1/2、質量為m的粒子，計算基態與第二激發態的本征能量及相應的本征態波函數.【答案】這是一個三維方勢阱問題，例子波函數為S為自旋波函數.可分離變量得最終解得代表例子自旋朝上和朝下兩種狀態.由于粒子自旋此時并不會對粒子能量產生影響，故粒子能量基態：對應波函數為：例子第一激發態能量：對應波函數有：第27頁，共47頁第二激發態能量：對應波函數有：28．一粒子在一維無限深勢阱中運動，求粒子的能級和對應的波函數.【答案】由一維定態薛定諤方程有又在邊界處應該滿足連續條件故由歸一化條件有故對應能量為第28頁，共47頁量子力學考研核心題庫（四）一、填空題1．波函數的統計解釋是：波函數在空間某一點處的_____和在該點擾到粒子的_____成正比。【答案】強度；幾率2．用球坐標表示，粒子波函數表為寫出粒子在球殼中被測到的幾率_____。【答案】3．二粒子體系，僅限于角動量涉及的自由度，有兩種表象，分別為_____和_____;它們的力學量完全集分別是_____和_____;在兩種表象中，各力學量共同的本征態分別是_____和_____。【答案】耦合表象；非耦合表象；4．設體系的狀態波函數為如在該狀態下測量力學是F在確定的值則力學量算符與態矢量的關系為_____。【答案】5．—個電子運動的旋量波函數為則表示電子自旋向上、位置在處的幾率密度表達式為_____，表本電子自旋向下的幾率的表達式為_____。【答案】6．稱_____、_____、_____等固有性質完全相同的微觀粒子為_____。【答案】質量；電荷；自旋；全同粒子二、選擇題7．正交歸一性表示為_____，如果算符是厄米算符，則它滿足_____。【答案】8．一維自由電子被限制在x和處兩個不可穿透壁之間，埃，如果是電子最低能態的能量，則電子的較高一級能態的能量是多少？（）I第29頁，共47頁【答案】C【解析】一維無限深方勢阱中能級公式為則可知，較高級能量與基態能量比值為由題意，基態能量為則第一激發態能量為9．中心力場中，算符的共同征函數為則關于這兩個算符的本征值方程正確的式子是（）A.B.C.D.【答案】C10．如兩力學量算符有共同本征函數完全系，則它們滿足對易關系為_____。【答案】011．光子和電子的波長都為5.0埃，光子的動量與電子的動量之比是多少？（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】由德布羅意波長公式波長相同則二者動量大小必定相同，因此答案選A.12．已知體系的哈密頓算符為下列算符與對易的有_____。【答案】三、簡答題13．描寫全同粒子體系狀態的波函數有何特點？【答案】描寫全同粒子體系狀態的波函數只能是對稱的或者反對稱的，它們的對稱性不隨時間變化。14．在量子力學中，能不能同時用粒子坐標和動量的確定值來描寫粒子的量子狀態？【答案】不能。因為在量子力學中，粒子具有波料二象性，粒子的坐標和動量不可能同時具有確定值。第30頁，共47頁15．現有三種能級請分別指出他們對應的是哪些系統。【答案】對應中心庫侖勢系統，例如氫原子；對應一維無限深勢阱；對應一維諧振子．16．試設計一實驗，從實驗角度證明電子具有自旋，并對可能觀察到的現象作進一步討論。【答案】讓電子通過一個均勻磁場，則電子在磁場方向上有上下兩取向，再讓電磁通過一非均勻磁場，則電子分為兩束。17．什么是塞曼效應？什么是斯達克效應？【答案】塞曼效應是原子在外磁場中光譜發生分裂的現象；斯達克效應是原子在外電場作用下光譜發生分裂的現象。18．寫出角動量的三個分量的對易關系.【答案】這三個算符的對易關系為19．解釋量子力學中的“簡并”和“簡并度”。【答案】一個能級對應多個相互獨立的能量本征函數的現象稱為“簡并”；一個能級對應的本征函數的數目稱為“簡并度”。20．有人說“在只考慮庫侖勢場情況下，氫原子原有本征態都存在實的軌道波函數”，你是否同意這種說法，簡述理由。【答案】不同意。因為為實函數，但可以為復函數。四、計算題21．設是方向的單位矢量，在表象中，（1）計算并將結果表示為三個泡利矩陣的線性組合（要求給出組合系數）。（2）計算的本征態（3）設兩電子自旋態為試證該態與的方向無關，即由不同得到的態最多相差相因子。【答案】⑴第31頁，共47頁（2）設的本征值為，本征矢為則:解久期方程，可得：將分別代入本征方程，得到與對應的本征矢為：與對應的本征矢為：（3）利用矩陣直積的知識，可將表示為：因此，對任意得到的與態只相差倍。得證22．設基態氫原子處于弱電場中，微擾哈密頓量為其中T為常數。（1）求很長時間后電子躍遷到激發態的概率.已知，a基態其中為玻耳半徑.已知，基態（2）基態電子躍遷到下列哪個激發態的概率等于零?簡述理由.第32頁，共47頁【答案】（1）根據躍遷幾率公式其中可知，必須先求得根據題意知，氫原子在t>0時所受微擾為：氫原子初態波函數為：根據選擇定則終態量子數必須是記由初態到末態的躍遷矩陣元為將代入躍遷幾率公式（2）基態電子躍遷到的幾率均為0,因為不符合躍遷的選擇定則23．—體系未受微擾作用時只有三個能級：現在受到微擾的作用，微擾矩陣元為和c都是實數.用微擾公式求能量至二級修正。【答案】至二級修正的能量公式為其中分別為一級和二級修正能量.n=1時，將m=2,3代入II式得第33頁，共47頁n=2時，將m=l,3代入II式可得n=3時，將m=l,2代入II式可得再分別由I式、III式、IV式和V式可得24．—自旋的粒子的哈密頓算符其中，，在表象中的矩陣為為實常數。（1）不考慮空間運動，由確定自旋運動定態能量.與定態波函數已知時，求任意時刻f的波函數并求和的幾率。（2）同時考慮空間運動和自旋運動，已知時波函數為其中是的本征值的本征函數，求任意時刻的波函數及能量￡、動量與自旋的平均值：【答案】（1）本征方程為若設即需解方程有非零解，則必有可得：因此：任意時刻，第34頁，共47頁因為時刻，且：故：的幾率為：的幾率為：（2）容易證明，時刻，粒子的空間波函數為的本征態，對應本征值為因此：故：25．設在平行于y軸的磁場中，一個電子的哈密頓為其中，為自旋算符，在t=0時刻，電子處在本征值為的本征態，求以后t時刻電子所處狀態的表示式。【答案】粒子的哈密頓量因此定態方程的解為：t時刻，電子波函數滿足：因為故：所以：第35頁，共47頁26．中子的自旋也為磁矩為若中子處于沿y方向的均勻磁場中，求自旋波函數。【答案】體系的哈米頓基為：不妨取）在表象中，設自旋波函數為則能量本征方程為：久期方程為：由此可得：（1）當時，由并結合歸一化條件可得自旋波函數為：（2）同理，當時，可得自旋波函數為：27．設t=0時刻氫原子處于狀態，其中是氫原子哈密頓算符的正交歸一化本征波函數.求：（1）t=0時刻，體系能量的平均值.（2）t=0時刻，體系角動量平方的平均值.（3）t=0時刻，體系角動量x分量的平均值.（4）時刻，體系所處的狀態【答案】（1）由題意可知n=2，3故t=0時，體系能量平均值為第36頁，共47頁（2）由題意知1=1，2則的平均值為（3）由關系式另外，由正交歸一條件有故t=0時平均值為（4）時刻體系所處的狀態為28．粒子的一維運動滿足薛定愕方程：（1）若是薛定諤方程的兩個解，證明與時間無關.（2）若勢能V不顯含時間t，用分離變數法導出不含時的薛定諤方程，并寫出含時薛定諤方程的通解形式.【答案】⑴取式（1）之復共軛，得第37頁，共47頁得對全空間積分：即所以與時間無關.（2）設代入薛定諤方程，分離變量后，得E為既不依賴t,也不依賴r的常數.這樣，所以因此，通解可以表示為其中，是滿足不含時的薛定諤方程第38頁，共47頁量子力學考研核心題庫（五）一、填空題1．在量子力學原理中.體系的量子態用希爾伯特空間中的_____來描述.而力學量用_____描述.力學量算符必為_____算符，以保證其_____為實數.【答案】函數矢量；張量（一般是二階張量，即矩陣）；厄米；本征值【解析】希爾伯特空間中的函數矢量對應體系的量子態，力學量對應張量，一般情況下力學量對應二階張量，也就是矩陣.力學量算符必須保證其厄米性，否則將導致測量值即其本征值不是實數，這顯然不符合事實.2．對氫原子，不考慮電子的自旋，能級的簡并度為_____，考慮自旋但不考慮自旋與軌道角動量的耦合時，能級的簡并度為_____。【答案】3．粒子在一維勢阱中運動，波函數為則的躍變條件為_____。若勢阱改為勢壘則的躍變條件為_____。【答案】4．稱_____等固有性質_____的微觀粒子為全同粒子。【答案】質量；電荷；自旋；完全相同5．一質量為的粒子在一維無限深方勢阱中運動，其狀態波函數為_____,能級表達式為_____。【答案】6．表示_____，幾率流密度表示為_____。【答案】幾率密度；二、選擇題第39頁，共47頁7．量子力學中，體系的任意態可用一組力學量完全集的共同本征態展開，展開式為_____，展開式系數_____。【答案】8．下列算符是線性算符的是_____。【答案】9．在量子力學中.對每一個物理量A,都有一個厄米算符與之對應，若體系處在由波函數描述的態中.則在t時刻.對物理量A測量時所得的平均值A.t為（）。【答案】B【解析】物理量平均值定義為分別為物理量本征值及取值概率，而考慮到正交歸一化條件和力學量算符的厄米性，于是10．下面哪組是泡利矩陣（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】泡利矩陣必須滿足以下對易關系再由最終推導出泡利矩陣只能為11．—維問題中的哈密頓量為哈密頓與坐標的對易式（）。第40頁，共47頁【答案】C12．（1）考慮如圖的電子干涉實驗，電子從距屏為L的電子槍發射，屏上有兩個特別窄的狹縫（縫寬為電子的德布羅意波長數量級），觀察干涉圖樣的探測器置于屏的另一側L處.如果電子槍向上移動（沿y方向）距離d,則干涉圖樣（）。A.向上移動距離dB.向下移動距離dC.向上移動距離d/2D.向下移動距離d/2（2）題（1）中，如果電子槍開始以較太的能量向屏發射電子，則（）.A.干涉圖樣中相鄰最大值之間的距離減小B.干涉圖樣向上移動C.干涉圖樣變藍D.干涉圖樣消失（3）題（1）中，如果兩縫之間距離加倍，則干涉圖樣中相鄰最大值之間距離（）.A.加倍B.為原來的四倍C.為原來的二分之一D.不變（4）題（1）中，如果每個縫寬度加倍.則干涉圖樣中相鄰最大值之間距離（）.A.加倍B.為原來的四倍C.為原來的二分之一D.不變（5）題（1）中，如果只有一個縫的寬度加倍（原來兩縫寬度相同），則（）.A.干涉圖樣消失B.干涉圖樣中相鄰最大值之間距離改變C.干涉圖樣向變寬狹縫移動第41頁，共47頁D.干涉圖樣的最大強度與最小強度之差減小（6）題（1）中，如果探測器置于某一狹縫的旁邊，由此可確定某一電子是否通過該狹縫，則（）.A.干涉圖樣向裝探測器的狹縫移動B.干涉圖樣中相鄰最大值之間距離改變C.干涉圖樣消失D.干涉圖樣變弱【答案】（1）B【解析】分析未移動前位于屏幕正中間的點，令偏上的光線為a，偏下的光線為b，未移動前，a和b的光程相等，電子槍上移后，a在狹縫左邊光程減小，b在狹縫右邊光程增加，為保證a和b光程再次相等，應該使a在狹縫右邊光程相對于b在狹縫右邊光程増加，于是干涉圖樣只能下移.再考慮到狹縫與電子槍和屏幕距離相等，于是整個裝置具有對稱性，為保證a和b的光程相等，干涉圖樣只能向下移動距離d.（2）A【解析】A項，由德布羅意波長公式以及可知，當能量E増加后，動量p増加，導致電子的德布羅意波長減小，而干涉條紋間距因而增加電子能量將導致干涉條紋間距減小.B項，電子能量增加并不會對光程產生影響，故不影響干涉圖像位置.C項，電子能量増加并不會改變屏的特征光譜，不會變藍.D項，題中提到狹縫間距尺寸在德布羅意波長數量級，在電子能量變化不是很大時，電子波長應該仍與狹縫間距相當，干涉圖樣不會消失.（3）C【解析】設狹縫間距為d，由雙縫干涉條紋間距公式有條紋間距則顯然當d加倍時，必定導致條紋間距變為原來的二分之一.（4）D【解析】設狹縫間距為d，則由雙縫干涉條紋間距公式有條紋間距則顯然條紋間距與縫的寬度無關，即條紋間距不變.（5）D【解析】A項，縫寬度的變化并不會影響產生干涉圖樣的條件——電子波長與縫的間距相近，干涉條紋不會消失.B項，同樣由條紋間距可知，條紋間距也不會有變化.C項，縫寬度變化也不會影響光程，干涉圖樣位置也不會因此發生變化.D項，只改變一個縫的寬度將導致從縫射出的兩列光波振幅不同，因而最小強度無法變為0,最終導致干涉圖樣的最大強度與最小強度之差減小.（6）C【解析】由題意，通過該狹縫的電子位置將會由于測不準原理導致光子動量不確定，以至于電子波長和頻率會受到極大干擾，從狹縫射出的光波將不再是相干光，而干涉圖樣產生的重要條第42頁，共47頁件之一就是參與干涉的光必須是相干光，因而干涉圖樣消失.三、簡答題13．寫出由兩個自旋態矢構成的總自旋為0的態矢和自旋為1的態矢。【答案】總自旋為0:總自旋為1:14．分別寫出非簡并態的一級、二級能量修正表達式。【答案】15．假設體系的哈密頓算符不顯含時間，而且可以分為兩部分：一部分是它的本征值（非簡并）和本征函數已知：另一部分很小，可以看作是加于上的微擾.寫出在非簡并狀態下考慮一級修正下的波函數的表達式?及其包括了一級、二級能量的修正的能級表達式。【答案】一級修正波函數為二級近似能量為其中16．試表述量子態的疊加原理并說明疊加系數是否依賴于時空變量及其理由.【答案】量子態的疊加原理：若為粒子可能處于的態，那么