第一章集合與常用邏輯用語集合的基本運算【素養(yǎng)目標】1．能從教材實例中抽象出兩個集合并集和交集、全集和補集的含義．(數(shù)學抽象)2．準確翻譯和使用補集符號和Venn圖．(數(shù)學抽象)3．掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，并會用它們正確進行集合的并集、交集與補集運算．(數(shù)學運算)4．能用Venn圖表示兩個集合的并集和交集．(直觀想象)5．能根據(jù)集合間的運算結(jié)果判斷兩個集合之間的關(guān)系．(邏輯推理)6．能根據(jù)兩個集合的運算結(jié)果求參數(shù)的取值范圍．(邏輯推理)7．會用Venn圖、數(shù)軸解決集合綜合運算問題．(直觀想象)【學法解讀】1．在本節(jié)學習中，學生應(yīng)依據(jù)老師創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，加深對“并集”“交集”“補集”“全集”等概念含義的認識，特別是對概念中“或”“且”的理解，盡量以義務(wù)教育階段所學過的數(shù)學內(nèi)容或現(xiàn)實生活中的實際情境為載體創(chuàng)設(shè)相關(guān)問題，幫助理解．2．要注意結(jié)合實例，運用數(shù)軸、Venn圖等表示集合進行運算，從而更直觀、清晰地解決有關(guān)集合的運算問題．1.3.1并集與交集必備知識·探新知基礎(chǔ)知識知識點一并集自然語言一般地，由__所有屬于集合A或?qū)儆诩螧____的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集(unionset)，記作__A∪B__(讀作“A并B”)．符號語言________A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}____圖形語言(3)AB(4)BA(5)A＝B說明：由上述五個圖形可知，無論集合A，B是何種關(guān)系，A∪B恒有意義，圖中陰影部分表示并集.思考1：并集概念中的“或”與生活用語中的“或”的含義是否相同？提示：并集概念中的“或”與生活用語中的“或”的含義是不同的．生活用語中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”則是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．“x∈A或x∈B”包含三種情形：①x∈A，但x?B；②x∈B，但x?A；③x∈A且x∈B．知識點二交集自然語言一般地，由_所有屬于集合A且屬于集合B的元素____組成的集合，稱為A與B的交集(intersectionset)，記作__A∩B__(讀作“A交B”)符號語言_______A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}_________圖形語言(1)A與B相交(有公共元素，相互不包含)(2)A與B相離(沒有公共元素，A∩B＝?)(3)AB，則A∩B＝A(4)BA，則A∩B＝B(5)A＝B，A∩B＝B＝A思考2：集合運算中的“且”與生活用語中的“且”相同嗎？提示：集合運算中的“且”與生活用語中的“且”的含義相同，均表示“同時”的含義，即“x∈A，且x∈B”表示元素x屬于集合A，同時屬于集合B．知識點三并集與交集的性質(zhì)(1)___A∩A＝A___，A∩?＝?.(2)____A∪A＝A____，A∪?＝A．思考3：(1)對于任意兩個集合A，B，A∩B與A有什么關(guān)系？A∪B與A有什么關(guān)系？(2)設(shè)A，B是兩個集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，則它們之間有何關(guān)系？集合A與B呢？提示：(1)(A∩B)?A，A?(A∪B)．(2)A∩B＝A?A∪B＝B?A?B．基礎(chǔ)自測1．(2019·全國卷Ⅲ理，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝(A)A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{－1,1} D．{0,1,2}[解析]∵B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，∴A∩B＝{－1,0,1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0,1}，故選A．2．(2019·江蘇宿遷市高一期末測試)設(shè)集合M＝{0,1,2}，N＝{2,4}，則M∪N＝(D)A．{0,1,2} B．{2}C．{2,4} D．{0,1,2,4}[解析]M∪N＝{0,1,2}∪{2,4}＝{0,1,2,4}．3．已知集合M＝{x|－5<x<3}，N＝{x|－4<x<5}，則M∩N＝(A)A．{x|－4<x<3} B．{x|－5<x<－4}C．{x|3<x<5} D．{x|－5<x<5}[解析]M∩N＝{x|－5<x<3}∩{x|－4<x<5}＝{x|－4<x<3}，故選A．4．(2019·江蘇，1)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x>0，x∈R}，則A∩B＝____{1,6}________.[解析]A∩B＝{－1,0,1,6}∩{x|x>0，x∈R}＝{1,6}．5．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，則m＝___3__.[解析]因為A∩B＝{2,3}，所以3∈B．所以m＝3.關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一并集運算例1(1)設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求A∪B；(2)設(shè)集合A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|2<x≤6}，求A∪B．[分析]第(1)題由定義直接求解，第(2)題借助數(shù)軸求很方便．[解析](1)A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)畫出數(shù)軸如圖所示：∴A∪B＝{x|－3<x≤5}∪{x|2<x≤6}＝{x|－3<x≤6}．[歸納提升]并集運算應(yīng)注意的問題(1)對于描述法給出的集合，應(yīng)先看集合的代表元素是什么，弄清是數(shù)集，還是點集……，然后將集合化簡，再按定義求解．(2)求兩個集合的并集時要注意利用集合元素的互異性這一屬性，重復的元素只能算一個．(3)對于元素個數(shù)無限的集合進行并集運算時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意端點的值能否取到．【對點練習】?(1)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，則A∪B＝__{0,1,2,3,4,5}__.(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，則A∪B＝__{x|x>－2}___.[解析](1)A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．(2)畫出數(shù)軸如圖所示，故A∪B＝{x|x>－2}．題型二交集運算例2(1)設(shè)集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}則M∩N＝(B)A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{1} D．{0}(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，則集合A∩B等于(D)A．{x|x≤3或x>4} B．{x|－1<x≤3}C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1}(3)已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，則A∩B＝___{(1,2)}__.[分析](1)先求出集合N中的元素再求M、N的交集．(2)借助數(shù)軸求A∩B．(3)集合A和B的元素是有序?qū)崝?shù)對(x，y)，A、B的交集即為方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝6,3x＋2y＝7))的解集．[解析](1)N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}，故選B．(2)將集合A、B表示在數(shù)軸上，由數(shù)軸可得A∩B＝{x|－2≤x<－1}，故選D．(3)A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝6,3x＋2y＝7))))))＝{(1,2)}．[歸納提升]求集合A∩B的方法與步驟(1)步驟①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么．②把所求交集的集合用集合符號表示出來，寫成“A∩B”的形式．③把化簡后的集合A、B的所有公共元素都寫出來即可(若無公共元素則所求交集為?)．(2)方法①若A、B的代表元素是方程的根，則應(yīng)先解方程，求出方程的根后，再求兩集合的交集；若集合的代表元素是有序數(shù)對，則A∩B是指兩個方程組成的方程組的解集，解集是點集．②若A、B是無限數(shù)集，可以利用數(shù)軸來求解．但要注意，利用數(shù)軸表示不等式時，含有端點的值用實心點表示，不含有端點的值用空心點表示．【對點練習】?(1)(2020·天津和平區(qū)高一期中測試)設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，則A∩B等于(A)A．{1,3} B．{2,4}C．{2,4,5,7} D．{1,2,3,4,5,7}(2)(2020·廣州荔灣區(qū)高一期末測試)設(shè)集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，則集合B＝(D)A．{－3,1} B．{0,1}C．{1,5} D．{1,3}[解析](1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1,3,5,7}，∴A∩B＝{1,3}，故選A．(2)∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，∴1－4＋m＝0，∴m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1,3}．題型三集合的交集、并集性質(zhì)的應(yīng)用例3(1)設(shè)集合M＝{x|－2<x<5}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}，若M∪N＝M，則實數(shù)t的取值范圍為___________.(2)設(shè)A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{x|x2－2ax＋a2－a＝0}．①若A∩B＝B，求a的取值范圍；②若A∪B＝B，求a的取值．[分析](1)把M∪N＝M轉(zhuǎn)化為N?M，利用數(shù)軸表示出兩個集合，建立端點間的不等關(guān)系式求解．(2)先化簡集合A，B，再由已知條件得A∩B＝B和A∪B＝B，轉(zhuǎn)化為集合A、B的包含關(guān)系，分類討論求a的值或取值范圍．[解析](1)由M∪N＝M得N?M，當N＝?時，2t＋1≤2－t，即t≤eq\f(1,3)，此時M∪N＝M成立．當N≠?時，由數(shù)軸可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－t<2t＋1，,2t＋1≤5，,2－t≥－2，))解得eq\f(1,3)<t≤2.縮上可知，實數(shù)t的取值范圍是{t|t≤2}．(2)由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2.∴A＝{0,2}．①∵A∩B＝B，∴B?A，B＝?，{0}，{2}，{0,2}．當B＝?時，Δ＝4a2－4(a2－a)＝4a<0，∴a<0；當B＝{0}時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a＝0，,Δ＝4a＝0，))∴a＝0；當B＝{2}時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－4a＋a2－a＝0，,Δ＝4a＝0，))無解；當B＝{0,2}時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,Δ＝4a>0，,a2－a＝0，))得a＝1.綜上所述，得a的取值范圍是{a|a＝1或a≤0}．②∵A∪B＝B，∴A?B．∵A＝{0,2}，而B中方程至多有兩個根，∴A＝B，由①知a＝1.[歸納提升]利用交、并集運算求參數(shù)的思路(1)涉及A∩B＝B或A∪B＝A的問題，可利用集合的運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為相關(guān)集合之間的關(guān)系求解，要注意空集的特殊性．(2)將集合中的運算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個集合之間的關(guān)系．若集合中的元素能一一列舉，則可用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，要注意集合中元素的互異性；與不等式有關(guān)的集合，則可利用數(shù)軸得到不同集合之間的關(guān)系．【對點練習】?已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，(1)當m＝2時，求M∩N，M∪N；(2)當M∩N＝M時，求實數(shù)m的值．[解析](1)由題意得M＝{2}．當m＝2時，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，∴M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．(2)∵M∩N＝M，∴M?N，∵M＝{2}，∴2∈N，∴2是關(guān)于x的方程x2－3x＋m＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.課堂檢測·固雙基1．設(shè)集合A＝{x∈N*|－1≤x≤2}，B＝{2,3}，則A∪B＝(B)A．{－1,0,1,2,3} B．{1,2,3}C．{－1,2} D．{－1,3}[解析]集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，則A∪B＝{1,2,3}．2．已知集合A＝{x|－3<x<3}，B＝{x|x<1}，則A∩B＝(C)A．{x|x<1} B．{x|x<3}C．{x|－3<x<1} D．{x|－3<x<3}[解析]A∩B＝{x|－3<x<3}∩{x|x<1}＝{x|－3<x<1}．故選C．3．設(shè)集合A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，則如圖中陰影部分表示的集合是(C)A．{2,4,6} B．{1,3,6}C．{1,2,3,4,6} D．{6}[解析]圖中陰影表示A∪B，又因為A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，所以A∪B＝{1,2,3,4,6}，故選C．4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，則實數(shù)a的取值范圍是__a≤1__.[解析]利用數(shù)軸畫圖解題．要使A∪B＝R，則a≤1.5．已知集合A＝{x|m－2<x<m＋1}，B＝{x|1<x<5}．(1)若m＝1，求A∪B；(2)若A∩B＝A，求實數(shù)m的取值范圍．[解析](1)由m＝1，得A＝{x|－1<x<2}，∴A∪B＝{x|－1<x<5}．(2)∵A∩B＝A，∴A?B．顯然A≠?.故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2≥1，,m＋1≤5，))解得3≤m≤4.∴實數(shù)m的取值范圍為[3,4]．素養(yǎng)作業(yè)·提技能A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，則A∩B＝(B)A．? B．{2}C．{0} D．{－2}[解析]因為B＝{－1,2}，所以A∩B＝{2}．2．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5，或x>4}，則M∪N＝(A)A．{x|x<－5，或x>－3} B．{x|－5<x<4}C．{x|－3<x<4} D．{x|x<－3，或x>5}[解析]在數(shù)軸上分別表示集合M和N，如圖所示，則M∪N＝{x|x<－5，或x>－3}．3．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，則M∩N等于(D)A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)C．{3，－1} D．{(3，－1)}[解析]∵M，N均為點集，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1，))∴M∩N＝{(3，－1)}．4．若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，則圖中陰影部分表示的集合為(A)A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}[解析]A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，由題意可知，陰影部分為A∩B，A∩B＝{2}．5．集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，則(A∩B)∪C＝(D)A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}[解析]A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故選D．6．(2019·武漢市高一調(diào)研)設(shè)集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠?，則a的取值范圍是(D)A．{a|－1<a≤2} B．{a|a>2}C．{a|a≥－1} D．{a|a>－1}[解析]因為A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，在數(shù)軸上表示出兩個集合，如圖所示，易知a>－1.二、填空題7．已知集合A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，C＝{6,8}，則(C∪A)∩B＝__{2,6,8}__.[解析]∵A∪C＝{2,3}∪{6,8}＝{2,3,6,8}，∴(C∪A)∩B＝{2,3,6,8}∩{2,6,8}＝{2,6,8}．8．若集合A＝{x|3ax－1＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，且A∪B＝B，則a的值是__0，eq\f(1,3)，eq\f(1,12)__.[解析]由題意知，B＝{1,4}，A∪B＝B，∴A?B．當a＝0時，A＝?，符合題意；當a≠0時，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3a)))，∴eq\f(1,3a)＝1或eq\f(1,3a)＝4，∴a＝eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,12).綜上，a＝0，eq\f(1,3)，eq\f(1,12).9．已知集合A＝{x|x<1，或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5<x≤6}，則2a－b＝__－4__.[解析]如圖所示，可知a＝1，b＝6,2a－b＝－4.三、解答題10．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3－x>0，,3x＋6>0))))))，集合B＝{m|3>2m－1}，求A∩B，A∪B．[解析]解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x>0，,3x＋6>0，))得－2<x<3，則A＝{x|－2<x<3}．解不等式3>2m－1，得m<2，則B＝{m|m<2}．用數(shù)軸表示集合A和B，如圖所示．則A∩B＝{x|－2<x<2}，A∪B＝{x|x<3}．11．設(shè)集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求實數(shù)a的值．[解析]∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B．∵a2＋1≠－3，∴a－3＝－3或2a－1＝－3.①若a－3＝－3，則a＝0，此時A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，但由于A∩B＝{1，－3}與已知A∩B＝{－3}矛盾，∴a≠0.②若2a－1＝－3，則a＝－1，此時A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}．綜上可知a＝－1.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．設(shè)集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，則S∩T＝(D)A．{x|2≤x≤3} B．{x|x≤2或x≥3}C．{x|x≥3} D．{x|0<x≤2或x≥3}[解析]∵S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}＝{x|x≤2或x≥3}，且T＝{x|x>0}，∴S∩T＝{x|0<x≤2或x≥3}．故選D．2．設(shè)集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，則A∪B等于(D)A．{1,2} B．{1,5}C．{2,5} D．{1,2,5}[解析]因為A∩B＝{2}，所以2∈A,2∈B，所以a＋1＝2，所以a＝1，b＝2，即A＝{1,2}，B＝{2,5}，所以A∪B＝{1,2,5}，故選D．3．(多選題)已知集合A＝{2,3,4}，集合A∪B＝{1,2,3,4,5}，則集合B可能為(AD)A．{1,2,5} B．{2,3,5}C．{0,1,5} D．{1,2,3,4,5}[解析]集合A＝{2,3,4}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，則B中必有元素1和5，且有元素2,3,4中的0個，1個，2個或3個都可以，AD符合．B、C錯誤，故選AD．4．(多選題)已知集合A＝{2,4，x2}，B＝{2，x}，A∪B＝A，則x的值可以為(ABC)A．4 B．0C．1 D．2[解析]∵A∪B＝A，∴B?A．∴x∈A，∴x＝4或x2＝x，由x2＝x解得x＝0或1，當x＝0時，A＝{2,4,0}，B＝{2,0}，滿足題意．當x＝1時，A＝{2,4,1}，B＝{2,1}，滿足題意．當x＝4時，A＝{2,4,16}，B＝{2,4}，滿足題意．故選ABC．二、填空題5．已知集合A＝{x|0≤x≤a，a>0}，B＝{0,1,2,3}，若A∩B有3個真子集，則a的取值范圍是__1≤a<2__.[解析]∵A∩B有3個真子集，∴A∩B中有2個元素，又∵A＝{x|0≤x≤a，a>0}，∴1≤a<2.6．設(shè)集合M＝{x|－2＜x＜5}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}，若M∩N＝N，則實數(shù)t的取值范圍