第5課三角函數的最值問題一、教學目標1．會通過三角恒等變形，將函數關系式化為一個角的一種三角函數形式（即），然后借助于三角函數的圖像和性質，求三角函數的最值和值域；2．能利用換元、求導、數形結合等方法求三角函數的最值和值域。二、基礎知識回顧與梳理1、函數的值域為【教學建議】本題主要是幫助學生回顧三角函數的圖像和性質，并進一步讓學生知道連續函數的最大值和最小值不一定在端點處取得！2、函數的最大值是，此時的值為?！窘虒W建議】本題選自必修四第44頁習題1.3第四題，主要是復習三角函數的最值、周期性，有了第1題的鋪墊，不妨令，則轉化為的最值問題，故問題迎刃而解。3、函數（均為正數）的最大值是【教學建議】本題選自必修四第99頁習題3.1第13題，是求三角函數最值（或值域）問題中的一種基本模型。處理方法：引入輔助角，化為,利用函數即可求解。形如型亦可以化為此類。4、函數的值域是?！窘虒W建議】如何化簡原函數？方向是什么？減少角的個數，將，得到再換元得，強調，結合二次函數的圖像求解。三、診斷練習診斷練習點評題1：函數的值域為；【分析與點評】,學生要熟悉求三角最值兩種最基本的方法：1.函數圖象法，2.單位圓法.結果注意區間開閉.題2．函數的最小值是．【分析與點評】問題1：三角函數式化簡的基本原則是什么？消滅三角函數式在“角、名（函數名稱）、次（式子次數）”等方面的差異性，走向統一，從而達到化簡之目的。問題2：如何統一三角函數名？往往是對兩角和與差的正弦、余弦公式的使用，尤其是逆使用，即輔助角公式。注意對輔助角公式的靈活運用。題3．若函數，則的最大值為.【分析與點評】問題1：三角函數式化簡的基本原則是什么？消滅三角函數式在“角、名（函數名稱）、次（式子次數）”等方面的差異性，走向統一，從而達到化簡之目的。問題2：此題如何消滅在“名稱”上存在的差異？切化弦！易得，追問角的范圍的作用是什么？如果改為求此函數的值域呢？體現整體思想和單調性的作用。題4．已知()，則的最小值是．【分析與點評】問題1：這是什么函數？三角函數。從整體上看，這又是什么函數？二次函數。如何操作？問題2：最值問題常與函數的哪個性質有關？單調性！如何研究二次函數的單調性？二次函數的最值是否一定在對稱軸取得？要點歸納（1）通過上述問題的交流,讓學生了解:求三角函數值域（或最值）問題時，我們常常將所給函數化為熟知的函數類型如、二次函數等。進而通過研究這些函數的單調性，求出原函數的值域（或最值）。（2）求解的關鍵是借助三角公式將所給的三角函數式進行三角恒等變形，化為我們熟悉的、已知的函數模型，或用導數求極值，因此應要求學生熟記三角公式（特別是二倍角公式及其變形公式?。＃?）強化函數定義域優先的意識?；嗊^程中也應對自變量的取值范圍所發生的變化進行仔細地考察，理解定義域發生變化后，值域（或最值）可能隨之發生變化。四、范例導析例1、已知函數.（1）求的值；（2）求的最大值和最小值。【教學處理】可讓學生板演，教師點評；【引導分析與精講建議】問題1：對應的具體表達式是什么？亦即目標要具體化!通過具體化發現是求特殊角的三角函數值，因此，不難求得答案。問題2：可化簡嗎？化簡的方向是什么？！消滅角上的差異性，統一為關于角的形式的三角函數，經過化簡發現是“”的二次函數型。借助我們熟知的二次函數知識就可以順利求解。【變式】求函數的最大值和最小值?！疽龑Х治雠c精講建議】問題：化簡的方向？異角化同角得，換元后轉化為二次函數問題，其中要注意什么？換元就要換范圍！令，則，問題轉化為二次函數在“動軸定區間”上的最值問題，數形結合得解。例1變式：求函數的最大值與最小值.解：，例2：已知函數．（1）若點()為函數與的圖象的公共點，試求實數的值；（2）求函數的值域．【教學處理】要求學生獨立思考并解題，指名學生板演，老師巡視指導了解學情；再結合板演情況進行點評。也可在學生恒等變形過程中遇到困難時，教師適時介入與學生交流，并給予指導。【引導分析與精講建議】問題1：圖像有公共點是什么意思？如何轉化為代數條件？問題2：如何解三角函數方程？問題3：條件是二次形式，能化為二次函數模型嗎？學生通過嘗試，感受解題失??！知道解題不會一帆風順，有時，事先制定的解題計劃需要調整，從而逐漸的積累解題經驗，一步步提升解題能力。問題4：能否化為？強調這種類型是三角函數中的常見題型。的本質是什么？一個角！一個三角函數！一次式！那么這樣的二次式能降為一次嗎？充分挖掘公式的變化形式，顯然，∴，至此，應水到渠成了。問題5：求型函數的值域應注意什么？角的整體范圍?！军c評】本題通過逆用二倍角公式降次后，將函數化為一個角的一種三角函數的形式，即型的函數，再應用三角函數的有界性求解。例2變式1：已知函數（課后復習題改編）（1）如果，求函數的最大值；（2）如果函數的最小值是，求的值。解：（1）；（2）變式2：已知函數的定義域為，值域為，求常數的值變式3：已知函數（1）當，求函數的值域；（2）當，求函數的值域例3：（1）已知，求函數的最小值．（2）已知，求函數的最大值；（3）求函數的最大、最小值．【教學處理】要求學生獨立思考并解題，點幾名學生板演，老師巡視指導了解學情；再結合板演情況進行點評。也可在學生恒等變形過程中遇到困難時，教師適時介入與學生交流，并給予指導?！疽龑Х治雠c精講建議】（1）題1直接利用三角函數的有界性，并直接利用基本不等式去求解。（2）題2首先是對分數函數的一般的處理方式，然后回到題1的步驟去解決。（3）型三角函數求最值，當，時，不能用均值不等式求最值，適宜用函數在區間內的單調性求解．（4）題3含有“正、余弦三姐妹”，即含有的函數的最值問題，常用的方法是令,將轉化為關于t的函數關系式，從而轉化為二次函數的最值問題．在轉化過程中尤其要注意新變量的范圍的確定。例3變式：(1)求函數的最小值.(2)若0<x<，求函數的最小值.解：(1)，所以最小值為(2)，令，則，∴，由，得，∴函數的最小值為.五、解題反思1、求三角函數最值（或值域）的常用方法有：①配方法（主要利用二次函數性質及三角函數的有界性），如例1；②化為一個角的一個三角函數形式（主要利用和差角公式及三角函數的有界性），如例2；③基本不等式法，如例3（1）和（2）；④含有的，進行整體代換，轉變成二次函數，如例3（3）。2、三角函數的最值（或值域）都是在給定區間上取得的，因而特別要注意題設中所給出的區間.（1）求三角函數最值（或值域）時，一般要進行一些代數變換和三角變換，要注意函數有意義的條件及正、余弦函數的有界性，如例2中變式3.（2）含參數的三角函數的最值問題，要注意參數的作用和影響。如例2中變式23、要養成用設角的方法解決圖形問題的意識，要掌握用導數方法求三角函數的最值的技能。六、課后鞏固：1、函數y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________答案：2、設x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則函數y＝eq\f(2sin2x＋1,sin2x)的最小值為________答案：3、函數f(x)＝cos2x－2sinx的最大值為________答案：4、已知函數(),若有最大值.(1),求實數的值;(2)x[0,]求函數的值域.解:(1)f(x)=cos2x+sin2x+a+1=2sin(2x+)+a+1因為f(x)的最大值是2,所以a=1(2)∵0≤x≤,∴≤2x+≤,