全國(guó)2007年7月高等教育自學(xué)考試

復(fù)變函數(shù)與積分變換試題

課程代碼：02199、單項(xiàng)選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.z=2-2i，|z2|=(=|z|2 )A.2B.√8C.4D.82.復(fù)數(shù)方程Z=CoSt+isint的曲線(xiàn)是（)A.直線(xiàn)B.圓周C.橢圓口.雙曲線(xiàn)3.Re(e2x+iy)=( )A.e2xB.eyC.e2xCoSyD.e2xSiny4.下列集合為有界單連通區(qū)域的是（)A.0<|z-3|<2B.Rez>3C.|z+a|<1D.-π<argz≤π.設(shè)f(z)=x3-3xy2+(ax2y-y3)i在Z平面上解析，則a=(UX=Vy )A.-3 B.1C.2 D.3.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在Z平面上解析，v(x,y)=eχ(ycosy+xsiny)，則Uu(x,y)=( )A.ex(ycosy-xsiny) B.ex(xcosy-xsiny)C.ex(ycosy-ysiny) D.ex(xcosy-ysiny).Jdz=()zIz-il=3A.0 B.2πC.πiD.2πisinzdz8.J -=(Jsinzdz)z2-z-12(z+3)(z-4)|z-1|=1|z-1|=1A.0B.2πisin1C.2πsin1n1.1D. sin12πi」一9.zcosz2dz=0(一sιnz2(23)0A.—sin9B.—cos922C.cos9D.sin910.若f(z)=tgz，則Res[f(z)，π2]=（一級(jí)極點(diǎn)）A.-2πB.-πC.-1D.011,f(z)=-c°sz.-在z=1處泰勒展開(kāi)式的收斂半徑是（)z(z-i)2A.0B.1C.2 D.312.z=0為函數(shù)cos—的( )zA.本性奇點(diǎn)B.極點(diǎn)C.可去奇點(diǎn)D.解析點(diǎn)13.f(z)=1(z-2)(z-1)在0<lz-2l<1內(nèi)的羅朗展開(kāi)式是（=11 . Z-2Z-2+1D)[排除法可去掉AB]A.￡(-1)nznn=0B.1(Z-2)Σzn=0C.Σ(z-2)nD.Σ(-1)n(Z-2)n-1n=0n=0z-ιrz-a^

_[oθ]14.線(xiàn)性變換ω==(=z+ι z-αZ+i)A.將上半平面Imz>O映射為上半平面Imω>0B.將上半平面Imz>0映射為單位圓Iω卜1C.將單位圓IZIVl映射為上半平面Imω>0D.將單位圓IZkl映射為單位圓IωIvl.函數(shù)f(t)≡t的傅氏變換J[f(t)]為1?——>2πδ(w)(F[tf(t)]=iFf(w)/(O=1nF[t]=2πiδTW))微分性(pl59)A.δ(ω) B.2??iδ(ω)C.2niδ'(ω) D.δ'(ω)二、填空題(本大題共5小題，每小題2分，共10分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。.若Z]=eι+ijt,Z2=3+i,則_β(cosπ+zsinπ)(3+z)=-?(3-?-i)=e-3eiZ1*Z2=jπ.若cosz=0,貝IJZ=左兀+—..設(shè)f'(z)≡Jeζc°sζdζ(∣z∣<5%L：Iζ1=5,則f(zX LCZ)2∕r(z)=2πi(eζcosζ) =2πz(e^cosz)'ζ=Z=>f(z)=2兀iecosz+C19.幕級(jí)數(shù)￡型名〃的收斂半徑是 e.nnn=l(n+1)! nn (n+1)nn nn ? = = (n+1)n+1n! (n+1)n+1 (n+1)n1(1+1)"

n.線(xiàn)性映射ω=Z是關(guān)于X軸—的對(duì)稱(chēng)變換.三、計(jì)算題(本大題共8小題，每小題5分，共40分).計(jì)算復(fù)數(shù)z=3--27的值.π+2kπZ=3—27=3pτe^π=3ei-?(k=0,1,2)π.33eIi=—22i,(k=0)<3e兀i=—3,(k=1)3e拳=2一芋(k=2)22.已知調(diào)和函數(shù)v=arctgy,x>0，求f,(z)，并將它表示成Z的函數(shù)形式.X解：V(X,y)=arctgynVX1+xyX2Γy1—yXX(yY,VyX2+y21+X2+y2kX)?Xnf'(Z)=U+XiVX=V+iVyXX +X2+y2iyX2+y2X—iyZ1IZ∣2Z?Znf(Z)=lnZ+Cz23.設(shè)f(z)=x2+axy+by2+i(-x2+2xy+y2)為解析函數(shù)，試確定a，b的值.u-x2+axy+by2,v=一X2+2Xy+y2u=Vn2x+ay=2X+2yna=2χyU=一vnax+2by=2X—2ynb=-1yX24.求積分I=J——-——dz的值，其中C：lzl=4為正向.Cz2+2z=±√2為被積函數(shù)在。內(nèi)的奇點(diǎn)，如右圖iiI=J—i—dz=Jz-Cidz+Jz+CidzCz2+2C1z+√2iC2z-?汽i=2πi?-z-\aiC?iO+2πi? =日i z+、工i?Z==√2πi-2∕2πi=0'2iC25.求積分I=J—e—dz的值，其中C：lζl=2為正向.C(z+i尸2z--L為被積函數(shù)在C內(nèi)唯一的奇點(diǎn)，2I=JOC(z+l)4乙dz-孚Q'πii————e2i3z=—-2πi(cos1-isin1)T2 226.利用留數(shù)計(jì)算積分I=JZdiZ，其中C為正向圓周lζl=1.1f(Z)=在。內(nèi)以Z=0為二級(jí)極點(diǎn)，zsinzZsinZ=0nZ=0orsinZ=0nZ=0orz=k兀又Z=0為sinZ的一級(jí)零點(diǎn)nZ=0ZsinZ的二級(jí)零點(diǎn)??sinZ-ZcosZlim[Z2f(z)]=limZ→0 Z→0 sin2Z=limZ→0cosZ一(cosZ-ZsinZ)

2sinZcosZZ=lim=0Z→02coszn?"=2兀i?0=0Czsinz27.將函數(shù)f(z)=ln(3+z)展開(kāi)為Z的泰勒級(jí)數(shù).f(Z)=ln(Z+3)=ln[3(1+Z)]=ln3+ln(1+Z)=ln3+?n=02一… 228.將函數(shù)f(z)=Z(Z^)在圓環(huán)域0<IzI<2內(nèi)展開(kāi)為羅朗級(jí)數(shù).0<1Z∣<2nZ2<1???f(Z)=21Z(Z+2)Z，=1Σ(-1)nZZZ1+一 n=02(Z\

Z

12)nE(一1)nZn-1n=0四、綜合題(下列3個(gè)小題中，第29小題必做，第30、31小題中只選做一題。每小題10分，共20分)29.(1)求f(z)=」一ei在上半平面的所有孤立奇點(diǎn)；z=i(一級(jí)極點(diǎn))1+Z2eT(2)求f(z)在以上各孤立奇點(diǎn)的留數(shù)；-2(3)利用以上結(jié)果計(jì)算積分I=1+°?nxdr.-∞1+x2【注：實(shí)函的積分結(jié)果一定是實(shí)數(shù)，不會(huì)是虛數(shù)】∫+∞xexdV=2兀i?eI=兀e-Ii^∫+∞xsinxdV=兀e-1-g1+x2 2 -g1+x230.設(shè)D是Z平面上的帶形區(qū)域：1<Rez<1+∏，求下列保角映射：w=z-1(1)ω1=f1(z)把D映射成ω1平面上的帶形區(qū)域D1：0<Reω1<∏; 1 w=e3m≡iw(2)ω2=f2(ω1)把D1映射成ω2平面上的帶形區(qū)域D2：0<Im32<n；w2 e2w1 iw22 1 1 2 2 2w=ew2(3)ω=f3(ω2)?D2映射成ω平面上的上半平面D3：Imω>0;w=ei(z-1)(4)綜合以上三步，求把D映射成D3的保角映射ω=f⑵.31.(1)求et的拉氏變換L[et];(2)設(shè)F(P)=L[y(t)]，其中函數(shù)y(t)二階可導(dǎo)，L[y'(t)]、L[y〃(t)]存在，且y(0)=0,y'(0)=0，求L[y'