曲線擬合曲線擬合1主要內容背景及應用1在故障診斷中的應用3基本原理及實現方法2總結及展望4參考文獻5主要內容背景及應用1在故障21、背景及應用理論上，可以根據插值原則構造n次多項式Pn(x),使其正好通過實測點。實際情況，為盡量反應真實情況，需要數目很多的采樣點。這樣，會造成插值多項式次數很高，增大計算量，影響函數逼近程度。并且差值多項式需要經過每一個測試點，這樣會保留測量誤差，影響函數逼近精度。在許多領域中,常常需要根據實際測試所得到的一系列數據,求出變量間的函數關系。因此,我們一般根據已知實際測試樣點,找出被測試量之間的函數關系,使得找出的近似函數曲線能夠充分反映實際測試量之間的關系,這就是曲線擬合。1、背景及應用實際情況，為盡量反應真實情況，需要數目很多的采31、背景及應用由于通過曲線擬合方法能將實際試驗測試數據轉化成合乎誤差要求的近似曲線、函數解析式，它被廣泛應用于圖像處理、逆向工程、計算機輔助設計，以及測試數據的處理分析等領域。1、背景及應用由于通過曲線擬合方法能將實際試驗測試數42、基本原理及實現方法2.1曲線擬合的定義曲線擬合，是指求取一個函數解析式y=f(x,c)，使其通過或者近似通過有限的試驗數據對(xi,yi)(i=1,2,…,n)，從而實現用擬合曲線方程來分析變量之間的關系。其中，c=(c0,c1,…,cm),為曲線方程的待定參數。2、基本原理及實現方法2.1曲線擬合的定義曲線擬合，是指求52、基本原理及實現方法2.2曲線擬合的方法實現曲線擬合的方法有很多，在實際應用中需要針對不同的問題采取不同的方法。有理論模型的曲線擬合無理論模型的曲線擬合有一定的背景資料、規律性強，只需要找出與背景資料相適應的曲線方程。最常用的是最小二乘法。曲線擬合問題規律性差、理論模型難以建立或不需要理論模型。這類問題一般采用幾何方法或者神經網絡法實現曲線擬合。2、基本原理及實現方法2.2曲線擬合的方法實現曲線62、基本原理及實現方法2.2曲線擬合的方法——最小二乘法已知試驗數據點（xi.yi）(i=1,2,…,n),假設實驗數據點可以用線性模型擬合，解析式為：

y=β0+β1x+ε(1)其中，β0，β1是待求參數，誤差ε服從N(1,σ2)

將n個實驗點分別帶入表達式（1）得到:yi=β0+β1xi+εi

根據最小二乘原理，擬合得到的參數應使曲線與試驗點之間的誤差的平方和達到最小，也就是使如下的目標函數達到最小：

2、基本原理及實現方法2.2曲線擬合的方法——最小二乘法已72、基本原理及實現方法2.2曲線擬合的方法——最小二乘法將試驗點數據點入之后，求目標函數的最值問題就變成了求取使目標函數對待求參數的偏導數為零時的參數值問題，即：求解方程組，就能唯一地確定待求參數β0，β1的值，從而實現了曲線的最小二乘擬合。2、基本原理及實現方法2.2曲線擬合的方法——最小二乘法將82、基本原理及實現方法2.2曲線擬合的方法——最小二乘法對于非線性模型，有的可以通過適當的數學變換將其線性化，然后采用最小二乘法進行擬合。常用的可以線性化的模型如下表所示：2、基本原理及實現方法2.2曲線擬合的方法——最小二乘法對9實際問題中，通過一組觀測數據，找出描述這些數據的規律，即構造一條擬合曲線，反映所給數據點總的趨勢，以消除所給數據的局部誤差。問題特點（xi,yi）,i=1,2,…,N,N很大yi本身為測量值，不準確擬合函數f(x)沒有必要完全通過，所給的空間點，只需要ei=f(xi)-yi（殘差）總體上盡可能的小實際問題中，通過一組觀測數據，找出描述這些數據的規律，即構造10構造擬合曲線的準則基于準則3來選取擬合曲線的方法，稱為曲線擬合的最小二乘法構造擬合曲線的準則基于準則3來選取擬合曲線的方法，稱為曲線擬11一.直線擬合一.直線擬合12求解二元一次方程，得到取定擬合直線的參數a,b求解二元一次方程，得到取定擬合直線的參數a,b13實例：考察某種纖維的強度與其拉伸倍數的關系,下表是實際測定的24個纖維樣品的強度與相應的拉伸倍數是記錄:實例：考察某種纖維的強度與其拉伸倍數的關系,下表是實際測定的14纖維強度隨拉伸倍數增加而增加并且24個點大致分布在一條直線附近纖維強度隨拉伸并且24個點大致分15解得：a=0.1505,b=0.8587解得：a=0.1505,b=0.858716二.多項式擬合若所給的數據點用直線擬合不合適，可以考慮用多項式擬擬合二.多項式擬合若所給的數據點用直線擬合不合適，可以考慮用多17稱為曲線擬合的最小二乘法課件18因此有，正則方程組上方程組解是否存在唯一？因此有，正則方程組上方程組解是否存在唯一？19定理7正則方程組有唯一解定理8利用正則方程組求解曲線擬合問題是一個古老的方法，在實際計算中，當m較大時，正則方程組往往是病態的，其求解方法有待于進一步改進證明：即對應的齊次方程組只有零解。定理7正則方程組有唯一解定理8利用正則方程組求解曲線擬合問20三.觀察數據的修勻提高擬合多項式的次數不一定能改善逼近效果，實際計算時常用不同的低次多項式去擬合不同的分段----分段擬合設已給一批實測數據(xi,yi)(i=1,2,…,N)，由于測量方法和實驗環境的影響，不可避免地會產生隨機干擾和誤差，希望根據數據的分布的總的趨勢去剔除觀察數據中的偶然誤差----數據修勻(數據平滑)問題三.觀察數據的修勻提高擬合多項式的次數不一定能改善逼近效果，21ti-2-1012yiy-2y-1y0y1y2ti-2-1012yiy-2y-1y0y1y222稱為曲線擬合的最小二乘法課件23稱為曲線擬合的最小二乘法課件24注：三次樣條與分段Her