第七講

弗賴登塔爾的數學教育理論西華師范大學數學與信息學院楊孝斌1.生平及貢獻HansFreudenthal（1905-1990年）,荷蘭數學家和數學教育家,生于德國.1930年獲柏林大學數學博士學位；1946年起任荷蘭Utrecht大學教授；1951年起為荷蘭皇家科學院院士；1967年當選為國際數學教育委員會主席；1971-1976年任數學教育研究所所長；1987年12月應邀來上海華東師范大學講學，并先后三次來中國。弗賴登塔爾是著名數學家布勞威爾的學生，早年從事純粹數學研究，以代數拓撲學和李群研究方面的杰出工作進入國際著名數學家的行列，曾任荷蘭數學會的兩屆主席．

弗賴登塔爾被稱為“二十世紀數學教育之父”

“對于數學教育，本世紀的上半葉FelixKlein做出了不朽的功績；本世紀的下半葉HansFreudenthal做出了巨大的貢獻。”——加亨(Kahane)教授主要工作：1967年當選為國際數學教育委員會主席；單獨舉行國際數學教育大會（ICME－1，1969．法國．里昂）；提倡數學教育的科學研究；創辦ICME的理論刊物——《EducationalStudiesinMathematics（數學教育研究）》主要數學教育論著：《作為教育任務的數學》；《除草與播種———數學教育學的序言》；《數學結構的教學法現象》；《數學教育再探———在中國的三次講學》2.弗賴登塔爾的數學教育觀——情境問題是教學的平臺——數學化是數學教育的目標——學生通過自己努力得到的結論和創造是教育內容的一部分——“互動”是主要的學習方式——學科交織是數學教育內容的呈現方式概括為：現實、數學化、再創造(1)何謂數學教育中的“現實”？數學教育中的現實——數學來源于現實，存在于現實，應用于現實，而且每個學生有各自不同的“數學現實”.數學教師的任務之一就是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實.弗賴登塔爾堅持主張：數學教育體系的內容應該是與現實密切聯系的數學，能夠在實際中得到應用的數學，即“現實的數學”。如果過于強調了數學的抽象形式，忽視了生動的具體模型，過于集中于內在的邏輯聯系，割斷了與外部現實的密切關系，那必然會給數學教育帶來極大的損害。“新數”運動的失敗就是個明證。

如何理解“現實”？不同的社會需要是否就是“現實”？每個人的“數學現實”是一樣的嗎？數學教育應為不同的人提供不同的數學修養，從而為每個人培養適合于他所從事的不同專業所必需的數學態勢，使其能順利地處理有關的各種數學問題。為此，弗賴登塔爾的一個基本結論是：每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數學概念、它的運算方法、規律和有關的數學知識結構。這就是說，每個人都有自己的一套“數學現實”。從這個意義上說，所謂“現實”不一定限于具體的事物，作為屬于這個現實世界的數學本身，也是“現實”的一部分，或者可以說，每個人也都有自己所接觸到的特定的“數學現實”。大多數人的數學現實世界可能只限于數和簡單的幾何形狀以及它們的運算，另一些人可能需要熟悉某些簡單的函數與比較復雜的幾何，至于一個數學家的數學現實可能就要包含Hilbert空間的算，子、拓撲學以及纖維叢等等。

數學教育的任務就在于，隨著學生們所接觸的客觀世界越來越廣泛，應該確定各類學生在不同階段必須達到的“數學現實”，并且根據學生所實際擁有的“數學現實”，采取相應的方法予以豐富，予以擴展，從而使學生逐步提高所具有的“數學現實”的程度并擴充其范圍。數學教學的本質就是培養學生從已有的“數學現實”發展到更高層次的“數學現實”一些具體的例子如下：通過公共汽車上下車人數的變化引入整數的加減法，并找出運算規律；借助學生上學乘汽車、騎自行車或步行等多種交通工具以及途中出現的各種情況，介紹各種類型的圖象表示、解析表示，進一步可介紹變化率以及斜率等概念及有關性質；還可以從商店出售各種不同牌子、不同規格的商品所獲得的利潤計算，引進矩陣的乘法概念，以及它的運算法則；以及根據血壓的變化介紹一般周期函數的概念，再進到更有規律的正弦函數及其性質；或者從物質的生長率引進指數函數概念，從而導出對數函數等。

由于人們對數學需求不盡相同，各人在不同階段又有特定的數學現實，弗賴登塔爾認為，在現實背景材料的使用上有下述三種不同的水平：

第一級是在實際問題中直接包含著有關的數學運算，只要通過簡單的變換或過渡，就可以從實際問題求得相應的數學問題。在這里，具體的現實問題起著核心作用。

(數學知識的簡單應用)

第二級是提出了某個現實問題，希望學生能夠找出與之有關的數學，加以組織，建立結構，從而解決問題。這里需要運用數學作為工具來組織現實問題并予以解決，因而具體的實際問題是起著實質性的作用。

(生活數學的數學化)

第三級則是指出某個數學概念或是描述了某個數學過程的特征，由此引進新的數學概念或是構造新的數學模型，在這兒所提供的現實背景材料已經從通常的具體客觀世界中抽象出來。

(數學問題的模型化)

綜上所述，弗賴登塔爾提的“數學現實”原則，和我們通常所說的理論聯系實際有原則的區別，有其獨特的含義和理論深度，值得我們借鑒。

(2)什么是“數學化”？弗賴登塔爾的名言是：與其說是學習數學，還不如說是學習“數學化”；與其說是學習公理系統，還不如說是學習“公理化”；與其說是學習形式體系，還不如說是學習“形式化”。人們運用數學的方法觀察現實世界，分析研究各種具體現象，并加以整理組織，這個過程就是數學化。簡單地說，數學地組織現實世界的過程就是數學化。

數學化，是一個由淺入深，具有不同層次、不斷發展的過程。數學化的對象：水平數學化——生活數學的數學化垂直數學化——數學問題的進一步抽象水平數學化，形成數學概念、運算法則、規律、定理，以及為解決實際問題而構造的數學模型；垂直數學化，形成數學概念、運算法則、規律、定理，以及不同層次的公理體系和形式體系。現實數學教育的數學化有兩種形式：一是實際問題轉化為數學問題的數學化，即發現實際問題中的數學成分，并對這些成分作符號化處理；二是從符號到概念的數學化，即在數學范疇之內對已經符號化了的問題作進一步抽象化處理。實際問題轉化為數學問題的基本流程是：確定一個具體問題中包含的數學成分；建立這些數學成分與學生已知的數學模型之間的聯系；通過不同方法使這些數學成分形象化、符號化和公式化；找出蘊含其中的關系和規則；考慮相同數學成分在其他數學知識領域方面的體現；作出形式化表述。從符號到概念的數學化的基本流程是：用數學公式表示關系；對有關規則作出證明；嘗試建立和使用不同的數學模型；對得出的數學模型進行調整和加工；綜合不同數學模型的共性，形成功能更強的新模型；用已知數學公式和語言盡量準確地描述得到的新概念和新方法；作一般化的處理、推廣。(3)什么是“再創造”？弗賴登塔爾認為存在兩種數學，一種是現成的或已完成的數學，另一種是活動的或者創新的數學。完成的數學在人們面前以形式演繹的面目出現，它完全顛倒了數學的思維過程和實際創造過程，給予人們的是思維的結果；活動的數學則是數學家發現和創造數學的過程的真實體現，它表明了數學是一種艱難曲折又生動有趣的活動過程。

弗賴登塔爾所說的“再創造”，其核心是數學過程再現。學生“再創造”學習數學的過程實際上就是一個“做數學”的過程。教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造的工作。日常生活中，象“狗”、“椅子”等概念，都不需要事先給以嚴格的定義，兒童通過實際接觸，自然地形成了概念。數學中的一些東西，同樣來自現實，也可以通過學生的實際感受而形成概念。以學習平行四邊形概念為例，教師可以出示一系列的平行四邊形的圖形或是實際例子，告訴學生這些就是“平行四邊形”，讓學生自己進行比較、分析、研究。在經過反復的觀察與思考后，他們就會發現“平行四邊形”的許多共同性質，如：對邊平行、對角相等、鄰角互補、對角線互相平分等等，接著就會進而發現這些性質