24.1.4圓周角人教版數學九年級上冊第二十四章圓

前言學習目標1.理解圓周角的定義，了解與圓心角的關系，會在具體情景中辨別圓周角。2.掌握圓周角定理及推論，并會運用這些知識進行簡單的計算和證明;3.學習中經理操作、觀察、猜想、分析、交流、論證等數學活動，體驗圓周角的、定理的探索。重點難點重點：理解并掌握圓周角定理及推論。難點：圓周角定理的證明。特征：頂點在圓上，兩邊都與圓相交。將圓心角頂點向上移，直至與⊙O相交于點C?觀察得到的∠ACB有什么特征？OACB情景引用概念：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。圓周角的特征：①頂點在圓上；②兩邊都和圓相交?！BCDEO你能指出右圖中存在的圓周角嗎？圓周角的概念

在紙上畫出一個圓，并截取任意一條圓弧畫出其所對的圓心角和圓周角，測量它們的度數，你能得出什么結論？經過測量，同弧所對的圓周角度數等于所對圓心角的一半。OACB圓心角和圓周角之間存在的關系下面我們分以下三種情況驗證上述猜想：圓心角和圓周角之間存在的關系

123

=>證明二：OA=OC=>∠1＝∠2∠3＝∠1＋∠2

符號“=>”讀作“推出”，“A=>B”表示由A條件推出結論B.圓心角和圓周角之間存在的關系

123456

D連接AO，延長AO,與⊙O相交于點D圓心角和圓周角之間存在的關系

123456D連接AO，延長AO,與⊙O相交于點D

=>圓心角和圓周角之間存在的關系

作直徑ADD15234

=>圓心角和圓周角之間存在的關系綜上所述,圓周角∠BAC與圓心角∠BOC的大小關系是:即∠BAC=∠BOC.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

圓心角和圓周角之間存在的關系

在同圓或等圓中，兩條弧相等，則他們所對應的圓周角有什么關系？·OABB1A1將弧AB繞圓心O旋轉，使弧AB與弧A1B1重合∴點A與A1重合，B與B1重合∴射線OB與OB1重合，射線OA與OA1重合∴∠AOB＝∠A1OB1而一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半∴它們所對應的的圓周角相同。即同弧或等弧所對的圓周角相等?！小蠧圓心角和圓周角之間存在的關系·ABC1OC2C3

證明：90°的圓周角所對的弦是直徑？圓心角和圓周角之間存在的關系如圖，⊙O直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，求BC、AD、BD的長．又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，

解：∵AB是直徑∴∠ACB=∠ADB=90°在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.

圓心角和圓周角之間存在的關系O

如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形。這個圓叫做這個多邊形的外接圓。例：四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，⊙O是四邊形ABCD的外接圓。ADCB圓內接多邊形概念圓內接四邊形的四個角之間有什么關系？OADCB

⌒⌒⌒⌒思考1、填空1）如果∠A=45°,則∠BOC=____,∠OBC=

。2）如果∠BOC=46°,則∠A=____。3）如果BC的度數是46°，那么這條弧所對的圓心角和圓周角分別等于

，

。4）n°弧所對的圓心角是

，所對的圓周角是

。OABC23°46°23°n°n°90°45°⌒隨堂測試2.如圖，AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,OD是半徑,且OD∥AC，求證：CD=BD.

隨堂測試3.如圖，在半徑為5cm的⊙O中，AB為直徑，∠ACD＝30°，求弦BD的長．

隨堂測試感謝各位的聆聽指導人教版數學九年級上冊圓周角

如圖是圓柱形的海洋館橫截面的示意圖，

學完今天的課程，你們就會知道答案了！玻璃弧AB表示圓弧形玻璃窗．他們的視角相同嗎？乙、丙分別站在其他靠墻的位置D和E，同學甲站在正對著玻璃窗的靠墻的位置C，圓周角你還記得圓心角的定義嗎？頂點在圓心的角，叫做圓心角．頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角，叫做圓周角．練習判斷下列各圖中的角是不是圓周角，為什么？分別測量圖中弧AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB，它們之間有什么關系？改變C點的位置，再次測量∠ACB

和∠AOB，這個關系還成立嗎？改變B點的位置，再次測量∠ACB

和∠AOB，這個關系還成立嗎？探究猜想同弧所對的圓周角的度數沒有變化，并且它的度數恰好等于這條弧所對的圓心角的度數的一半．分析為了進一步探究上面的發現，如圖在⊙O任取一個圓周角∠BAC，將圓對折，使折痕經過圓心O和∠BAC的頂點A．由于點A的位置的取法可能不同，這時折痕可能會出現三種情況：在圓周角的一邊上在圓周角內在圓周角外證明（1）折痕在圓周角的一邊上∵OA=OC，∴∠A=∠C．又∠BOC=∠A+∠C∴∠BOC=2∠A證明（2）折痕在圓周角內圓心O在∠BAC的內部，作直徑AD，利用（1）的結果，有證明（3）折痕在圓周角外圓心O在∠BAC的外部，作直徑AD，利用（1）的結果，有圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．

什么是圓周角？怎么證明圓周角定理？圓周角練習如圖，點A、B、C、D在同一個圓上，四邊形ABCD的對角線把4個內角分成8個角，這些角中哪些是相等的角？∠1=∠4∠5=∠8∠2=∠7∠3=∠6方法點拔：由同弧來找相等的圓周角練習求圓中角α的度數．35°120°練習如圖，OA、OB、OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC，∠ACB與∠BAC的大小有什么關系？為什么？答案：∠ACB=2∠BAC．練習如圖，AB是⊙O的直徑，∠AOD是圓心角，∠BCD是圓周角，若∠BCD=25°，則∠AOD=

_______．130°練習如圖，AB是⊙O的直徑，∠A=30°，則∠BOD=_____．60°練習在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°，求∠A．提示：連接AC

答案：50°思考題如圖，在⊙O中，AB為直徑，

，弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E．求證：BE=EC．提示：連接BC等弧對等角基于圓周角定理，我們很容易得到如下推理：同弧或等弧所對的圓周角相等

等弧對等角的具體含義是什么？等弧對等角練習如圖，點A、B、C、D在⊙O上，若∠C=60°，則∠D=____，∠O=____．60°120°練習如圖，等邊△ABC的頂點都在⊙O上，點D是⊙O上一點，∠BDC=____．60°直徑對直角如果圓周角定理中的圓弧變成了半圓，就會有如下推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角反過來，也成立90°的圓周角所對的弦是直徑直徑對直角的具體含義是什么？怎么證明？直徑對直角例題如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求BC，AD，BD的長．解：連接OD，AD，BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，BC=

=8（cm）例題如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求BC，AD，BD的長．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD．∴AD=BD．在Rt△ABD中，例題求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．已知：△ABC中，CO為AB邊上的中線，且

，求證：△ABC為直角三角形.

證明：以AB為直徑作⊙O，∵AO=BO，∴AO=BO=CO.∴點C在⊙O上.又∵AB為直徑,∴∠ACB=

×180°=90°.∴△ABC為直角三角形.練習如圖，已知△ABC內接于圓O，AB=AC，∠A=36°，CD是圓O的直徑，求∠ACD的度數．答案：18°．總結：看到直徑就要想到直角．知識回顧圓周角定理及其推論是什么？半圓（或直徑）所對的圓周角是直角90°的圓周角所對的弦是直徑.

同弧或等弧所對的圓周角相等

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．知識回顧判斷正誤：1．同弧或等弧所對的圓周角相等（）2．相等的圓周角所對的弧相等（）3．90°圓周角所對的弦是直徑（）4．直徑所對的角等于90°（）

圓內接多邊形若一個多邊形各頂點都在同一個圓上，那么，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓．圓內接多邊形多邊形的外接圓圓內接四邊形如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形；⊙O為四邊形ABCD的外接圓．圓內接四邊形的四個角之間有什么關系？對角互補圓內四邊形對角互補猜想：圓內四邊形對角互補證明：∴∠A＋∠C＝180°同理∠B＋∠D＝180°圓的內接四邊形的對角互補

什么是圓內接多邊形？怎么證明圓內接四邊形對角互補？圓內接四邊形如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，則∠A+∠C=______，∠B+∠ADC=_______；若∠B=80°，則∠ADC=____．練習180°180°100°練習四邊形ABCD內接于⊙O，∠AOC=100°，則∠B=______，∠D=______.

50°130°練習四邊形ABCD內接于⊙O，∠A:∠C=1:3，則∠A=_____．45°練習若ABCD為圓內接四邊形，則下列哪個選項可能成立（

）A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶4∶3C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1B練習如圖，等邊三角形ABC內接于⊙O，P是 上的一點，則∠APB=________．120°練習如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，如果∠BOD=130°，則∠BCD的度數是______．115°練習如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，已知∠BOD＝100°，求∠BAD及∠BCD的度數．答案：50°，130°練習如圖，已知四邊形ABCD內接于圓O，點O在∠D內部，∠OAD+

∠OCD=50°，則∠B?=______??．130°提示：連接AO練習如下圖左，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是直徑，∠ABD=30°，則∠BCD的度數為多少？答案：120°練習如圖，圓內接四邊形ABCD的兩組對邊的延長線分別相交于E、F，若∠A=55°，∠E=30°，則∠F=______．40°練習梯形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，∠B=75°，則∠C=_____．75°圓的內接梯形一定是______梯形．等腰練習已知：如圖，四邊形ABCD是圓的內接四邊形并且ABCD是平行四邊形．求證：四邊形ABCD是矩形．提示：證明∠A=∠B即可．練習1.判斷下列圖形中的角是不是圓周角，并說明理由：練習2.如圖，圓內接四邊形ABCD的對角線AC，BD把它的4個內角分成8個角，這些角中哪些相等？為什么?練習3.如圖，OA,OB,OC,都是

O的半徑，∠AOB=2∠BOC.求證：∠ACB=2∠BAC.練習4.如圖，你能用三角尺確定一張圓形紙片的圓心嗎？有幾種方法？與同學交流一下.練習5.如圖，四邊形ABCD內接于

O，E為CD延長線一點.若∠B=110°，∠ADE的度數.思考題已知：△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓上的點（不與A，C重合），延長BD到E．求證：AD的延長線平分∠CDE．提示：圓內接四邊形的外角等于內對角；同弧所對圓周角相等．思考題如圖⊙O

與⊙O

都經過A、B兩點，經過點A的直線CD與⊙O

交于點C，與⊙O

交于點D．經過點B的直線EF與⊙O

交于點E，與⊙O

交于點F．求證：