【中考命題猜想5】最值和范圍問題

【命題趨勢】

最值問題，在中考里，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺有困難的地方，也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最

重要的地方。在各地中考種都以中高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。

【滿分技巧】

1）在代數(shù)部分最值問題，多出現(xiàn)在函數(shù)部分，無論是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，都需要先求自變量的取值范圍，再

求函數(shù)解析式，根據(jù)實(shí)際問題，求得最值。有關(guān)內(nèi)容在前面的一次函數(shù)、二次函數(shù)中都有諸多體現(xiàn)。近幾年，利用

配方法求最值來解決一些實(shí)際問題，也常常見到。

二次四嶼三09公式法

央謨法

—五二次方厘判15g式法

—元二次方咫se方法

利用一次西HfiMSWE住.g定

2）在幾何最值問題，幾何背景下的最值是考生感覺較難的，往往沒有思路。常見的有：（1）幾何圖形中在特殊位置

下的最值；（2）比較難的線段的最值問題，其依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還

有：利用軸對稱變換、旋轉(zhuǎn)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊''等；③借助于

圓的知識；④二次函數(shù)的最值法解決。

3）幾何最值問題中的基本模型舉例

【問題1]作法圖形原理

gA

兩點(diǎn)之間線段最短.

------------1連AB,與/交點(diǎn)即為P.

?RPA+PB最4W9AB.

在直線/上求一點(diǎn)p＞使B

PA+PB值最小.

【問題2]“將軍飲馬”作法圖形原理

A.A

?B作8關(guān)于1的對稱點(diǎn)B,連A兩點(diǎn)之間線段最短.

------------1

B',與I交點(diǎn)即為P.PA+PB最小值為AB'.

在直線/上求一點(diǎn)P,使斗

A，

PA+PB值最小.

【問題3】作法圖形原理

分別作點(diǎn)P關(guān)于兩直線的兩點(diǎn)之間線段最

乙對稱點(diǎn)尸,和尸建P與兩直線短.PM+MN+PN的最

交點(diǎn)即為M,N.小值為線段P'P''的

在直線1\、1上分別求點(diǎn)

2長.

M、N,使APMN的周長最

小.

【問題4】作法圖形原理

Z1

分別作點(diǎn)Q、P關(guān)于直線

兩點(diǎn)之間線段最短.四

「、4的對稱點(diǎn)。'和尸'夫

/Z----------,-------------，-------h邊形PQMN周長的最小值

QP,與兩直線交點(diǎn)即為M,丸

為線段即‘雌

在直線八、12上分別求點(diǎn)N.N

M、N,使四邊形PQMN的P，

周長最小.

【問題5]“造橋選址”作法圖形原理

仆

將點(diǎn)A向下平移MN的長

兩點(diǎn)之間線段最

M度單位得A,連A3無于點(diǎn)

____________1_:短.AM+MN+BN的最

N,班作NM_Lm于M.

N小值為AB+MM

?R

直線加//n,在相、n,

180

上分別求點(diǎn)M、N,使MW

1m,SAM+MN+BN的值

最小.

【問題6]作法圖形原理

A?AAr

將點(diǎn)A向右平移a個長度

單位得A',作4'關(guān)于/的兩點(diǎn)之間線段最

MaN

對稱點(diǎn)A避，交直線/于短.AM+MN+BN的最

在直線/上求兩點(diǎn)MMM點(diǎn)N,將V點(diǎn)向左核。個單小值為AE+MM

在左)，使MNa,并使位得M.

AM+MN+NB的值最小.

【問題7)作法圖形原理

/..h

p;

作點(diǎn)P關(guān)于。的對稱乂「點(diǎn)到直線，垂線段最

點(diǎn)P'，作眩1，2于慶交辦2短.PA+AB的最小值為線

h

于A.

3-----------/段出的長.

在。上求點(diǎn)A,在％上求點(diǎn)A2

B,使%+AB值最小.

【問題8】作法圖形原理

之

B'

/\,

作點(diǎn)A關(guān)于，2的對稱

兩點(diǎn)之間線段最

MR點(diǎn)A',作點(diǎn)8關(guān)于人的

短.AM+MN+NB的最小

A為。上一定點(diǎn)B為4上對稱點(diǎn)8',連A夕交6于

值為線段B1的長.

M,交/]于h4'

一定點(diǎn)，在％上求點(diǎn)M,N.

*

在。上求點(diǎn)N,使

AM+MN+NB的值最小.

【問題9)作法圖形原理

4.垂直平分上的點(diǎn)到線段兩

.B

------------1連4B,作AB的中垂線與端點(diǎn)的距離相等.

直線/的交點(diǎn)即為P.

泮|R4pq=0.

在直線/上求一點(diǎn)P,使

|fi4尸’的值最小.

【問題10]作法圖形原理

三角形任意兩邊之差小于

勺作直線AB,與直線/的交

A

?B點(diǎn)即為P.第三邊.|由P^<AB.

---------------------1

----------------―1

181

在直線/上求一點(diǎn)P,使

PAPB的最大值=48.

PAPB的值最大.

【問題111作法圖形原理

A三角形任意兩邊之差小于

作5關(guān)于/的對稱點(diǎn)"作直

第三邊.PAPB<AB'.

?R線AB',與/交點(diǎn)即為P.

R

PAPB最大值=AB'.

在直線/上求一點(diǎn)P,使

PAPB的值最大.

【問題12]“費(fèi)馬點(diǎn)”作法圖形原理

A所求點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”，即滿

/X

足NAPB=NBPC=N

::...............A

APC=120。.以AB、AC

兩點(diǎn)之間線段最短.

為邊向外作等邊A/IB。、

BaC’PA+PB+PC最小值=

△ACE,連CD、BE相交于

△ABC中每一內(nèi)角都小CD.

于120°,在AA8C內(nèi)求一P,點(diǎn)P即為所求.

點(diǎn)P,使PA+PB+PC值最

小.

1.單一線段的最值問題:

類型一：動點(diǎn)軌跡--直線型

考法指導(dǎo)

J點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí)，利用“垂線段最短”求最值。

(1)當(dāng)動點(diǎn)軌跡確定時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值

(2)當(dāng)動點(diǎn)軌跡不易確定是直線時(shí)，可通過以下三種方法進(jìn)行確定

①觀察動點(diǎn)運(yùn)動到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等位置時(shí)是否存在動點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接

后的角度不變，若存在該動點(diǎn)的軌跡為直線。

②當(dāng)某動點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動點(diǎn)的軌跡為直線。

③當(dāng)一個點(diǎn)的坐標(biāo)以某個字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線。

類型二：動點(diǎn)軌跡-圓或圓弧型

考法指導(dǎo)

動點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離

與半徑之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。

確定動點(diǎn)軌跡為圓或者圓弧型的方法：

(1)動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不變，則點(diǎn)的軌跡是圓或者圓弧。

(2)當(dāng)某條邊與該邊所對的角是定值時(shí)，該角的頂點(diǎn)的軌跡是圓，具體運(yùn)用如下；

1

①見直角，找斜邊，想直徑，定外心，現(xiàn)圓形

②見定角，找對邊，想周角，轉(zhuǎn)心角，現(xiàn)圓形

類型三：動點(diǎn)軌跡-不確定型

考法指導(dǎo)

防點(diǎn)軌跡非圓或直線時(shí)，基本上將此線段轉(zhuǎn)化為一個三角形中，

（1）利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求最值。

（2）在轉(zhuǎn)化較難進(jìn)行時(shí)，可借助直角三角形斜邊上的中線及中位線或構(gòu)建全等圖形進(jìn)一

步轉(zhuǎn)化求最值。

2.多線段的最值問題：

南莊——動

雙維限皿CS___=干晅g=

用—0例空

PA-F>ASyI---------------------------

------------------------1一期MfSJS大

三方聲本W(wǎng)百0一

3.三角形面積有關(guān)的最值問題：

關(guān)鍵是確定動點(diǎn)到定直線的最小距離，有函數(shù)法、也有幾何法；

4.四邊形面積有關(guān)的最值問題：

特殊四邊形用公式，普通四邊形轉(zhuǎn)化成三角形球面積（鉛垂法）；結(jié)合二

次函數(shù);

5.函數(shù)法求最值問題:

二次西怨?鼻值公式法

夾源法

—元二次方程判J5.式法

國數(shù)一先二次方程酉己方法

iSX.回&西敝法

利用一次由經(jīng)埴血性,確至最值

一、胡不歸問題：問題特點(diǎn)

已知定點(diǎn)A、B,要求找一點(diǎn)P,使aPA+PB的值最小（〃>0且存1）。點(diǎn)P在定直線（或射線、線段））

上運(yùn)動時(shí)，一般為胡不歸問題；點(diǎn)P在定圓（或圓弧）上運(yùn)動時(shí)，一般為阿氏圓問題。

2

處理方法

核心：構(gòu)造出新的線段，使其和PA共用端點(diǎn)P且等于aPA,胡不歸問題從而變成點(diǎn)到直線最短距離問題,

阿氏圓問題就變成了兩點(diǎn)之間最短距離問題。

胡不歸問題(點(diǎn)P在定直線上運(yùn)動)

構(gòu)造方法：向直線PA外側(cè)(假定定點(diǎn)B所在的一側(cè)為內(nèi)側(cè))，以A為頂點(diǎn)、PA為邊，作角a,使sina=a,

再過P作角a的另一邊的垂線段，即為所求。

1、構(gòu)造特殊角直角三角形，當(dāng)系數(shù)。=去坐或坐時(shí)，相應(yīng)的就作a=30。、45。或60。。

2、若系數(shù)不為上述特殊值，則構(gòu)造sina=a的一般直角三角形，可利用相似。

注意：

一般地，系數(shù)a滿足0＜。＜1時(shí)直接構(gòu)造；系數(shù)。＞1時(shí)需要先提取系數(shù)，如PA+2PB=2(|PA+PB),

3

3PA+4PB=4QPA+PB)。

例1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=；x+2與x軸交于點(diǎn)4與夕軸交于點(diǎn)C.拋物線y=ar2+bx

3

+c的對稱軸是x=一,且經(jīng)過/、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)以

⑴求二次函數(shù)卜=加+加+。的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸為線段上的動點(diǎn)，求/P+2尸C的最小值；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)過點(diǎn)/作垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)4M,N為頂點(diǎn)的三角形與△NBC相

似？若存在，求出點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴拋物線表達(dá)式為：y=-；*2_1x+2；

(2)AP+2PC的最小值是2＞/3+4；

⑶存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18),使得以點(diǎn)/、M.N為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似.

【解析】

【分析】

(1)先求的直線y=；x+2與x軸，y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用拋物線的對稱性可求得點(diǎn)2的坐標(biāo)；設(shè)拋物

線的解析式為y=a(x+4)(x-l),然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求得。的值，從而得拋物線的表達(dá)式;

3

(2)如圖1,作NQ4E=30。，交v軸于E,過點(diǎn)尸作他于"，當(dāng)C,P,，三點(diǎn)共線時(shí)，AP+2PC

的值最小，根據(jù)直角三角形含30度角的性質(zhì)可得C4的長，從而可得結(jié)論；

(3)首先可證明A/18C是直角三角形，且有4C=25C,然后分三種情況討論即可：①當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合，

即也(0,2)時(shí)，AMANSABAC；②根據(jù)拋物線的對稱性，當(dāng)M(-3,2)時(shí)，^MAN^^ABC,③當(dāng)點(diǎn)

例在第四象限時(shí)，解題時(shí)，需要注意相似三角形的對應(yīng)關(guān)系.

(1)

y=—x+2rf.當(dāng)x=0時(shí)，y=2,當(dāng)尸。時(shí)，x=-4,

：.C(0,2),A(-4,0),

3

由拋物線的對稱性可知：點(diǎn)/與點(diǎn)8關(guān)于x=-三對稱,

2

...點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,0).

?拋物線產(chǎn)“F+bx+c過力(-4,0),5(I,0),

可設(shè)拋物線表達(dá)式為尸。(x+4)(x-1),

又?拋物線過點(diǎn)C(0,2),

2=-4a,

Cl=—，

2

,拋物線表達(dá)式為：y=~x2-x+2

⑵

如圖1,作/OZE=30。,

:.PH=-AP,

2

VAP+2PC=2(^AP+PC=2(PH+PC),

???當(dāng)C,P,H三點(diǎn)共線時(shí)，45+2。。的值最小,

4

ZAPH=ZOPC,ZCOP=ZAHP=90°,

：.ZOCP=ZOAE=30°,

RMOE中,J0=4,

0日=半=逑

G3

RSCHE中,EH=gcE=；2+

:.CH=-JiEH=y/3+2

.\AP+2PC的最小值是2CH=2(73+2)=+4;

(3)

'：A(-4,0),8(I,0),C(0,2),

：.AC=y/^+42=2^,BC=^l2+22=>/5,AB=4+l=5,

：.AC-+BC-=AB2,

：.ZACB=90°,AC=2BC,

點(diǎn)4M,'為頂點(diǎn)的三角形與△Z8C相似存在以下3種情況:

①如圖2,當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合,

②如圖3,根據(jù)拋物線的對稱性，當(dāng)MG3,2）時(shí)，4MANs^ABC；

5

③如圖4,

13

,\MN=-n92+-n-ZAN=n+4.

22

當(dāng)空=2時(shí)，AN=2MN,即1〃2+3〃-2=2(〃+4),

MN22

整理得：/+2〃-8=0,

解得：〃/=?4（舍），山=2,

:,M(2,-3)；

1、3

當(dāng)義工二'時(shí)，MN=2AN,即—/+一九一2=2(〃+4),

MN222

整理得：序-〃-20=0,

解得：〃尸-4（舍），肛=5,

：.M(5,-18).

綜上所述：存在“（0,2）或（-3,2）或（2,-3）或（5,.18）,使得以點(diǎn)力、M.N為頂點(diǎn)的三角形與MBC

相似.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是二次函數(shù)與相似三角形的綜合應(yīng)用，還考查了軸對稱-最短路徑問題，難度較大，解答本

題需要同學(xué)們熟練掌握二次函數(shù)和相似三角形的相關(guān)性質(zhì).

6

例2.如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個頂點(diǎn)，將三角形分成兩個三角形，其中一個三角形與原三角形相

似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線如圖1,在MBC中，AB=AC=1,ZBAC=108°,OE垂直平分

AB,且交8。于點(diǎn)D,連接/D

(1)證明直線力。是A/3C的自相似分割線；

(2)如圖2,點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，現(xiàn)+PC的值最小？求此時(shí)為+PC的長度.

(3)如圖3,射線CF平分44c8,點(diǎn)。為射線CF上一點(diǎn)，當(dāng)4。+或二1。。取最小值時(shí)，求/QIC的正弦

4

值.

【答案】(I)直線是△/8C的自相似分割線；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到。點(diǎn)時(shí)，以+PC的值最小，此時(shí)PA+PC=@T1；

2

(3)NQ(C的正弦值為國1

4

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)定義證明即可得證；

(2)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得/%+PC=P8+PCN3C,當(dāng)點(diǎn)P與。重合時(shí)，PA+PC=PB+PC=BC,

此時(shí)24+PC最小，設(shè)B￡>=x,則8C=x+l

根據(jù)SBASAABC,列出方程，解方程求解即可求得80,進(jìn)而即可求得8c的長，即PA+PC最小值；

(3)過點(diǎn)A作AHLBC丁點(diǎn)”，過點(diǎn)。作QG_LBC丁點(diǎn)G,連接AG,設(shè)CF與AD交丁點(diǎn)M,根據(jù)已

知條件求得GQ=避二!<。，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為AQ+或二!■CQ=AQ+GQ,則當(dāng)Q點(diǎn)落在AG上時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)H

44

重合，此時(shí)AQ+叵1CQ的值最小，最小值為A”,進(jìn)而根據(jù)sin/QAC=sin/HAC=要求解即可.

4AC

(1)

,.?△/8C中，4B=AC=1,ZBAC=108°

7

.-.ZB=ZC=y(I8O°-ZBJC)=36°

TOE垂直平分48

：.AD=BD

：.ZB=ZBAD=36°

：.AC=ABAD

又。:/B=/B

：.△DBAs^ABC

???直線AD^ABC的自相似分割線.

(2)

如圖，連接尸3,40，

?.?DE垂直平分力8,

:.PA=PB

PA+PC=PB+PC>BC

當(dāng)點(diǎn)夕與。重合時(shí)，24+尸。=朋+「。=8。,此時(shí)抬+。。最小,

?/ZADC=ZB+ZBAD=72°,ZDAC=ZBAC-ABAD=72°

.\ZADC=ZDAC

.\CD=CA=l

設(shè)5￡>=x,則3C=x+l

GBA^4ABe

.BDAB

'AB~BC

x1

二.一=---

1x+1

/.X2+X-1=0

8

解得：x=—二---

2

vx>0

?X-—1+A/^

..人一________________

2

BC=x+l=^^-

2

PA+PC=^^-

2

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到。點(diǎn)時(shí)，以+產(chǎn)。的值最小，此時(shí)PA+PC=SW；

2

(3)

如圖，過點(diǎn)A作AH,8c于點(diǎn)“，過點(diǎn)。作。G_L8C于點(diǎn)G,連接AG,設(shè)C尸與AO交于點(diǎn)M，

?/AB=AC,

:.CH=-BC=^^-

24

山（2）知，DC=AC=1

???CF平分ZAC8

：.CMA.AD

DM=AM=-AD=^-^-

24

..sin/MCI）=也=也=叵11

CQCD4

AQ+^^-CQ=AQ+GQ>AG

4

?：AG>AH

??.Q點(diǎn)落在AG上時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)H重合，

即此時(shí)AQ+^nCQ的值最小，最小值為A”

9

/.ZQAC=ZHAC

-AB=AC,AH±BC

.rw_l?r_V5+l

24

sinZQAC=sinZHAC=—=

AC4

???/0/C的正弦值為與1

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正弦，垂直平分線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，垂線段最短，

胡不歸問題，轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵.

二、阿氏圓問題：問題特點(diǎn)

已知定點(diǎn)A、B,要求找一點(diǎn)P,使aPA+PB的值最小（a>0且存1）。點(diǎn)P在定直線（或射線、線段））

上運(yùn)動時(shí)，一般為胡不歸問題；點(diǎn)P在定圓（或圓弧）上運(yùn)動時(shí)，一般為阿氏圓問題。

處理方法

核心：構(gòu)造出新的線段，使其和PA共用端點(diǎn)P且等于aPA,胡不歸問題從而變成點(diǎn)到直線最短距離問題,

阿氏圓問題就變成了兩點(diǎn)之間最短距離問題。“

二、阿氏圓問題（點(diǎn)P在定圓上運(yùn)動）/

構(gòu)造方法：一般構(gòu)造“子母”型相似三角形，借助相似比轉(zhuǎn)化aPA。Z_^

基本步驟：，戰(zhàn)二I

①確定動點(diǎn)軌跡圓及其圓心；

②將帶系數(shù)的線段的兩個端點(diǎn)（一定點(diǎn)、一動點(diǎn)）和圓心相連；

③以連接的這兩條線段為框架構(gòu)造“子母”型相似（該“子母”型相似以圓心為公共頂點(diǎn)），構(gòu)造的新定點(diǎn)必在定線段上，這里

在構(gòu)造相似前要做一個簡單的判斷，要看相似比（半徑和定線段之比）是否等于系數(shù)，不行則要提取系數(shù)進(jìn)行調(diào)整；

④根據(jù)構(gòu)造的新線段轉(zhuǎn)化帶系數(shù)的線段。

注意：

一般來說，阿氏圓問題對。的取值范圍沒有特殊要求（。#1），但在某些時(shí)候（相似比也就是半徑和定線段之比，不等于

系數(shù)），也需要提取系數(shù)；

一般來說，則構(gòu)造的新定點(diǎn)在定線段上；?>1,則構(gòu)造的新定點(diǎn)在定線段延長線上。

例3.如圖1，在RTUBC中,ZACB=9O°,CB=4,CA=6,圓C的半徑為2,點(diǎn)P為圓上一動點(diǎn)，連

接4P,BP,求：

圖1

10

@AP+-BP,

2

@2AP+BP,

③gAP+BP,

④AP+3BP的最小值.

【答案】①后；②2百；③^~；④2用.

【解析】

【分析】

①在CB上取點(diǎn)使CO=1,連接CP、DP、AD.根據(jù)作圖結(jié)合題意易證"DCP~#CB,即可得出PD=；BP,

從而推出AP+g8P=AP+PD,說明當(dāng)/、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，”+PD最小，最小值即為AD長.最后在

放△AC。中，利用勾股定理求出/。的長即可；

②由2AP+BP=2(AP+；BP),即可求出結(jié)果；

21

③在。匕取點(diǎn)區(qū)使CE=§,連接CRER3及根據(jù)作圖結(jié)合題意易證AECP?△PC4,即可得他族=耳4\

從而推出:AP+BP=EP+BP,說明當(dāng)8、尸、E三點(diǎn)共線時(shí)，EP+3P最小，最小值即為BE長.最后在放VBCE

中，利用勾股定理求出8E的長即可；

④由AP+38P=3(gAP+8P),即可求出結(jié)果.

【詳解】

解：①如圖，在C8上取點(diǎn)。，使C￡>=1,連接CP、DP、AD.

'：CD=1,CP=2,CB=4,

.CDCP\

又?:NDCP=NPCB,

11

:.ADCP”PCB,

：.AP+-BP=AP+PD,

2

.?.當(dāng)N、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，”+PD最小,最小值即為AO長.

?.?在WAACO中，AD=jAC2+C￡>2=后+12=歷.

二AP+：BP的最小值為屈■:

②,:2AP+BP=2(AP+；BP),

/.2AP+8P的最小值為2、用=2后；

2

③如圖，在。上取點(diǎn)￡使CE=§,連接CP、EP、BE.

VCE=-CP=2,C4=6,

3f

.CECP

"CP-C4-3,

又,：4ECP=/PCA,

:,AECP“PCA,

.EP1

>.———即EP=：AP,

AP3

：.-AP+BP^EP+BP,

3

二肖8、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，EP+BP最小，最小值即為BE長.

BE=y/BC2+CE2=J?+(|尸=.

?.?在RfVBCE中

LAP+BP的最小值為雪：

12

@VAP+3BP^3(-AP+BP),

：.AP+33P的最小值為3x雙豆=2歷.

3

【點(diǎn)

本題考查圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.正確的作出輔助線，并且理解三點(diǎn)共線時(shí)

線段最短是解答本題的關(guān)鍵.

例4如圖，Rf"BC,NACB=90。,AC=BC=2,以C為頂點(diǎn)的正方形CAE尸(C、。、E、尸四個頂點(diǎn)

按逆時(shí)針方向排列)可以繞點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動，且8=0,連接NRBD

(1)求證：4BDC與4AFC

(2)當(dāng)正方形CDEE有頂點(diǎn)在線段上時(shí)，直接寫出巫工。的值；

2

(3)直接寫出正方形C0E尸旋轉(zhuǎn)過程中，8D+也/。的最小值.

2

【答案】⑴見解析；⑵0+1或亞+石:(3)75

【解析】

【分析】

(1)利用&4S,即可證明△人^^△008；

(2)分兩種情況當(dāng)點(diǎn)力，E在邊上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E,尸在邊上時(shí)，討論即可求解；

(3)取/C的中點(diǎn)連接。M,BM.I|I|JCM=1,可證得△OCA/s/v/c。，可得①/￡),從而得到

2

當(dāng)8,。，M共線時(shí)，80+也4。的值最小，即可求解.

2

【詳解】

(1)證明：I?四邊形CDEF是正方形,

:.CF=CD,NDCF=NACB=90：

：.ZACF=ZDCB,

13

?:AC=CB,

.?.△FCA妾/\DCB(SAS)；

(2)解：①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)。，E在46邊上時(shí),

■:AC=BC=2,ZACB=90o,

：.AB=AC=272,

sin45°

9：CDLAB,

：.AD=BD==ACxsin45°=近，

??.8。+走4。==正+也x及=正+

22

②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)￡,尸在邊48上時(shí).

dBD?+AB?=V10，

;.BD+—AD=/2+—xslw=/2+y/5,

22yy

綜上所述，30+立力。的值0+1或&+6;

2

14

(3)如圖4中.取/C的中點(diǎn)例.連接。M,BM.)\\\\CM=\,

圖4

'：CD=^2,CM=\,CA=2,

：.CD2=CM*CA,

.CDCM

"~CA^~CD'

?：ZDCM=ZACD,

：.XDCMs叢ACD,

.DM_CD_y/2

-7c-V

/y

：.DM^—AD,

2

BD+—AD=BD+DM,

2

.?.當(dāng)5,D,M共線時(shí)，以開變月。的值最小，

2

最小值BM=yjc^+CM2=V5-

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟

練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

三、瓜豆原理：

15

瓜豆原理：若兩動點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點(diǎn)的運(yùn)動路

徑相同。瓜豆原理是主從聯(lián)動軌跡問題。主動點(diǎn)叫做瓜，從動點(diǎn)叫做豆，瓜在直

線上運(yùn)動，豆的運(yùn)動軌跡也是直線。瓜在圓周上運(yùn)動，豆的運(yùn)動軌跡也是圓。關(guān)

鍵是作出從動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，根據(jù)主動點(diǎn)的特殊位置點(diǎn)，作出從動點(diǎn)的特殊點(diǎn)，

從而連成軌跡。

其實(shí)初中階段如遇求軌跡長度僅有2種類型：“直線型''和“圓弧型'’（兩種類型中還會涉及點(diǎn)往返

探究“往返型”），對于兩大類型該如何斷定，通常老師會讓學(xué)生畫圖尋找3處以上的點(diǎn)來確定軌跡

類型進(jìn)而求出答案，對于填空選擇題而言不外乎是個好方法，但如果要進(jìn)行說理很多考生難以解

釋清楚。

瓜豆原理：一個主動點(diǎn)，一個從動點(diǎn)（根據(jù)某種約束條件，跟著主動點(diǎn)動），當(dāng)主動點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，從動

點(diǎn)的軌跡相同.

只要滿足：

1.兩“動”，一“定”；

2.兩動點(diǎn)與定點(diǎn)的連線夾角是定角_______N!則兩動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是相似的，運(yùn)動軌跡

3.兩動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比值是定值。/!長度的比和它們到定點(diǎn)的距離比相同。

、一

【類型一】點(diǎn)在直線上運(yùn)動：線段+直線

模型：如圖，P是直線8c上一動點(diǎn)，連接/尸，取ZP中點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)尸在8c上運(yùn)動時(shí)，0點(diǎn)軌跡是什么？

【結(jié)論】當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，。點(diǎn)軌跡也是一條直線。

【分析】可以這樣理解：分別過“、。向8c作垂線，垂足分別為A/、N,在運(yùn)動過程中，因?yàn)?/p>

所以。N始終為Z"的一半，即。點(diǎn)到8c的距離是定值，故0點(diǎn)軌跡是一條直線。

16

A

【類型二】點(diǎn)在直線上運(yùn)動：角+直線

模型：如圖，△/尸0是等腰直角三角形，NPAQ=90。且4P=4Q,當(dāng)點(diǎn)P在直線8C上運(yùn)動時(shí)，。點(diǎn)軌跡

是什么？

【結(jié)論】當(dāng)“尸與4。夾角固定且4PMQ為定值的話，尸、。軌跡是同一種圖形。

【分析】當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個時(shí)刻的。點(diǎn)的位置，連線即可，比如。點(diǎn)的起始位置和

終點(diǎn)位置，連接即得0點(diǎn)軌跡線段。

【模型總結(jié)】

必要條件：

主動點(diǎn)、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定值（/刈0是定值）；

主動點(diǎn)、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定值（4P:4Q是定值）。

【結(jié)論】

P、。兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于/孫。（當(dāng)/孫匿90。時(shí)，等于與8C夾角）

BPC

17

P、。兩點(diǎn)軌跡長度之比等于4P:4Q(由△ABCsAAMN,可得4P:4Q=BC:MN)

例5.在平面直角坐標(biāo)系中，A(a,0)、B(b,0),且a,b滿足/-60+9+區(qū)+3|=0,C、。兩點(diǎn)分別是

y軸正半軸、x軸負(fù)半軸上的兩個動點(diǎn);

圖1圖2

(1)如圖1,若C(0,4),求△/8C的面積；

(2)如圖1,若C(0,4),BC=5,BD=AE,且NCB4=NCDE,求。點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)如圖2,若48/=60。，以CD為邊，在CD的右側(cè)作等邊連接OE,當(dāng)OE最短時(shí)，求4E

兩點(diǎn)之間的距離.

3

【答案】(1)△Z8C的面積為12；(2)。點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0)；(3)A,￡兩點(diǎn)之間的距離為Q

【解析】

【分析】

(1)利用完全平方式和絕對值的性質(zhì)求出“，b,然后確定/、8兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用三角形面積公式求解

即可；

(2)根據(jù)題意判斷出△C8。絲△D4￡,從而得到C8=4),然后利用勾股定理求出CB,及可求出結(jié)論；

(3)首先根據(jù)“雙等邊”模型推出AOCBgAECA,得到NDBC=NE4C=120。，進(jìn)一步推出AE〃BC,從而

確定隨著。點(diǎn)的運(yùn)動，點(diǎn)E在過點(diǎn)/且平行于8c的直線產(chǎn)。上運(yùn)動，再根據(jù)點(diǎn)到直線的最短距離為垂線段

的長度，確定OE最短時(shí)，各點(diǎn)的位置關(guān)系，最后根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

18

解：(1)Va2-6a+<)+\h+3\=0,

：.(?-3)2+|fe+3|=0,

[a—3=0a=3

由非負(fù)性可知,"3=。'解得:

b=-3

：.A(3,0),B(-3,0),Afi=3-(-3)=6,

vC(0,4),

：.OC=4,

Z.SA“」A8."=L6X4=12；

AAOC22

(2)由⑴知4(3,0),8(—3,0),

:.OA=OB,

,:OC.LAB,

：.ZAOC=ZBOC=90。,

在△AOC和△5003

OA=OB

<ZAOC=ZBOC

oc=oc

：./\AOC^/\BOC(SAS),

??.ZCBO=ZCAO,

,:ZCDA=ZCDE+ZADE=/BCD+/CBA,ZCBA=NCDE,

???ZADE=ZBCD,

在△5CQ和&WE中，

/BCD=/ADE

<ZCBD=ZDAE

BD=AE

：.ABCD^ADE(AAS),

:.CB=ADt

VB(-3,0),C(0,4),

19

：.0B=3,OC=4,

：?