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文檔簡介

電子科技大學§3.3

隨機過程的均方極限與均方連續

本節將二階矩隨機變量空間中的均方極限概念引入二階矩隨機過程中,并引進均方連續的概念.電子科技大學一、二階矩過程的均方極限

定義3.3.2

設{X(t),t∈T}是二階矩過程,X∈H,

如果稱X(t)均方收斂于X,記為

注電子科技大學

隨機過程有類似隨機變量序列的均方收斂意義下的性質.定理3.3.1(洛易夫均方收斂準則)X(t)在t0

處收斂的充分必要條件是極限存在.二重極限電子科技大學二、二階矩過程的均方連續

定義3.3.3

稱二階矩過程{X(t),t∈T}在t0∈T處均方連續,如果

若X(t)對都均方連續,稱隨機過程{X(t),t∈T}

是均方連續的.電子科技大學

定理3.3.2

(均方連續準則)

二階矩過程{X(t),t∈T}在t0∈T處連續的充分必要條件是{X(t),t∈T}的相關函數R(s,t)在(t0,t0)處連續.證

由均方收斂準則知

定理3.2.5及均方連續定義電子科技大學定理3.3.3二階矩過程的均方連續相關函數R(s,t)在對角線上連續.均方連續準則的重要性:

二階矩過程的均方連續可由其相關函數的普通意義下的連續性來確定.

推論1

二階矩過程{X(t),t∈T}的相關函數R(s,t)對

在點(t,t)處連續,則它在T×T

上連續.均方連續的重要結論：電子科技大學0TTtsR(s,t)在整個區域T×T上連續，等價于在對角線上連續.定理3.3.2{X(t),t∈T}在T上均方連續

電子科技大學定理3.2.5之1)由s0,t0

的任意性知R(s,t)在T×T上連續.

EX.2{N(t),t≥0}為參數為λ的Poisson過程,在(t,t)處連續,故{N(t),t≥0}是均方連續過程.電子科技大學N(t)Poisson過程的每一條樣本函數都是躍度為1的階梯函數均方連續過程的樣本函數可能不連續..

EX.3

設{W(t),t≥0}是參數為σ2的維納過程,其自相關函數RW(s,t)=σ2min(s,t)電子科技大學對任意t≥0在(t,t)處連續，維納過程均方連續.設隨機過程X(t)=W2(t),t≥0，其均值函數為E[X(t)]=σ2t.自相關函數為電子科技大學

推論2

若二階矩隨機過程{X(t),t∈T}均方連續，則其均值函數、方差函數也在T上連續.由定理3.2.5可

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