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文檔簡介
10-5兩個自由度體系的自由振動1剛度法1k12k22質體2單位位移
y21k11k21質體1單位位移
y1m2
y
2m1
y
1只有慣性力
m2
y
2
m1
y
1
k
21
y1
k
22
y2
0m2
y
2在慣性力和質點位移的作用下,附加約束上的反力為零。m1
y
1
k11
y1
k12
y2
0a
振動方程y2
m2
y
2
m1
y
1y1FR1(t)≡0FR2(t)≡0令y1
Y1
sin
t
b
振型方程和頻率方程振型方程兩個質體的運動具有以下特點:★兩個質體具有相同的圓頻率和相位角。★兩個質體的位移比值不變。y1
Y1
const
振型y2
Y2y2
Y2
sin
t
將位移表達式代入振動方程21
1
11
112
222
221
122
2
m
Y
sin(
t
)
k
Y
sin(
t
)
k
Y
sin(
t
)
0
m
Y
sin(
t
)
k
Y
sin(
t
)
k
Y
sin(
t
)
0
k
m
Y
k
Y
k
m
Y21111
12
2221
12222k
Y
0
0取非零振型解,則展開,得從小到達排列:ω1:第一頻率或基本頻率;ω2:第二頻率;頻率方程或特征方程kkk
mD
211
11221k
2m22
2
0kkmmm
m
k
k
k
k
2
11
11
22
22
11
22
12
2121,2
1 2
1 2
1
21
k1
k2
m
2
m將ω=ω1代入振型方程Y
k
mk122Y1121111
1第一振型Y1
Y11Y2
Y21y
Y
sin
t
11
11
1
1y21
Y21
sin
1
t
1
此時,位移為位移速度初位移初速度y10
Y11y
10
Y11y20Y21y
20Y21y11
Y11
y
11
Y11y21
Y21
y
21
Y21★若體系按第一振型振動,需要滿足初始條件。將ω=ω2代入頻率方程Y
k
mk122Y1222
11
2
1第二振型Y1
Y12Y2
Y22y12
Y12
sin
2
t
2
y22
Y22
sin
2
t
2
此時,位移為位移速度初位移初速度y12
Y12y
12
Y12y22Y22y
22Y22y10
Y12y
10
Y12y20Y22y
20Y22★若體系按第二振型振動,需要滿足初始條件。★體系按某一振型振動是由初始條件決定的。一般情況下,振動是兩種振型的組合
YYYYsin
sin
yt
At
At
y
t
12111121
122
21
22
2例題試求圖示體系的頻率和振型k11
k1
k2解(1)求剛度系數k21
k12
k2k22
k2m2EI1=∞m1EI1=∞k1k21k21k111k12k22(2)求頻率m1
m2
m,
k1
k2
k若則
21,2
3
5
k
22
mkm1
0.618即km2
1.618kkmmm
m
k
k
k
k
2
11
11
22
22
11
22
12
2121,2
1 2
1 2
1
21
k1
k2
m
2
m
k
mY11
k12Y221
111
111.618第一振型將ω=ω2代入振型方程,得
Y12
k12Y222
11
2
11k
m
0
.618第二振型(3)求振型將ω=ω1代入振型方程,得1.61810.6181例題
試求圖示體系的頻率和振型k21k116i/l6i/l12i/l12i/l6i/l16i/l1k22k126i/l6i/l3i/l3i/lm1EI1=∞m2EI1=∞ii2i2illk
11l
248i解(1)求剛度系數k
k
2112l
212ik22l
2
15i(2)求頻率EI
,12ml
3EIml
3
2.761
7.093解得kkmmm
m
k
k
k
k
2
11
11
22
22
11
22
12
2121,2
1 2
1 2
1
21
k1
k2
m
2
m將ω=ω1代入振型方程,得
Y11
k12Y221
11
1
11k
m
3.365第一振型將ω=ω2代入振型方程,得
Y12
k12Y222
11
2
11k
m
0
.198第二振型(3)求振型3.36513.36510.19810.1981a
振動方程在慣性力的作用下,質體的位移等于實際動位移。y1y2
m2
y
2
m1
y
1
振動方程1質體1單位力
11
21
m1
y
1
1質體2單位力
22
12
m
y2
2
y1
11
(
m1
y
1
)
12
(
m2
y
2
)y2
21
(
m1
y
1
)
22
(
m2
y
2
)2柔度法令y1
Y1
sin
t
y2
Y2
sin
t
b
振型方程和頻率方程振型方程將位移表達式代入振動方程2211
1
112
2
122221
1
212
2
22YYsin(ωt
α
)
m
Y
sin(ωt
α
)
m
Y
sin(ωt
α
)sin(ωt
α
)
m
Y
sin(ωt
α
)
m
Y
sin(ωt
α
)
m
Y
11
1
112
2
2221
1
1
222
22m
1
Y
m
Y
0m
1
Y
0
m
m
mD
11
112
2
221
122
2
m
1
1
2頻率方程或
0
特征方程①零解——無振動②非零解,則展開頻率方程,得
2
(
11m1
22
m2
)
(
11
22
m1m2
12
21m1m2
)
0
2
11m1
22
m2
m
m11
111 22
12
21
m1
m21,2
4
22
22
1212
1
1
頻率為
m
Y11
12
m
2Y2111
121
1第一振型
m
Y12
12
m
2Y2211
122
1第二振型21
1
—第一自振頻率,基本頻率。
2
—第二自振頻率。將ω=ω1,ω=ω2分別代入振型方程,得例題列振動方程,求結構的自振頻率和振型.EI=常數,m1=m2=mm1m2l/3
l/3
l/312214l37l3486EI
11
22
243EI
解
(1)振動方程12l/912l/91M
圖M
2圖y1
11
(
m
y
1
)
12
(
m
y
2
)y2
21
(
m
y
1
)
22
(
m
y
2
)22
(
11m1
22
m2
)2
4(
11
22
12
21
)m1m2
11m1
22
m21、211ml
3EIml
3EI
22.045
5.692
2
2
1
1
486EI486EI15mlml
3231
(2)自振頻率(3)求振型
mY11
12
m
2Y2111
121
1
1
1
mY12
12
m
2Y2211
1221
1
11
111第一振型(正對稱)第二振型(正對稱)例題
試求結構的自振頻率和振型.1l/41l/2M1圖M
2圖l/2m1=mEI=常數
m2=2ml/2
l/232EI
11
l
8EI
l
48EI
l3
3
322
12
21解(1)求柔度系數(2)求頻率
m
m
m
mD
11
112
2
221
122
2
2
1
0
112EI
ml3EI
ml3
2.635
6.653(3)求振型
mY11
12
m
2Y2111
1211
1
0.305
mY12
12
m
2Y2211
1221
1
1.639第二振型
1
0.305第一振型
1
1.639若體系按第一振型振動,則111sin
t
y
Y
1
y
Y2
21
21
112m
Y
m
Y
m
y
1 1
11
sin
t2 2
1
2 21
m
y
3振型的正交性Y11Y21第一振型
m
Y21
1
11
m
Y21
2
21若體系按第二振型振動,則
y1
Y12
y
sin
1t
2
Y22
211
1
1212m
Y
sin
t
m
Y
1
2 2
1
2 22
m
y
m
y
第二振型Y12Y22
mY22
1
12
m
Y22
2
22功的互等定理:第一狀態的外力在第二狀態上所做的虛功=第二狀態的外力在第一狀態上所做的虛功
Y
m
Y
Y
m
Y
Y
m
Y
Y
m
Y22222
1
121
1
11
12
1
2
21
2211
2
2
2221
m
Y
Y2122
m1Y11
Y12
2
21
22
0Y11Y21第一振型
m
Y21
1
11
m
Y21
2
21第二振型Y12Y22
mY22
1
12
m
Y22
2
22m1Y11
Y12
m2Y21
Y22
0
Y
Ym
12112
Y22
m1
0
Y
021
0
2122
0因為,故寫成矩陣形式★不同頻率相應的振型對質量矩陣正交
Y
Y
Ykk12
k11121121
k
21 22
Y22
0★不同頻率相應的振型對剛度矩陣正交★利用正交性判斷各振型的形狀特點和所求振型是否正確將左乘
Y1
溫馨提示
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