10-5兩個自由度體系的自由振動1剛度法1k12k22質體2單位位移

y21k11k21質體1單位位移

y1m2

y

2m1

y

1只有慣性力

m2

y

2

m1

y

1

k

21

y1

k

22

y2

0m2

y

2在慣性力和質點位移的作用下，附加約束上的反力為零。m1

y

1

k11

y1

k12

y2

0a

振動方程y2

m2

y

2

m1

y

1y1FR1(t)≡0FR2(t)≡0令y1

Y1

sin

t

b

振型方程和頻率方程振型方程兩個質體的運動具有以下特點:★兩個質體具有相同的圓頻率和相位角。★兩個質體的位移比值不變。y1

Y1

const

振型y2

Y2y2

Y2

sin

t

將位移表達式代入振動方程21

1

11

112

222

221

122

2

m

Y

sin(

t

)

k

Y

sin(

t

)

k

Y

sin(

t

)

0

m

Y

sin(

t

)

k

Y

sin(

t

)

k

Y

sin(

t

)

0

k

m

Y

k

Y

k

m

Y21111

12

2221

12222k

Y

0

0取非零振型解,則展開,得從小到達排列:ω1:第一頻率或基本頻率;ω2:第二頻率;頻率方程或特征方程kkk

mD

211

11221k

2m22

2

0kkmmm

m

k

k

k

k

2

11

11

22

22

11

22

12

2121,2

1 2

1 2

1

21

k1

k2

m

2

m將ω=ω1代入振型方程Y

k

mk122Y1121111

1第一振型Y1

Y11Y2

Y21y

Y

sin

t

11

11

1

1y21

Y21

sin

1

t

1

此時,位移為位移速度初位移初速度y10

Y11y

10

Y11y20Y21y

20Y21y11

Y11

y

11

Y11y21

Y21

y

21

Y21★若體系按第一振型振動,需要滿足初始條件。將ω=ω2代入頻率方程Y

k

mk122Y1222

11

2

1第二振型Y1

Y12Y2

Y22y12

Y12

sin

2

t

2

y22

Y22

sin

2

t

2

此時,位移為位移速度初位移初速度y12

Y12y

12

Y12y22Y22y

22Y22y10

Y12y

10

Y12y20Y22y

20Y22★若體系按第二振型振動,需要滿足初始條件。★體系按某一振型振動是由初始條件決定的。一般情況下,振動是兩種振型的組合

YYYYsin

sin

yt

At

At

y

t

12111121

122

21

22

2例題試求圖示體系的頻率和振型k11

k1

k2解(1)求剛度系數k21

k12

k2k22

k2m2EI1=∞m1EI1=∞k1k21k21k111k12k22(2)求頻率m1

m2

m,

k1

k2

k若則

21,2

3

5

k

22

mkm1

0.618即km2

1.618kkmmm

m

k

k

k

k

2

11

11

22

22

11

22

12

2121,2

1 2

1 2

1

21

k1

k2

m

2

m

k

mY11

k12Y221

111

111.618第一振型將ω=ω2代入振型方程,得

Y12

k12Y222

11

2

11k

m

0

.618第二振型(3)求振型將ω=ω1代入振型方程,得1.61810.6181例題

試求圖示體系的頻率和振型k21k116i/l6i/l12i/l12i/l6i/l16i/l1k22k126i/l6i/l3i/l3i/lm1EI1=∞m2EI1=∞ii2i2illk

11l

248i解(1)求剛度系數k

k

2112l

212ik22l

2

15i(2)求頻率EI

,12ml

3EIml

3

2.761

7.093解得kkmmm

m

k

k

k

k

2

11

11

22

22

11

22

12

2121,2

1 2

1 2

1

21

k1

k2

m

2

m將ω=ω1代入振型方程,得

Y11

k12Y221

11

1

11k

m

3.365第一振型將ω=ω2代入振型方程,得

Y12

k12Y222

11

2

11k

m

0

.198第二振型(3)求振型3.36513.36510.19810.1981a

振動方程在慣性力的作用下，質體的位移等于實際動位移。y1y2

m2

y

2

m1

y

1

振動方程1質體1單位力

11

21

m1

y

1

1質體2單位力

22

12

m

y2

2

y1

11

(

m1

y

1

)

12

(

m2

y

2

)y2

21

(

m1

y

1

)

22

(

m2

y

2

)2柔度法令y1

Y1

sin

t

y2

Y2

sin

t

b

振型方程和頻率方程振型方程將位移表達式代入振動方程2211

1

112

2

122221

1

212

2

22YYsin(ωt

α

)

m

Y

sin(ωt

α

)

m

Y

sin(ωt

α

)sin(ωt

α

)

m

Y

sin(ωt

α

)

m

Y

sin(ωt

α

)

m

Y

11

1

112

2

2221

1

1

222

22m

1

Y

m

Y

0m

1

Y

0

m

m

mD

11

112

2

221

122

2

m

1

1

2頻率方程或

0

特征方程①零解——無振動②非零解，則展開頻率方程,得

2

(

11m1

22

m2

)

(

11

22

m1m2

12

21m1m2

)

0

2

11m1

22

m2

m

m11

111 22

12

21

m1

m21,2

4

22

22

1212

1

1

頻率為

m

Y11

12

m

2Y2111

121

1第一振型

m

Y12

12

m

2Y2211

122

1第二振型21

1

—第一自振頻率，基本頻率。

2

—第二自振頻率。將ω=ω1,ω=ω2分別代入振型方程,得例題列振動方程,求結構的自振頻率和振型.EI=常數,m1=m2=mm1m2l/3

l/3

l/312214l37l3486EI

11

22

243EI

解

(1)振動方程12l/912l/91M

圖M

2圖y1

11

(

m

y

1

)

12

(

m

y

2

)y2

21

(

m

y

1

)

22

(

m

y

2

)22

(

11m1

22

m2

)2

4(

11

22

12

21

)m1m2

11m1

22

m21、211ml

3EIml

3EI

22.045

5.692

2

2

1

1

486EI486EI15mlml

3231

(2)自振頻率(3)求振型

mY11

12

m

2Y2111

121

1

1

1

mY12

12

m

2Y2211

1221

1

11

111第一振型(正對稱)第二振型(正對稱)例題

試求結構的自振頻率和振型.1l/41l/2M1圖M

2圖l/2m1=mEI=常數

m2=2ml/2

l/232EI

11

l

8EI

l

48EI

l3

3

322

12

21解(1)求柔度系數(2)求頻率

m

m

m

mD

11

112

2

221

122

2

2

1

0

112EI

ml3EI

ml3

2.635

6.653(3)求振型

mY11

12

m

2Y2111

1211

1

0.305

mY12

12

m

2Y2211

1221

1

1.639第二振型

1

0.305第一振型

1

1.639若體系按第一振型振動，則111sin

t

y

Y

1

y

Y2

21

21

112m

Y

m

Y

m

y

1 1

11

sin

t2 2

1

2 21

m

y

3振型的正交性Y11Y21第一振型

m

Y21

1

11

m

Y21

2

21若體系按第二振型振動，則

y1

Y12

y

sin

1t

2

Y22

211

1

1212m

Y

sin

t

m

Y

1

2 2

1

2 22

m

y

m

y

第二振型Y12Y22

mY22

1

12

m

Y22

2

22功的互等定理：第一狀態的外力在第二狀態上所做的虛功=第二狀態的外力在第一狀態上所做的虛功

Y

m

Y

Y

m

Y

Y

m

Y

Y

m

Y22222

1

121

1

11

12

1

2

21

2211

2

2

2221

m

Y

Y2122

m1Y11

Y12

2

21

22

0Y11Y21第一振型

m

Y21

1

11

m

Y21

2

21第二振型Y12Y22

mY22

1

12

m

Y22

2

22m1Y11

Y12

m2Y21

Y22

0

Y

Ym

12112

Y22

m1

0

Y

021

0

2122

0因為,故寫成矩陣形式★不同頻率相應的振型對質量矩陣正交

Y

Y

Ykk12

k11121121

k

21 22

Y22

0★不同頻率相應的振型對剛度矩陣正交★利用正交性判斷各振型的形狀特點和所求振型是否正確將左乘

Y1