一類不確定混沌系統的非線性同步

1.狀態觀測器lpschitch自從cora和cora提出了混合動力的原理以來，混合系統的同步問題已成為非線性動態動力學領域的研究熱點之一。非線性系統的混合動力應用于通信、信息科學、醫學、生物、工程等領域，具有很大的應用潛力和發展前景。引起了國內外的廣泛關注和興趣。有關混沌同步的機理、方法已有很多報道.文獻報道的實現混沌系統同步控制的方法,解決了含有不確定性因素的兩個混沌系統所有狀態變量的同步問題.但其都是以系統的所有狀態變量都能得到并可以參加控制為前提的.但從實際物理過程來看,一般非線性系統的狀態并不都是可以得到的,因此很自然地可引入觀測器理論進行混沌同步系統的設計.基于狀態觀測器的混沌同步研究也取得了一些成果,其中文獻是基于Lipschitz觀測器的混沌同步的研究,當滿足相對較弱條件時,得到局部同步.如果混沌系統能變換成Brunowsky標準型時,則可能得到全局同步,但該方法要求驅動系統的非線性部分滿足Lipschitz條件,具有一定的局限性.文獻利用非線性控制理論提出了一種處理一類特殊超混沌系統的同步方法,這種方法僅需傳輸一個標量信號,并且不需要計算Lyapunov指數,也不需要系統初始條件屬于相同的吸引域,但它要求參考系統的輸出由系統的非線性項與狀態變量的線性組合組成,且只能處理含一個非線性項的超混沌系統.文獻將狀態觀測器設計與相空間重構結合起來,用任意標量信號同步了一類(超)混沌系統.但其所設計的控制器較復雜,且需計算δ0.本文將狀態觀測器與混沌同步結合起來,針對一類狀態變量不能全部測量的混沌系統,設計了一個帶有控制器的非線性觀測器.以Lyapunov技術為基礎設計的控制器,當系統的狀態變量都有界時,不論系統是處于平衡點、周期、擬周期、混沌或超混沌狀態,都可使觀測器的狀態按照目標系統軌道演化,并且是大范圍可控和可同步的.所設計的控制器簡單,能用于以往同步方法所不能實現的某些同步,且具有較強的魯棒性.2.混沌系統同步觀測系統同步控制所謂狀態觀測器,就是一個在物理上可以實現的與被觀測系統同階的動力學系統,它在被觀測系統輸出信號(這是可以物理測量到的)的驅動下,實現所有的狀態變量或輸出都逼近于被觀測系統的狀態變量或輸出.對線性系統,觀測器設計理論已較成熟.非線性系統的狀態觀測器的設計問題復雜且更富有挑戰性.近年來關于非線性觀測器的設計問題做了大量工作,也得出了一些具有應用價值的結論,就已有的非線性觀測器設計方法而言,或依賴于嚴格的Lipshitz條件,或需要H?lder連續條件,要么需要構造合適的Lyapunov函數.本文利用非線性狀態觀測器概念建立一個同步系統,使其在控制器的控制下,實現混沌系統的同步控制.甚至被觀測系統中可以包含有不確定因素.給定如下系統:˙x=Ax+g(x(t),t),y=Cx,(1)(1)式為目標系統,A,C滿足可觀性條件且(1)式的狀態變量不能完全得到.為實現混沌系統同步,設計上式的觀測器為?^x=A?x+f(?x(t),t)+L(y-C?x)+Bu,?y=C?x,(2)其中,?x為狀態觀測器的狀態,L為待定常向量,B為合適的矩陣,u為要設計的控制器.傳統的狀態觀測器是按和原系統相同的結構形式,復制出一個基本的系統,然后,取原系統輸出y和復制系統輸出?y之差值信號作為修正變量,并將其經增益矩陣L饋送到復制系統中積分器的輸入端,而構成一個閉環系統.但當原系統有不確定因素,或系統的模型沒有完全確定時(如參數未知時),則狀態觀測器就不能按與原來相同的結構形式復制.我們所設計的狀態觀測器(2)中的f與(1)式中的g可不相同,同時增加控制項u,選擇u使設計的觀測器實現觀測目的.在系統(1),(2)中f,g:Rn×R→Rn?且f,g∈C1,L∈Rn,B∈Rn×m,x(t),?x(t)∈Rn,y(t)∈R,u(t)∈Rm,A∈Rn×n,C∈Rm×n.用e,ε分別表示狀態觀測誤差向量和輸出誤差向量e=?x-x,(3)ε=?y-y=Ce.(4)由(1),(2)式可得誤差系統˙e=(A-LC)e+f(?x(t),t)-g(x(t),t)+Bu.(5)在B為列滿秩條件下,(5)式又可寫為˙e=(A-LC)e+B[h(?x(t),t)-l(x(t),t)+u(t)],(6)其中h=(BΤB)-1BΤf,l=(BΤB)-1g.于是,(1),(2)式的同步控制問題,可以化為對誤差系統(6)式進行研究,即尋找一個合適的u(t)=φ(ε,t)使limt→∞|?x(t)-x(t)|=0.(7)3.k0.2為實現混沌系統同步,首先對混沌系統和混沌信號做出如下假設.假設1|h(?x(t)),t|≤γ(?x(t)),??x,t,|l(x(t)),t|≤β(x(t)),?x,t,且γ(t)和β(t)是連續的.假設2選擇觀測器增益矩陣L滿足如下條件(A-LC)ΤΡ+Ρ(A-LC)=-Q,(8)BΤΡ=ΓC,(9)其中P∈Rn×n,Q∈Rn×n,Γ∈Rm×m是三個正定矩陣.一般情況下,不管系統是處于平衡點、周期或混沌情況下,對所有的時間t均有∥?x(t)∥≤Μ1,?t∈[0,∞),Μ1∈R+,∥x(t)∥≤Μ2,?t∈[0,∞),Μ2∈R+.于是,在假設1滿足的情況下,存在W,T∈R+有∥h(?x(t),t)∥≤W,∥l(x(t),t)∥≤Τ.(10)現設計一個具有如下形式的控制器u(t):u(t)=-k0tanh(Γε),(11)其中k0∈R+,Γ由(9)式確定,稱為控制器u(t)的學習速率矩陣.當考慮的兩個系統分別滿足假設1,2及(10)式的前提下,有如下定理:定理1若(6)式中的控制器取(11)式的形式,則當滿足k0≥2(W+T)時,對于任意的初始條件e(0),都有limt→∞e(t)=0.證明選擇標量函數V(e)=eΤΡe,(12)當P是一個正定對稱陣時,V(e)對所有的e∈Rn是正定函數.V(e)沿著(6)式對時間求導可得˙V(e)=˙eΤΡe+eΤΡ˙e,˙V(e)=[(A-LC)e+Bh(?x(t),t)-Bl(x(t),t)-k0Btanh[Γε]]ΤΡe+eΤΡ[(A-LC)e+Bh(?x(t),t)-Bl(x(t),t)-k0Btanh(Γε)]=eΤ(A-LC)ΤΡe+eΤΡ(A-LC)e+hΤ(?x(t),t)BΤΡe+eΤΡBl(?x(t),t)-lΤ(x(t),t)BΤΡe-eΤΡBl(x(t),t)-k0[tanh[Γε]]ΤBΤΡe-k0eΤΡBtanh(Γε)=-eΤQe+2h(?x(t),t)DΤΡe-2l(x(t),t)ΤΡe-k0tanh[Γε]ΤDΤΡe-k0eΤΡDtanh[Γε]<-λmin(Q)∥e∥2+2h(?x(t),t)DΤΡe-2l(x(t),t)DΤΡe-k0sgn[Γε]ΤΓε≤-λmin(Q)∥e∥2+2(∥h(?x(t),t)∥+∥l(x(t),t)∥)∥Γε∥-k0sgn[Γε]ΤΓε.由于sgn[Γε]ΤΓε=∥Γε∥?所以V˙(e)<-λmin(Q)∥e∥2-[k0-2(W+Τ)]∥Γε∥.因此,當選擇k0≥2(W+T)時,V˙(e)為一負定函數,于是得到(6)式的平衡點e=0是大范圍漸近穩定的結論.從(11)式可看出,當選擇的k0不滿足k0≥2(W+T),則不能實現同步控制.當選擇的k0遠大于2(W+T)時,雖然能實現同步控制且有較快的同步速度,但所需的控制能量較大,較大的控制能量在某些場合是不允許的,因此正確估計出k0的大小并實現同步控制是必要的.可通過對k0設計自適應調節律來實現.我們給出如下定理:定理2考慮的兩個系統分別滿足假設1,2及(10)式的前提下,設計如下形式的自適應控制律:V(t)=-ktank(Γε),k˙=(Γε)Τtanh(Γε).(13)對x(0)∈Rn,e(0)∈Rn,k(0)∈R+,我們能得出如下結論:1)limt→∞k(t)=k0<+∞,2)limt→∞e(t)=0.證明選擇如下形式的Lyapunov函數V(e,k)=eΤΡe+[k-2(W+Τ)]2,于是V˙=eΤ(A-LC)ΤΡe+eΤΡ(A-LC)e+hΤ(x^(t),t)BΤΡe+eΤΡBl(x^(t),t)-lΤ(x(t),t)BΤΡe-eΤΡBl(x(t),t)-ktanh(Γε)ΤBΤΡe-keΤΡBtanh(Γε)-4(W+Τ)(Γε)Τtanh(Γε)+2k(Γε)Τtanh(Γε)=-eΤQe+2h(x^(t),t)BΤΡe-2l(x(t),t)BΤΡe-2k(Γε)Τtanh(Γε)-4(W+Τ)(Γε)Τtanh(Γε)+2k(Γε)Τtanh(Γε)<-eΤQe+2(W+Τ)∥Γε∥-2(W+Τ)(Γε)Τsgn(Γε).將(Γε)Tsgn(Γε)=‖Γε‖代入上述不等式可得到V˙<-eΤQe≤-λmin(Q)∥e∥2?那么k→k0,t→∞,e(t)→0,t→∞,即定理2得證.4.動態特性仿真結果為驗證上述結論,以下給出蔡氏電路同步的計算機模擬結果.所有模擬仿真結果中的初值是隨機選取的.描述蔡氏電路的方程為.x˙=(-αα01-110-β0)x+(-αf(x1)00),(14)y=Cx=x1+x2,其中f(x1)=bx1+12(a-b)×(|x1+1|-|x1+1|).當α=10,β=14.87,a=-1.27,b=-0.68時,系統處于混沌狀態.顯然C=(110),容易驗證C和A滿足可觀性條件.觀測器系統為x?^=(-αα01-110-β0)x^+(-αf(x^1)00)+L(y-Cx^)+Bu,其中L=(1.73871.5697-6.6915)Τ,B=(1.7221.1730.471)Τ,Ρ=[39.4750-69.402449.8154-69.4024157.9117-118.437149.8154-118.4371112.9255],Q=[181.0134-29.2518-168.9438-29.251821.00349.7614-168.943849.7614236.8742],Γ=10?容易驗證條件(8),(9)成立,當采用(11)式形式的控制器并取k0=5,可使誤差系統的平衡點e=(000)T是大范圍漸近穩定平衡點.兩個系統的變量誤差為ek=x^k-xk(k=1,2,3).ek隨時間t的變化情況如圖1所示.為檢驗本文所提出的方法對不確定對象的同步能力,首先檢驗對噪聲的魯棒性,對響應系統的狀態觀測值施加方差為σ的正態分布白噪聲,即x^i=(1.0+σΝ(0,1))x^i,Ν(0,1)為標準正態分布,i=1,2,3.取σ=0.01,仿真結果如圖2所示.其次檢驗對參數不匹配的同步能力,選擇參數失配率為5%時的仿真結果如圖3所示.可見本文方法對參數不匹配具有一定的魯棒性,能使兩個混沌系統在參數不匹配或不相同的情況下同步.為正確估計出k0的大小并實現同步控制,采用(13)式形式的自適應控制器,仿真結果如圖4所示.從圖3和圖4可看出本文的同步方案能實現狀態不能全部測量混沌系統的同步控制,同步過程開始時,同步誤差也有一定的振蕩出現,但隨著時間的增加,最終獲得了e→0,k(t)→k0≈1的結果.為檢驗本文同步方案對超混沌系統的有效性,以下給出四維超混沌電路同步的計算機模擬結果.描述四維超混沌電路的方程為x˙=(0.7-1-101000300-30030)x+(000-30(x4-1)Η(x4-1)),(15)y=Cx=x1+x2+x3,其中H(z)是亥維塞函數,且滿足H(z<0)=0及H(z≥0)=1.顯然C=(1110),容易驗證C和A滿足可觀性條件.觀測器系統為x?^=(0.7-1-101000300-30030)x^+(000-30(x^4-1)Η(x^4-1))+L(y-Cx^)+Bu,其中L=(-0.42550.33392.79161.4950)Τ,B=(0.36010.21081.9337-0.8560)Τ,Q=[20000020000020000020]?Γ=10.采用(11)式形式的控制器并取k0=5,同樣可使誤差系統的平衡點e=(000)T是大范圍漸近穩定的.設兩系統的同步誤差為ek=x^k-xk(k=1,2,3,4).ek隨時間t的變化情況如圖5所示.可見本文所提出的方法不僅能