章末整合第六章2021內容索引0102知識網絡系統(tǒng)構建題型突破深化提升知識網絡系統(tǒng)構建題型突破深化提升專題一導數的幾何意義例1已知函數f(x)=x3+x-16.(1)求曲線y=f(x)在點(2,-6)處的切線方程;(2)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經過原點,求直線l的方程及切點坐標;(3)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-x+3垂直,求切點坐標與切線的方程.解

(1)∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,∴f(x)在點(2,-6)處的切線的斜率為k=f'(2)=13.∴切線的方程為y=13(x-2)+(-6),即13x-y-32=0.(2)(方法一)設切點為(x0,y0),∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.k=3×(-2)2+1=13.∴直線l的方程為13x-y=0,切點坐標為(-2,-26).(方法二)設直線l的方程為y=kx,切點為(x0,y0),解得x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.k=3×(-2)2+1=13.∴直線l的方程為13x-y=0,切點坐標為(-2,-26).(3)∵切線與直線y=-+3垂直,∴切線的斜率k=4.設切點坐標為(x0,y0),則f'(x0)=3+1=4,∴x0=±1.即切點為(1,-14)或(-1,-18).切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即4x-y-18=0或4x-y-14=0.規(guī)律方法導數的幾何意義的解題策略(1)利用導數的幾何意義可以求出曲線上任意一點處的切線方程y-y0=f'(x0)(x-x0),明確“過點P(x0,y0)的曲線y=f(x)的切線方程”與“在點P(x0,y0)處的曲線y=f(x)的切線方程”的異同點.(2)圍繞著切點有三個等量關系:切點(x0,y0),則k=f'(x0),y0=f(x0),(x0,y0)滿足切線方程.變式訓練1直線y=kx+b與曲線y=x3+ax+1相切于點(2,3),則b=

.

答案

-15解析

∵y=x3+ax+1過點(2,3),∴a=-3,∴y'=3x2-3,∴k=3×4-3=9,∴b=y-kx=3-9×2=-15.專題二函數的單調性與導數例2若函數f(x)=2sinxcosx-4x-msinx在[0,2π]上單調遞減,則實數m的取值范圍為(

)A.(-2,2) B.[-2,2]C.(-1,1) D.[-1,1]答案

B解析

依題意,f(x)=2sin

xcos

x-4x-msin

x=sin

2x-4x-msin

x,所以f'(x)=2(2cos2x-1)-4-mcos

x=4cos2x-mcos

x-6≤0對任意x∈[0,2π]恒成立.設t=cos

x∈[-1,1],g(t)=4t2-mt-6,則g(t)≤0在[-1,1]上恒成立,解得-2≤m≤2.規(guī)律方法利用導數求解參數范圍的步驟(1)對含參數的函數f(x)求導,得到f'(x).(2)若函數f(x)在(a,b)上單調遞增,則f'(x)≥0恒成立;若函數f(x)在(a,b)上單調遞減,則f'(x)≤0恒成立,得到關于參數的不等式,解出參數范圍.(3)驗證參數范圍中取等號時,是否恒有f'(x)=0.若f'(x)=0恒成立,則函數f(x)在(a,b)上為常函數,舍去此參數值.變式訓練2若函數f(x)ax2+(a-1)x+1在區(qū)間(1,4)上為減函數,在區(qū)間(6,+∞)上為增函數,試求實數a的取值范圍.解

f'(x)=x2-ax+a-1.令f'(x)=0,解得x=1或x=a-1.當a-1≤1,即a≤2時,函數f(x)在(1,+∞)上為增函數,不合題意.當a-1>1,即a>2時,函數f(x)在(-∞,1)上為增函數,在(1,a-1)上為減函數,在(a-1,+∞)上為增函數.所以4≤a-1≤6,即5≤a≤7.故a的取值范圍是[5,7].專題三函數的極值、最值與導數例3已知函數f(x)=x3+ax2+b的圖像上一點P(1,0),且在點P處的切線與直線3x+y=0平行.(1)求函數f(x)的解析式;(2)求函數f(x)在區(qū)間[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值.解

(1)因為f'(x)=3x2+2ax,曲線在P(1,0)處的切線斜率為f'(1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3.又函數過(1,0)點,即-2+b=0,b=2.所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2.(2)由f(x)=x3-3x2+2,得f'(x)=3x2-6x.由f'(x)=0,得x=0或x=2.①當0<t≤2時,在區(qū)間(0,t)上,f'(x)<0,f(x)在[0,t]上是減函數,所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t3-3t2+2.②當2<t<3時,當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:f(x)min=f(2)=-2,f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個.f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0,所以f(x)max=f(0)=2.綜上,當0<t≤2時,f(x)max=2,f(x)min=t3-3t2+2;當2<t<3時,f(x)max=2,f(x)min=-2.x0(0,2)2(2,t)tf'(x)

-0+

f(x)2↘-2↗t3-3t2+2規(guī)律方法利用導數求極值與最值的方法(1)求極值時一般需確定f'(x)=0的點和單調性,對于常見連續(xù)函數,先確定單調性即可得極值點.當連續(xù)函數的極值點只有一個時,相應的極值點必為函數的最值點.(2)求閉區(qū)間上可導函數的最值時,對函數極值是極大值還是極小值可不再進行判斷,只需要直接與端點的函數值比較即可獲得.變式訓練3已知函數f(x)=lnx+ax2+(a+2)x,a∈R.(1)討論f(x)的單調性;(2)當a<0時,若關于x的不等式f(x)≤-+b-1恒成立,求實數b的取值范圍.當t∈(0,1)時,g'(t)>0,g(t)單調遞增;當t∈(1,+∞)時,g'(t)<0,g(t)單調遞減.所以g(t)的最大值為g(1)=-1,得b≥-1,所以實數b的取值范圍是[-1,+∞).專題四生活中的優(yōu)化問題例4某超市銷售某種商品,據統(tǒng)計,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克,其中4≤x≤15)滿足:當4≤x≤9時,y=a(x-9)2+(a,b為常數);當9≤x≤15時,y=-5x+85.已知當銷售價格為6元/千克時,每日售出該商品170千克.(1)求a,b的值,并確定y關于x的函數解析式;(2)若該商品的銷售成本為3元/千克,試確定銷售價格x的值,使店鋪每日銷售該商品所獲利潤f(x)最大.(2)由(1)知,當4≤x<9時,每日銷售利潤f(x)=[10(x-9)2+](x-3)=10(x-9)2(x-3)+240=10(x3-21x2+135x-243)+240,∴f'(x)=30(x-5)(x-9).當4≤x<5時,f'(x)>0,f(x)單調遞增;當5<x<9時,f'(x)<0,f(x)單調遞減.∴x=5是函數f(x)在(4,9)上的唯一極大值點,∴f(x)max=f(5)=10×42×2+240=560.當9≤x≤15時,每日銷售利潤f(x)=(-5x+85)(x-3)=-5(x-10)2+245,∴f(x)max=f(10)=245.∵560>245,∴銷售價格為5元/千克時,每日利潤最大.規(guī)律方法解決優(yōu)化問題的步驟(1)分析問題中各個數量之間的關系,建立適當的函數模型,并確定函數的定義域.(2)通過研究相應函數的性質,如單調性、極值與最值,提出優(yōu)化方案,使問題得以解決.在這個過程中,導數是一個有力的工具.(3)驗證數學問題的解是否滿足實際意義.變式訓練4如圖,某小區(qū)內有兩條相互垂直的道路l1與l2,平面直角坐標系的第一象限