雙曲線的幾何性質學習目標了解雙曲線的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、實軸長和虛軸長、離心率的定義、離心率的取值范圍和漸近線方程).知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究知識探究x≥a(1)雙曲線的范圍:因為≥1,所以

或

.(2)雙曲線的對稱性:雙曲線關于

、

和

對稱,x軸,y軸是雙曲線的對稱軸,坐標原點是對稱中心.雙曲線的對稱中心也稱為雙曲線的中心.x≤-ax軸y軸坐標原點2.雙曲線的頂點(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)3.漸近線與離心率拓展總結(2)雙曲線的幾何性質.(3)性質說明.②雙曲線只有兩個頂點,而橢圓有四個頂點.③等軸雙曲線(實軸長與虛軸長相等的雙曲線)的統(tǒng)一方程為x2-y2=λ(λ≠0),當λ>0時,它表示焦點在x軸上的雙曲線,當λ<0時,它表示焦點在y軸上的雙曲線.其漸近線方程為y=±x,且它們互相垂直.④雙曲線方程確定,其漸近線唯一確定;漸近線確定,其對應的雙曲線不唯一確定.師生互動·合作探究探究點一雙曲線的簡單幾何性質方法總結由雙曲線的方程研究幾何性質的解題步驟:(1)把雙曲線方程化為標準形式是解題的關鍵;(2)由標準方程確定焦點位置,確定a,b的值;(3)由c2=a2+b2求出c的值,從而得到雙曲線的幾何性質.探究點二由雙曲線的性質求雙曲線的方程方法總結(1)由雙曲線的幾何性質求雙曲線的標準方程一般用待定系數(shù)法,同樣需要經歷“定位→定式→定量”三個步驟.當雙曲線的焦點不明確時,方程可能有兩種形式,此時應注意分類討論,為了避免討論,也可設雙曲線方程為mx2-ny2=1(mn>0),從而直接求得.探究點三雙曲線的離心率角度1求離心率方法總結求雙曲線離心率的方法:(3)若得到的是關于a,c的齊次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r為常數(shù),且p≠0),則轉化為關于離心率e的方程pe2+q·e+r=0求解.角度2求離心率的取值范圍解析:因為sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,在△PF1F2中,由正弦定理可得|PF1|=3|PF2|,由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a,所以可得|PF2|=a,|PF1|=3a,由三角形的兩邊之和大于第三邊及兩邊之差小于第三邊可知3a-a<2c<3a+a,即a<c<2a,所以可得1<e<2.故選A.方法總結構造齊次方程(或不等式)求雙曲線的離心率(取值范圍)的一般方法:探究點四直線與雙曲線的位置關系[例5]已知雙曲線C:x2-y2=1及直線l:y=kx-1.(1)若直線l與雙曲線C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍;針對訓練:已知雙曲線x2-y2=4,直線l:y=k(x-1),試在下列條件下討論實數(shù)k的取值范圍.(1)直線l與雙曲線有兩個公共點;(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點;(3)直線l與雙曲線沒有公共點.方法總結(1)直線與雙曲線的位置關系的判定方法.直線與雙曲線的位置關系有相交、相切、相離三種情況,其判定方法通常也是用Δ來解決.①若m≠0,方程(*)為關于x的一元二次方程.當Δ>0時,方程有兩解,