專題1.1集合的含義與表示（4個考點七大題型）【題型1集合的概念】【題型2元素與集合關系-判斷】【題型3元素與集合關系-求參數】【題型4集合中元素個數-求參數】【題型5集合中元素的性質-求參數】【題型6集合中元素的性質-求元素個數】【題型7集合的表示方法】【題型1集合的概念】1．（2021秋·河南濮陽·高一校考階段練習）下列敘述能夠組成集合的是（

）A．我校所有體質好的同學 B．我校所有800米達標的女生C．全國所有優秀的運動員 D．全國所有環境優美的城市【答案】B【分析】根據集合元素的確定性，逐一分析可得答案．【詳解】A中，我校所有體質好的同學不具有確定性，不能組成集合；B中，我校所有800米達標的女生具有確定性，能組成集合；C中，全國所有優秀的運動員不具有確定性，不能組成集合；D中，全國所有環境優美的城市不具有確定性，不能組成集合，故選：B．2．（2022秋·貴州銅仁·高一校考階段練習）下列各組對象中，能組成集合的有（填序號）．①所有的好人；②平面上到原點的距離等于2的點；③正三角形；④比較小的正整數；⑤滿足不等式的的取值．【答案】②③⑤【分析】根據集合元素的確定性即可得到答案.【詳解】①中“好人”，④中“比較小”不滿足構成集合元素的確定性，而②③⑤滿足集合元素的性質，故②③⑤正確，故答案為：②③⑤.3．（2023·高一課時練習）下列各組對象的全體能構成集合的有（

）（1）正方形的全體；（2）高一數學書中所有的難題；（3）平方后等于負數的數；（4）某校高一年級學生身高在1.7米的學生；（5）平面內到線段AB兩端點距離相等的點的全體.A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】根據集合中元素的確定性判斷可得答案.【詳解】（1）（3）（4）（5）中的對象是確定的，可以組成集合，（2）中的對象是不確定的，不能組成集合.故選：C.4．（2021秋·河南新鄉·高一校考階段練習）下列元素的全體不能組成集合的是（

）A．中國古代四大發明 B．地球上的小河流C．方程的實數解 D．周長為的三角形【答案】B【分析】根據集合中的元素的三要素即可判斷各個選項的正誤.【詳解】中國古代四大發明可以構成一個集合，故A正確；地球上的小河流不滿足集合元素的確定性，即沒有標準說多小的河流算小河流，故B錯誤；方程的實數解是，可以構成一個集合，故C正確；周長為的所有三角形可以構成一個集合，故D正確；故選：B.5．（2022秋·廣東汕頭·高一校考期中）下列說法中，正確的個數是（

）①的近似值的全體構成一個集合②自然數集N中最小的元素是0③在整數集Z中，若，則④一個集合中不可以有兩個相同的元素A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據集合的定義、自然數集、整數集的定義判斷.【詳解】①的近似值的全體沒有確定性，不能構成集合，錯誤；②自然數集N中最小的元素是0，正確；③在整數集Z中，若，則，整數的相反數還是整數，正確，④一個集合中不可以有兩個相同的元素，根據集合的定義知正確，故選：C．6．（2022秋·西藏拉薩·高一校考期中）已知①；②；③④，其中正確的為（填序號）.【答案】①③【分析】由元素與集合的關系直接判斷即可.【詳解】；；；，故①③正確.故答案為：①③7．（2023春·山東濱州·高一校考階段練習）下列關系中，正確的個數為（

）①；②；③；④；⑤.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據實數集，有理數集，自然數集，整數集的概念判斷即可.【詳解】因為是實數集，所以，故①正確；因為是有理數集，所以，，故②③錯誤；因為是自然數集，所以，故④正確；因為是整數集，所以，故⑤正確；綜上：關系正確的個數為3個.故選：C.8．（2022秋·重慶·高一西南大學附中校考階段練習）下列判斷正確的是（

）A．個子高的人可以組成集合 B．C． D．空集是任何集合的真子集【答案】C【分析】根據已知條件及集合的定義，利用集合中元素的屬性及集合相等的定義，結合空集的性質即可判斷.【詳解】對于A，個子高沒有一定的標準，不符合集合的確定性，故A錯誤；對于B，，，所以，故B錯誤；對于C，集合表示大于或等于的實數組成的集合，集合表示大于或等于的實數組成的集合，所以，故C正確；對于D，空集是任何非空集合的真子集，故D錯誤.故選：C.9．（2023·江蘇·高一假期作業）（多選）下列說法正確的有（）A．N與N*是同一個集合B．N中的元素都是Z中的元素C．Q中的元素都是Z中的元素D．Q中的元素都是R中的元素【答案】BD【分析】根據常用數集表示的含義，即可根據選項逐一判斷.【詳解】因為N*表示正整數集，N表示自然數集，不是同一個集合，Z表示整數集，Q表示有理數集，R表示實數集，所以A、C中的說法不正確，B、D中的說法正確．故選：BD.10．（2023·高一課時練習）判斷下列命題是否正確．（1）集合與集合表示同一集合；()（2）集合與集合表示同一集合；()（3）集合與集合不表示同一集合；()（4）集合與集合表示同一集合．()【答案】正確錯誤錯誤錯誤【分析】（1）根據集合元素的無序性可知兩個集合為同一集合；（2）集合為點集，元素不同，不是同一集合；（3）兩集合均表示大于3的所有實數的集合，為同一集合；（4）兩集合分別為數集和點集，不是同一集合.【詳解】（1）集合元素具有無序性，集合與集合元素相同，故表示同一集合，正確；（2）兩集合為點集，和表示的點不同，所以集合與集合表示兩個不同的集合，錯誤；（3）集合與集合均表示大于3的所有實數的集合，所以集合與集合表示同一集合，錯誤；（4）集合為數集，集合為點集，不是同一集合，錯誤；故答案為：（1）正確；（2）錯誤；（3）錯誤；（4）錯誤.【題型2元素與集合關系-判斷】1．（2022秋·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學校考階段練習）（多選）下列關于符號“”使用正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據元素與集合、集合與集合的關系判斷即可.【詳解】對于A：，故A錯誤；對于B：，，所以，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：或，故D錯誤；故選：BC2．（2021秋·高一課時練習）若是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是（

）A．3.14 B．-5 C． D．【答案】D【分析】由代表實數集，代表有理數集，對四個數判斷是無理數即可.【詳解】由題意知a是實數，但不是有理數，故a應為無理數，故可以為.故選：D.3．（2023春·廣西河池·高一校聯考階段練習）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，結合，逐個元素判定，即可求解.【詳解】由集合，因為，所以．故選：B．4．（2022秋·福建福州·高一校聯考期中）已知集合，則下列關系中，正確的是（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】結合題意寫出集合中的具體元素，然后利用元素與集合、集合與集合之間的關系逐項進行驗證即可求解.【詳解】因為集合，對于A，因為，故選項A錯誤；對于B，是一個集合，且，故選項B錯誤；對于C，因為集合，所以集合與集合不存在包含關系，故選項C錯誤；對于D，因為集合，任何集合都是它本身的子集，所以，故選項D正確，故選：D.5．（2021秋·高一課時練習）已知a、b、c為非零實數，記代數式的值所組成的集合為M，則下列判斷中正確的是（

）A．0M B．-4M C．2∈M D．4∈M【答案】D【分析】對a，b，c分類討論求出原代數式所有可能得值即可.【詳解】令，若全為正數，則；若全為負數，則，若中有2個正數一個負數，則，若中有2個負數，1個正數，則，；故選：D.6．（2023·全國·高一假期作業）下面有四個結論:①集合中最小數為1；②若，則；③若，，則的最小值為2；④所有的正數組成一個集合.其中正確結論的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】直接由元素與集合的關系逐一判斷即可.【詳解】①集合中最小數為，故①錯誤；②取，則，故②錯誤；③若，，則的最小值為2，錯誤，當時，，故③錯誤；④所有的正數組成一個集合，故④正確；故選：B.7．（2023·江蘇·高一假期作業）（多選）下列說法錯誤的是（）A．0∈? B．?＝{0}C．?中元素的個數為0 D．?∈{0}【答案】ABD【分析】根據空集的定義即可判斷各選項.【詳解】空集是不含任何元素的集合，?中元素的個數為0，對于A，，A錯；對于B，，B錯；對于C，?中元素的個數為0，C對；對于D，，D錯.故選：ABD8．（2023·江蘇·高一假期作業）（多選）下列說法錯誤的是A．在直角坐標平面內，第一、三象限的點的集合為B．方程的解集為C．集合與是同一個集合D．若，則【答案】BCD【分析】根據集合的定義與表示逐項分析判斷．【詳解】對于：因為等價于或，如果，則點在第一象限，如果，則點在第三象限，所以在直角坐標平面內，第一、三象限的點的集合為，故正確；對于：由于方程的解集等價于，解得，故解集為，故錯誤；對于C：集合表示的函數值的取值范圍，是數集，集合表示拋物線的圖象，是點集，所以兩個集合不相同，故C錯誤；對于：因為，則，故錯誤，故選：BCD．9．（2023·江蘇·高一假期作業）已知集合．(1)若，則是否存在，使成立？(2)對于任意，是否一定存在，使，證明你的結論．【答案】(1)存在(2)不一定存在，證明見解析【分析】（1）根據集合中元素的特征即可求解，（2）根據集合中元素的特征，結合集合的運算即可求解.【詳解】（1）設，令，，則.故若，則存在，使成立．（2）不一定存在，使，證明如下：設，則，當時，，此時存在，使；當時，，此時不存在，使成立．故對于任意，不一定存在，使.【題型3元素與集合關系-求參數】1．（2023·上海·模擬預測）已知，，若且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據給定條件，直接求出集合中的元素作答.【詳解】因為，由，得或，又，且，即有且，因此，所以.故選：A2．（2021秋·高一課時練習）（多選）已知集合中有個元素，，，且當時，，則可能為（）A．B．C．D．或或【答案】AB【分析】根據元素與集合的關系依次判斷的情況是否滿足題意即可.【詳解】對于A，當時，，滿足題意，A正確；對于B，當時，，滿足題意，B正確；對于C，當時，，不合題意，C錯誤；對于D，由ABC知：或，D錯誤.故選：AB.3．（2021秋·廣東深圳·高一深圳外國語學校校考期中）（多選）設函數，集合，設，則下列說法正確的是（

）.A． B．一定等于9C．可能等于8 D．時，【答案】ABD【分析】由解集為正整數解集可知，，，再結合，即可判斷各選項.【詳解】令，則，因為解集為正整數解集，而，當時，；當時，；當時，，符合正整數解集.因為只有3個正整數解，又，所以對于A，，A對；對于B，，B對；對于C，由B選項可知，C錯；對于D，時，，D對.故選：ABD.4．（2023·上海楊浦·復旦附中校考模擬預測）已知集合中的最大元素為，則實數.【答案】1【分析】依題意可得，解得，再檢驗即可.【詳解】因為，所以，所以，解得或，顯然不滿足集合元素的互異性，故舍去，經檢驗符合題意．故答案為：5．（2023·上海閔行·上海市七寶中學校考三模）已知，則.【答案】3【分析】由二次方程的根只有一個，則，且根為1，代入即可求解.【詳解】因為，所以二次方程有兩個相等的實數根，則①，且方程的根為1，所以②，聯立①②解得：所以故答案為：.6．（2023春·廣東汕頭·高一統考期末）若，且，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據元素與集合間的關系即可求解.【詳解】由于，所以，解得，故答案為：7．（2022秋·高一課時練習）記方程的解構成的集合為，若，試寫出集合中的所有元素．【答案】【分析】先由題意得是的解，代入求得，再將代回方程解之即可.【詳解】因為，所以，解得．解方程，即，得或．故M含有兩個元素．8．（2023·全國·高一假期作業）已知集合中含有兩個元素和．(1)若是集合中的元素，試求實數的值；(2)能否為集合中的元素？若能，試求出該集合中的所有元素；若不能，請說明理由．【答案】(1)1或(2)不能，理由見解析【分析】（1）依題意可得或，分別求出的值，再代入檢驗即可；（2）依題意可得或，求出的值，再判斷是否符合集合元素的互異性，即可得解.【詳解】（1）因為是集合中的元素，所以或．若，則，此時集合含有兩個元素，，符合要求；若，則，此時集合中含有兩個元素，，符合要求．綜上所述，滿足題意的實數的值為或．（2）不能．理由如下：若為集合中的元素，則或．當時，解得，此時，顯然不滿足集合中元素的互異性；當時，解得，此時顯然不滿足集合中元素的互異性．綜上，不能為集合中的元素．9．（2023·全國·高一假期作業）已知集合中有三個元素：，，，集合中也有三個元素：0，1，．(1)若，求實數的值；(2)若，求實數的值．【答案】(1)的值為0或(2)的值為【分析】（1）若，則或，再結合集合中元素的互異性，能求出的值．（2）當取0，1，時，都有，集合中的元素都有互異性，由此能求出實數的值．【詳解】（1）集合中有三個元素：，，，，或，解得或，當時，，，，成立；當時，，，，成立．的值為0或．（2）集合中也有三個元素：0，1，，，當取0，1，時，都有，集合中的元素都有互異性，，，．實數的值為．10．（2023·高一課時練習）集合A中的元素是實數，且滿足條件①若，則，②，求：(1)A中至少有幾個元素？(2)若條件②換成，A中至少含有的元素是什么？(3)請你設計一個屬于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.【答案】(1)3；(2)；(3)令，A中至少含有的其他元素是.（答案不唯一）【分析】（1）按照給定條件，把2代入依次計算作答.（2）按照給定條件，把3代入依次計算，確定集合A中含有的元素作答.（3）令集合A中元素為4，再代入依次計算確定其它元素作答.【詳解】（1）因為，由①知，，而，則，而，則，所以集合A中至少有3個元素.（2）因為，由①知，，而，則，而，則，所以集合A中至少含有的元素是.（3）令，由①知，，而，則，而，則，所以集合A中至少含有的其它元素是.【題型4集合中元素個數-求參數】1．（2023·高一課時練習）已知關于x的方程的解集只有一個元素，則m的值為（

）A．2 B． C． D．不存在【答案】C【分析】根據一元二次方程解的個數與判別式的關系求解即可.【詳解】因為關于x的方程的解集只有一個元素，所以，解得.故選：C2．（2022秋·高一課時練習）若，則等于（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】由題意可知只有一個實數根，討論和，由根的判別式可得答案.【詳解】∵，∴只有一個實數根.當時，，此時；當時，，所以，此時.∴.故或.故選：B.3．（2023·高一課時練習）由，，3組成的一個集合A，若A中元素個數不是2，則實數a的取值可以是（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】由題意判斷集合的元素個數，根據集合元素的互異性，可求得a的不可能取值，即得答案.【詳解】由題意由，，3組成的一個集合A，A中元素個數不是2，因為無解，故由，，3組成的集合A的元素個數為3，故，即，即a可取2，即A，B，C錯誤，D正確，故選：D4．（2021秋·江西贛州·高一上猶中學校考周測）已知集合中至多含有一個元素，則實數a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】原問題轉化為方程至多只有一個根，分，即可求解.【詳解】由題意，原問題轉化為方程至多只有一個根，當時，方程為，解得，此時方程只有一個實數根，符合題意；當時，方程為一元二次方程，所以，解得．綜上，實數a的取值范圍為．故選：D5．（2023春·上海普陀·高一曹楊二中校考期末）對于給定的正整數，定義集合．若恰有4個元素，則的可能值有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據集合中元素的特征，結合誘導公式求解.【詳解】當時，的取值為，共個，根據誘導公式可知：，，，…，若恰有4個元素，則的值為6或7，故選：B．6．（2023春·內蒙古赤峰·高一校考階段練習）（多選）下列命題不正確的是（

）A．集合，若集合A有且僅有2個子集，則a的值為B．若一元二次方程的解集為R，則k的取值范圍為C．設集合，，則“”是“”的充分不必要條件D．正實數滿足，則【答案】AB【分析】結合條件可知集合中只有一個元素，分類討論和兩種情況，求出的值，即可判斷A選項；一元二次不等式的解集為，可得且，求出的取值范圍，即可判斷B選項；根據子集的含義和充分不必要條件的定義，即可判斷C選項；根據基本不等式求和的最小值，即可判斷選項D.【詳解】對于A，因集合有且僅有2個子集，則集合中只有一個元素，當，，符合題意；當，，綜上所述，可得，，故A選項不正確；對于B，因為一元二次不等式的解集為，可知，可得且，故B選項不正確；對于C，當時，，當時，或，則或，所以“”是“”的充分不必要條件，故C選項正確；對于D，因正實數滿足，則，當且僅當，即時取等號，故D選項正確.故選：AB.7．（2023·全國·高一假期作業）已知集合中有兩個元素，則實數滿足的條件為.【答案】，且【分析】根據集合的互異性，集合中有兩個元素即為有兩個不等實根，根據方程二次項系數不為0，判別式大于0即得.【詳解】由題意知有兩個不等實根，所以且，解得，且.故答案為：，且8．（2023·江蘇·高一假期作業）已知集合關于的方程有唯一實數解，試用列舉法表示集合．【答案】.，，【分析】當時化方程為．由判別式為0得，當時，當時，驗證有唯一實數解，由此能求出結果．【詳解】當時，化方程為．方程有唯一實數根，由判別式為零可得，得，此時的解為，符合題意．當時，有唯一實數解．當時，有唯一實數解．，，．9．（2023·全國·高一假期作業）已知A為方程的所有實數解構成的集合，其中a為實數.(1)若A是空集，求a的范圍；(2)若A是單元素集合，求a的范圍：(3)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)或；(3)或.【分析】（1）討論，根據可得結果；（2）討論，根據可得結果；（3）轉化為方程至多有一個解，由（1）（2）可得結果.【詳解】（1）若A是空集，則方程無解，當時，方程有解，不符合題意；當時，，得.綜上所述：.（2）若A是單元素集合，則方程有唯一實根，當時，方程有唯一解，符合題意；當時，，得.綜上所述：或.（3）若A中至多有一個元素，則方程至多有一個解，當方程無解時，由（1）知，；方程有唯一實根時，由（2）知，或.綜上所述：或.10．（2023·高一單元測試）記關于x的方程的解集為M，其中．(1)求M恰有3個元素的充要條件；(2)在（1）的條件下，試求：以M中的元素為邊長的三角形恰好為直角三角形的充要條件．【答案】(1)；(2)為所求的充要條件．【分析】（1）等價于或，，M恰有3個元素，即得解；（2）先考慮必要性，得到；再考慮充分性，即得解.【詳解】（1）原方程等價于或，所以或，由于，所以當時，M恰有3個元素，即．（2）必要性：由（1）知，兩個方程或，兩個方程的三個根分別為，若它們是直角三角形的三邊，則，解得．充分性：若，可解得，以6，8，10為邊長的三角形恰為直角三角形．所以為所求的充要條件．【題型5集合中元素的性質-求參數】1．（2023·江西·金溪一中校聯考模擬預測）已知集合，，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據，可得兩集合元素全部相等，分別求和，再根據集合元素的互異性可確定，的值，進而得出答案.【詳解】由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據集合互異性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，則，故選：A2．（2023·高一課時練習）已知集合，其中，函數的定義域為A，值域為B，則a，k的值分別為（

）A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5【答案】D【分析】由函數的定義域求出值域，然后由集合中元素的互異性與集合相等分類討論求解即可.【詳解】函數的定義域為A，值域為B，所以當時，；當時，；當時，；當時，；所以，又，所以若，解得或，因為，所以.此時，所以，則；若，又，所以不成立.綜上，.故選：D.3．（2023·全國·高三專題練習）集合中實數的取值范圍是．【答案】.【分析】根據集合中元素的互異性，即可求解.【詳解】由集合，根據集合元素的互異性，可得，即實數的取值范圍是.故答案為：.4．（2023·全國·高一假期作業）數集中的元素a不能取的值是.【答案】0，1，2，【分析】根據集合中的元素滿足互異性即可列不等式求解.【詳解】由集合中的元素滿足互異性可知，解得且且且故答案為：0，1，2，5．（2022秋·高一課時練習）集合A中含有兩個元素x和y，集合B中含有兩個元素0和，若A，B相等，則實數x的值為，y的值為．【答案】10【分析】分類討論與兩種情況，利用集合的性質即可得解.【詳解】因為集合A，B相等，所以或．①當時，，此時集合B中的兩個元素為0和0，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；②當時，，解得或，由①知應舍去，經檢驗，符合題意，綜上可知，，．故答案為：；.6．（2023·全國·高三專題練習）設集合，，已知且，則的取值集合為.【答案】【分析】根據元素與集合的關系以及集合的互異性可求出結果.【詳解】因為，即，所以或，若，則或；若，即，則或.由與互異，得，故或，又，即，所以，解得且，綜上所述，的取值集合為.故答案為：7．（2023·江蘇·高一假期作業）已知集合，若，求實數q的值．【答案】【分析】由集合相等的定義一一討論元素對應關系即可.【詳解】由元素的互異性得，若，則有以下兩種情況：①，不符合題意舍去；②或（舍去），綜上，.8．（2022秋·高一課時練習）已知集合}中各元素之和等于3，求實數的值，并用列舉法表示集合.【答案】答案見解析【分析】化簡方程為，分、和且，三種情況討論，結合元素的互異性和題設條件，即可求解.【詳解】根據集合中元素的互異性知，當方程有重根時，重根只能算作集合的一個元素，由，當時，可得，不符合題意；當時，即時，可得，符合題意；當且時，此時，可得，解得，此時，符合題意，綜上可得，實數的值為或.當時，；當時，.【題型6集合中元素的性質-求元素個數】1．（2023秋·高一課前預習）由英文單詞“book”中的字母構成的集合中元素的個數為（）A．3 B．6 C．8 D．16【答案】A【詳解】3個不同的元素2．（2021秋·高一校考課時練習）集合一條邊長為，一個角為的等腰三角形，其中的元素個數為（

）A．2 B．3 C．4 D．無數個【答案】C【分析】考慮已知角度為底角或頂角，已知邊為腰或底，從而得到答案.【詳解】當頂角為時，若邊長為的邊為腰，有1個等腰三角形，若邊長為的邊為底，有1個等腰三角形；當底角為時，若邊長為的邊為腰，有1個等腰三角形，若邊長為的邊為底，有1個等腰三角形；經檢驗，這四個等腰三角形沒有全等的情況，故集合A共有4個元素.故選：C.3．（2023·高一課時練習）以方程和的解為元素的集合含有的元素個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】求出給定方程的解，結合集合的意義即可判斷作答.【詳解】解方程，得，解方程，得，所以以兩個方程的解為元素的集合含有的元素個數是3，C正確.故選：C4．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預測）集合中元素的個數為（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】根據對數函數的性質求集合A，并列舉出所有元素，即可得答案.【詳解】由題意，共有4個元素.故選：C5．（2022秋·高一課時練習）已知集合A的元素滿足條件:若a∈A，則∈A(a≠1)，當∈A時，則集合A中元素的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】列舉出滿足集合描述的元素，即可得答案.【詳解】∵∈A，∴=2∈A.∵2∈A，∴∈A.∵∈A，∴∈A.∵∈A，∴∈A.∴集合A中有四個元素.故選：D6．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考階段練習）已知集合，則集合的元素個數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由整理可得出，可得出，解此不等式，即可得出集合中元素的個數.【詳解】由可得，即，其中，因為，所以，，所以，，整理可得，解得，所以，，即集合中共有個元素.故選：A.7．（2023·高一課時練習）由構成的集合中，元素個數最多是.【答案】2【分析】分與討論即可求解.【詳解】當時，，此時元素個數為1；當時，，所以一定與或中的一個一致，此時元素個數為2.所以由構成的集合中，元素個數最多是2個.故答案為:2.8．（2022秋·高一單元測試）已知集合，則集合B中有個元素．【答案】6【分析】由題意分類討論x的取值，確定y的值，即可求得答案.【詳解】因為，所以．當時，；當時，或；當時，．故集合，即集合B中有6個元素，故答案為：69．（2021秋·高一課時練習）一個書架上有九個不同種類的書各5本，那么由這個書架上的書組成的集合中含有個元素.【答案】9【分析】根據集合中的元素互異性求出答案.【詳解】若集合中的元素滿足互異性，故九個不同種類的書，對應9個元素.故答案為：910．（2023·全國·高三專題練習）設是實數集的真子集，且滿足下列兩個條件：①；②若．則，問：(1)若，則中一定還有哪幾個數？(2)集合中能否只有一個元素？說明理由．【答案】(1).(2)不能，理由見詳解.【分析】（1）按照條件②直接迭代即可得到所有元素；（2）判斷是否有實數解即可.【詳解】（1）若，則，，，所以中一定還有.（2）若中只有一個元素，設，則，即，因為，所以方程無實數解，故中不可能只有一個元素.【題型7集合的表示方法】1．（2023春·廣西北海·高二統考期末）用列舉法可將集合表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】列舉出集合中的元素，結合集合的列舉法，即可求解.【詳解】.集合表示為.故選：D.2．（2021秋·高一校考課時練習）集合的意義是（

）A．第二象限內的點集B．第四象限內的點集C．第二、四象限內的點集D．不在第一、三象限內的點的集合【答案】D【分析】意味著和異號或至少一個為零，結合象限的概念可得結果．【詳解】因為意味著和異號或至少一個為零，故為第二、四象限內的點或坐標軸上的點，即不在第一、三象限內的點，所以的意義是不在第一、三象限內的點的集合.故選：D．3．（2023·全國·高一假期作業）下列說法：①集合用列舉法可表示為{－1，0，1}；②實數集可以表示為{x|x為所有實數}或；③一次函數y＝x＋2和y＝－2x＋8的圖像象交點組的集合為{x＝2，y＝4}，正確的個數為（）A．3 B．2C．1 D．0【答案】D【分析】對于①，通過解方程求出的值，即可判斷出結果的正誤；對于②，根據集合的表示方法即可判斷出結果的正誤；對于③，通過聯立方程，得出交點坐標，從而判斷結果的正誤.【詳解】由，得，解得x＝0或x＝1或x＝－1，又因為，故集合{x∈N|x3＝x}用列舉法可表示為{0，1}，故①不正確．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全體”等含義，而“”表示所有的實數組成的集合，故實數集正確表示應為{x|x為實數}或，故②不正確．聯立，解得，∴一次函數與y＝－2x＋8的圖像交點為（2，4），∴所求集合為且，故③不正確．故選：D.4．（2022秋·陜西商洛·高一校考期中）